Particules chargées et moment cinétique Particules chargées et

Colles semaine 24, sujet A
Langevin-Wallon, PTSI 2016-2017
Particules chargées et moment cinétique
Question de cours
Établir l’équation du mouvement du pendule pesant.
Exercice 1 : Expérience de Millikan
Robert Millikan est un physicien américain, lauréat du prix Nobel de physique de 1923 « pour ses
travaux sur la charge élémentaire de l’électricité et
l’effet photoélectrique ». On s’intéresse dans cet exercice à son expérience lui ayant permis de mesurer
la charge élémentaire e. Cette expérience consiste à
pulvériser des fines gouttelettes d’huile, à les ioniser (Millikan l’a fait grâce à des rayons X), puis à
mesurer leur vitesse de chute entre deux armatures
métalliques soumises à une différence de potentiel de
plusieurs kilovolts.
Toutes les gouttes sont supposées avoir une masse volumique ρ = 1,3 · 103 kg · m−3 , un rayon R constant, mais pas
forcément la même charge q. Leur charge est cependant toujours négative. Leur vitesse initiale est toujours supposée
négligeable, et on suppose leur mouvement purement vertical.
Contrairement à une particule microscopique, le poids de la goutte n’est pas négligeable devant la force électrique
qu’elle subit. Chaque goutelette est également soumise à une force de frottement visqueux exercée par l’air, décrite
par la relation de Stokes,
#”
f = −6πηR #”
v,
où η = 1,8 · 10−5 kg · m−1 · s−1 est le coefficient de viscosité de l’air. On note d = 2 cm l’espace entre les deux
armatures métalliques entre lesquelles on impose une tension U > 0.
1 - Déterminer la norme et le sens du champ électrique qui règne entre les deux armatures.
2 - Montrer que la vitesse de la goutte tend vers une vitesse limite #”
v lim .
Une première méthode, appelée méthode d’équilibre, consiste à faire varier la tension entre les armatures pour
modifier le champ électrique et déterminer la valeur de tension U0 où la goutte est immobilisée.
3 - Cette méthode nécessite au préalable de mesurer la vitesse limite de chute de la goutte pour U = 0, donc sans
champ électrique. Quelle inconnue détermine-t-on de la sorte ?
4 - En utilisant la mesure préalable, montrer que cette méthode permet de mesurer la charge q de la goutte.
En pratique, les gouttes sont suffisamment petites pour être soumises au mouvement brownien ... les arrêter n’est
donc pas simple et la méthode devient peu précise. On privilégie donc plutôt une seconde méthode, dite à champ
constant, qui consiste à inverser le sens de la tension aux bornes du condensateur tout en conservant la même valeur
absolue U .
5 - Exprimer les deux vitesses limites v1 et v2 atteintes pour les deux sens de la tension U .
6 - Montrer que le rayon de la goutte peut se déduire des seules mesures de v1 et v2 .
7 - Exprimer alors la charge q de la goutte en fonction des deux vitesses et des données.
En étudiant un grand nombre de gouttes, Millikan a alors constaté que la charge variait pendant sa présence entre
les deux armatures mais uniquement par multiples entiers d’une charge élémentaire, dont il a pu estimer la valeur
avec une assez bonne précision ... si ce n’est que la valeur de viscosité de l’air qu’il utilisait était erronée. Millikan
a donc trouvé une valeur de e inférieure à celle que l’on connaît aujourd’hui. L’origine de l’erreur n’a été comprise
qu’une vingtaine d’année après la réalisation de l’expérience. Entretemps, de nombreux scientifiques qui avaient refait
l’expérience s’étonnaient de trouver une valeur différente de celle de Millikan et ont, semble-t-il, manipulé un peu
leurs résultats pour s’approcher de la valeur de Millikan ... cela ne vous videndrait jamais à l’esprit, n’est-ce pas ?
Éléments de correction de l’exercice 1 :
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Colles semaine 24, sujet A : Particules chargées et moment cinétique
Langevin-Wallon, PTSI 2016-2017
1
E = U/d vertical vers le bas, car le champ pointe vers les potentiels les plus bas.
2
Application du PFD conduit à
#”
q #”
d #”
v
1
v lim
v = #”
g + E=
+ #”
dt
τ
m
τ
2R2 ρ #”
q #”
avec donc #”
v lim =
g +
E soit en termes de norme, compte tenu du fait que le champ est vers le bas
9η
6πηR
mais q < 0,
qU
2R2 ρ
g+
vlim =
9η
6πηRd
3
Pour U = 0 on mesure le rayon de la goutte.
4 Si la goutte est immobilisée, vlim = 0, et il suffit d’inverser la relation précédente pour en déduire q à partir des
seules grandeurs connues.
5
Seul U change signe, donc
vlim =
2R2 ρ
qU
g±
9η
6πηRd
(attention, si on veut considérer que ce sont des normes, cela suppose que la gouttelette descend et ne remonte
jamais).
6
Si on somme v1 + v2 ,
4R2 ρ
g
v1 + v2 =
9η
7
d’où
3
R=
2
s
η(v1 + v2 )
ρg
En prenant cette fois la différence,
qU
v1 − v2 =
3πηRd
soit
3πηRd(v1 − v2 )
9πd(v1 − v2 )
q=
=
U
2U
2/6
s
η 3 (v1 + v2 )
ρg
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Colles semaine 24, sujet B
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Particules chargées et moment cinétique
Question de cours
Dans le cas particulier d’un mouvement circulaire dans le champ gravitationnel, établir l’expression de la vitesse
en orbite circulaire. En déduire la troisième loi de Kepler et la généraliser au cas d’une trajectoire elliptique.
Exercice 1 : Pendule relié à des ressorts
Un pendule pesant fait d’une tige homogène, rigide, de longueur L
est relié par une liaison pivot parfaite à un bâti en son extrémité O.
Son moment d’inertie par rapport à l’axe z vaut Jz = 13 m`2 . L’autre
extrémité M de la tige est attachée à deux ressorts identiques, de raideur k
et longueur à vide `0 . Ces ressorts sont fixés à deux points A et B tels
que AB = 2`0 : lorsque le pendule est vertical, les ressorts sont au repos.
y
Oz
x
θ
À l’instant t = 0, l’extrémité M est légèrement déplacée jusqu’à un
angle θ0 puis lâchée sans vitesse initiale. Le pendule oscille alors dans
A
B un plan vertical, et sa position est repérée par l’angle θ qu’il forme avec
M
la verticale. Cet angle étant toujours faible, on fera l’hypothèse que les
ressorts restent horizontaux.
1 - Lister les actions mécaniques s’appliquant sur la tige et calculer leur moment par rapport à l’axe z en fonction
de la seule variable θ.
2 - En déduire l’équation du mouvement par application du théorème du moment cinétique.
3 - Résoudre cette équation.
Éléments de correction de l’exercice 1 :
1 Liaison : moment nul.
. Poids :
L
mgLθ
#”
# ”
Mz (P ) = (OG ∧ m #”
g ) · #”
e z = − mg sin θ ' −
.
2
2
. Force exercée par le ressort de gauche :
#”
Fgauche = −k(` − `0 ) #”
e x = −k(`0 + L sin θ − `0 ) #”
e x = −kL sin θ #”
ex .
Moment de cette force :
Mz = −kL sin θ × L cos θ ' −kL2 θ
. Force exercée par le ressort de gauche :
#”
Fdroite = −k(` − `0 )(− #”
e x ) = k(`0 − L sin θ − `0 ) #”
e x = −kL sin θ #”
ex .
Moment de cette force :
Mz = −kL sin θ × L cos θ ' −kL2 θ
2
mgL
J θ̈ = − 2kL2 +
θ
2
3 Pulsation propre : ω02 =
initiale :
2kL2
J
+
mgL
. Forme générale des solutions : θ = A cos(ω0 t) + B sin(ω0 t) Condition
2J
θ(t) = θ0 cos(ω0 t) .
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Colles semaine 24, sujet B : Particules chargées et moment cinétique
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Colles semaine 24, sujet C
Langevin-Wallon, PTSI 2016-2017
Particules chargées et moment cinétique
Question de cours
#”
On considère une particule de masse m et charge q en mouvement dans un champ magnétique B uniforme et
#”
stationnaire. Elle possède initialement une vitesse #”
v 0 ⊥ B. Définir et calculer le rayon cyclotron.
Exercice 1 : Deux billes attachées
On considère le dispositif ci-contre où un point matériel M1 de
masse m évolue sur le plan horizontal Oxy. Il est attaché à une
extrémité d’un fil inextensible sans masse et de longueur `. Ce fil
passe au travers d’un trou placé en O. À son autre extrémité est
attaché un point M2 de même masse m. Aucun frottement n’est pris
#”
en compte. La force de tension du fil en M1 est notée T = −T #”
er
dans la base cylindrique d’axe z.
1 - Établir une relation entre r1 , coordonnée radiale du point M1 ,
et z2 , cote du point M2 , lorsque le fil est tendu. En déduire une
relation entre ṙ1 et ż2 .
#”
2 - Que peut-on dire de la force de réaction N exercée par le plan
#”
sur M ? Montrer que N = −m #”
g.
1
3 - Déduire du théorème du moment cinétique un invariant du
mouvement à exprimer en fonction des coordonnées de M1 . Que
représente-t-il physiquement ? Commenter.
À l’instant t = 0, on lance le point M1 avec les valeurs initiales r0 , ṙ0 et θ̇0 .
4 - Le point M1 peut-il avoir un mouvement circulaire ? Quelles doivent être alors les conditions initiales ? Décrire
dans ce cas le mouvement de M1 et M2 aussi précisément que possible.
5 - Calculer la tension du fil en fonction de r et des conditions initiales. Le fil reste-t-il toujours tendu ?
Éléments de correction de l’exercice 1 :
1
Attention, z2 < 0 donc r1 − z2 = ` et donc ṙ1 = ż2 .
#”
2 Pas de frottement donc réaction normale. PFD appliqué à M1 et projeté sur #”
e z donne Nz = −mg et donc N =
#”
−m g .
#”
#”
3 Comme N et P sont opposées et appliquées au même point, alors leurs moments se compensent. Il ne reste plus
#”
que T dans le TMC, et ainsi
#”
d LO
# ” #”
# ” #”
= MO ( T ) = OM ∧ T = 0 .
dt
#”
2 #”
L’invariant cherché est donc L O = mr θ̇ e z . On retrouve la loi des aires, comme pour un mouvement à force centrale
#”
... sauf qu’ici on a supposé le mouvement plan (grâce à N ) pour retrouver la conservation du moment cinétique.
4
Application du PFD à M1 et projection dans le plan pour un mouvement circulaire à r = r0 :
(
−mr0 θ̇2 = −T
mr0 θ̈ = 0
PFD appliqué à la deuxième masse : mz̈2 = −mg + T donc T = mz̈2 + mg = mr̈1 + mg = mg. La deuxième équation
montre que ce mouvement est possible si θ̇ = cte, et la première en donne la valeur,
r
g
θ̇ =
= θ̇0
r
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Étienne Thibierge, 30 mars 2017, www.etienne-thibierge.fr
Colles semaine 24, sujet C : Particules chargées et moment cinétique
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M1 a un mouvement circulaire uniforme et M2 est immobile.
5
Plus d’hypothèse circulaire. D’après le PFD appliqué à M1 on trouve
T = (mr1 θ̇2 − T ) + mg
d’où
T =
m
(g + rθ̇2 ) > 0
2
Fil jamais détendu.
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