Cristaux et particules chargées Cristaux et

Colles semaine 23, sujet A
Langevin-Wallon, PTSI 2016-2017
Cristaux et particules chargées
Question de cours
Établir l’équation du mouvement du pendule pesant.
Exercice 1 : Expérience de Millikan
Robert Millikan est un physicien américain, lauréat du prix Nobel de physique de 1923 « pour ses
travaux sur la charge élémentaire de l’électricité et
l’effet photoélectrique ». On s’intéresse dans cet exercice à son expérience lui ayant permis de mesurer
la charge élémentaire e. Cette expérience consiste à
pulvériser des fines gouttelettes d’huile, à les ioniser (Millikan l’a fait grâce à des rayons X), puis à
mesurer leur vitesse de chute entre deux armatures
métalliques soumises à une différence de potentiel de
plusieurs kilovolts.
Toutes les gouttes sont supposées avoir une masse volumique ρ = 1,3 · 103 kg · m−3 , un rayon R constant, mais pas
forcément la même charge q. Leur charge est cependant toujours négative. Leur vitesse initiale est toujours supposée
négligeable, et on suppose leur mouvement purement vertical.
Contrairement à une particule microscopique, le poids de la goutte n’est pas négligeable devant la force électrique
qu’elle subit. Chaque goutelette est également soumise à une force de frottement visqueux exercée par l’air, décrite
par la relation de Stokes,
#”
f = −6πηR #”
v,
où η = 1,8 · 10−5 kg · m−1 · s−1 est le coefficient de viscosité de l’air. On note d = 2 cm l’espace entre les deux
armatures métalliques entre lesquelles on impose une tension U > 0.
1 - Déterminer la norme et le sens du champ électrique qui règne entre les deux armatures.
2 - Montrer que la vitesse de la goutte tend vers une vitesse limite #”
v lim .
Une première méthode, appelée méthode d’équilibre, consiste à faire varier la tension entre les armatures pour
modifier le champ électrique et déterminer la valeur de tension U0 où la goutte est immobilisée.
3 - Cette méthode nécessite au préalable de mesurer la vitesse limite de chute de la goutte pour U = 0, donc sans
champ électrique. Quelle inconnue détermine-t-on de la sorte ?
4 - En utilisant la mesure préalable, montrer que cette méthode permet de mesurer la charge q de la goutte.
En pratique, les gouttes sont suffisamment petites pour être soumises au mouvement brownien ... les arrêter n’est
donc pas simple et la méthode devient peu précise. On privilégie donc plutôt une seconde méthode, dite à champ
constant, qui consiste à inverser le sens de la tension aux bornes du condensateur tout en conservant la même valeur
absolue U .
5 - Exprimer les deux vitesses limites v1 et v2 atteintes pour les deux sens de la tension U .
6 - Montrer que le rayon de la goutte peut se déduire des seules mesures de v1 et v2 .
7 - Exprimer alors la charge q de la goutte en fonction des deux vitesses et des données.
En étudiant un grand nombre de gouttes, Millikan a alors constaté que la charge variait pendant sa présence entre
les deux armatures mais uniquement par multiples entiers d’une charge élémentaire, dont il a pu estimer la valeur
avec une assez bonne précision ... si ce n’est que la valeur de viscosité de l’air qu’il utilisait était erronée. Millikan
a donc trouvé une valeur de e inférieure à celle que l’on connaît aujourd’hui. L’origine de l’erreur n’a été comprise
qu’une vingtaine d’année après la réalisation de l’expérience. Entretemps, de nombreux scientifiques qui avaient refait
l’expérience s’étonnaient de trouver une valeur différente de celle de Millikan et ont, semble-t-il, manipulé un peu
leurs résultats pour s’approcher de la valeur de Millikan ... cela ne vous videndrait jamais à l’esprit, n’est-ce pas ?
Éléments de correction de l’exercice 1 :
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Étienne Thibierge, 30 mars 2017, www.etienne-thibierge.fr
Colles semaine 23, sujet A : Cristaux et particules chargées
Langevin-Wallon, PTSI 2016-2017
1
E = U/d vertical vers le bas, car le champ pointe vers les potentiels les plus bas.
2
Application du PFD conduit à
#”
q #”
d #”
v
1
v lim
v = #”
g + E=
+ #”
dt
τ
m
τ
2R2 ρ #”
q #”
avec donc #”
v lim =
g +
E soit en termes de norme, compte tenu du fait que le champ est vers le bas
9η
6πηR
mais q < 0,
qU
2R2 ρ
g+
vlim =
9η
6πηRd
3
Pour U = 0 on mesure le rayon de la goutte.
4 Si la goutte est immobilisée, vlim = 0, et il suffit d’inverser la relation précédente pour en déduire q à partir des
seules grandeurs connues.
5
Seul U change signe, donc
vlim =
2R2 ρ
qU
g±
9η
6πηRd
(attention, si on veut considérer que ce sont des normes, cela suppose que la gouttelette descend et ne remonte
jamais).
6
Si on somme v1 + v2 ,
4R2 ρ
g
v1 + v2 =
9η
7
d’où
3
R=
2
s
η(v1 + v2 )
ρg
En prenant cette fois la différence,
qU
v1 − v2 =
3πηRd
soit
3πηRd(v1 − v2 )
9πd(v1 − v2 )
q=
=
U
2U
2/3
s
η 3 (v1 + v2 )
ρg
Étienne Thibierge, 30 mars 2017, www.etienne-thibierge.fr
Colles semaine 23, sujet B
Langevin-Wallon, PTSI 2016-2017
Cristaux et particules chargées
Question de cours
#”
On considère une particule de masse m et charge q en mouvement dans un champ magnétique B uniforme et
#”
stationnaire. Elle possède initialement une vitesse #”
v 0 ⊥ B. Définir et calculer le rayon cyclotron.
Exercice 1 : Structure cristalline des olivines
[CCP MP 2014]
Les olivines ferro-magnésiennes sont, sous diverses formes, le composant majeur du manteau terrestre. Cet assemblage chimique ne conserve pas la même structure cristallographique selon la profondeur à laquelle il se situe : des
transitions allotropiques ont lieu en fonction des conditions de température et de pression. Ainsi, vers 660 km de profondeur, sous une température de 1830 K, l’olivine γ ou ringwoodite se transforme en silicate de magnésium MgSiO3
de structure perovskite et en magnésiowüstite assimilable à l’oxyde de magnésium MgO.
Dans la magnésiowüstite MgO, les anions O2– forment un réseau cubique faces centrées dont les ions Mg2+
occupent tous les sites octaédriques.
Données : rayons ioniques R(Mg2+ ) = 70 pm ; R(O2− ) = 140 pm et R(Si4+ ) = 41 pm.
1 - Représenter la maille de la magnésiowüstite MgO.
2 - Identifier la plus petite distance entre deux ions de charges opposées. En déduire le paramètre de maille a1 .
3 - Exprimer en fonction des rayons ioniques la compacité de la structure et calculer sa valeur numérique.
La structure perovskite est la structure adoptée par le minéral du même nom, CaTiO3 . Cette structure usuelle a
donné son nom à un type structural adopté par de nombreux matériaux synthétiques de type ABX3 . La structure
cristallographique d’une perovskite parfaite peut être décrite de la façon suivante : le cation A occupe tous les
sommets du cube, le cation B occupe le centre, et les anions X occupent les centres des faces du cube.
4 - Représenter la structure cristallographique décrite ci-dessus.
5 - La description de la maille est-elle en accord avec la formule proposée pour la perovskite résultant de la décomposition de la ringwoodite ?
Le facteur de tolérance de Goldschmidt t rend compte de l’influence des rayons ioniques sur la structure cristalline
adoptée par les composés du type ABX3 . Ce facteur exprime la condition de tangence simultanée d’une part entre
l’ion B au centre de la maille et l’ion X au centre d’une face, d’autre part entre l’ion A au sommet de la maille et ce
même ion X. C’est un indicateur de stabilité pour les structures de type perovskite. Il est défini par
t= √
RA + RX
.
2(RB + RX )
6 - Établir les deux relations traduisant la condition de tangence en faisant intervenir le paramètre de maille a2 dans
le cas d’une perovskite parfaite.
7 - En déduire la valeur de t dans ce cas.
8 - La structure de la perovskite MgSiO3 est-elle parfaite ? Commenter la valeur de t obtenue en indiquant quels
ions peuvent éventuellement être en contact.
Éléments de correction de l’exercice 1 :
Non tapé.
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Étienne Thibierge, 30 mars 2017, www.etienne-thibierge.fr