D’Arsonval, PSI? 2016-2017 Colles semaine 10, sujet A Électromagnétisme en régime statique Questions de cours Établir la condition d’évolution et d’équilibre d’un corps pur diphasé en termes des potentiels chimiques des deux phases. Exercice 1 : Fil conducteur creux Un fil conducteur épais de rayon R et parcouru par un courant d’intensité I est modélisé par la réunion de N fils fins parcourus par un courant i avec une densité surfacique de fils n = N/πR2 . On suppose que ce fil est creux et présente une cavité cylindrique parallèle à l’axe du cylindre, décentrée d’une distance a < R/2 par rapport à cet axe et de rayon r < R/2. Dans le reste du cylindre, la densité de fils est toujours égale à n. Montrer que le champ magnétique dans la cavité est uniforme. Éléments de correction de l’exercice 1 : Voir le site de Matthieu Rigaut, exercice 6 du TD électromagnétisme 1 PCSI programme 2002 : http://www.matthieurigaut.net/public/sup/elmg/cotdelmg01.pdf 1/6 Étienne Thibierge, 7 décembre 2016, www.etienne-thibierge.fr Colles semaine 10, sujet A : Électromagnétisme en régime statique 2/6 D’Arsonval, PSI? 2016-2017 Étienne Thibierge, 7 décembre 2016, www.etienne-thibierge.fr D’Arsonval, PSI? 2016-2017 Colles semaine 10, sujet B Électromagnétisme en régime statique Questions de cours Définir le flux propre d’une bobine et établir sa loi de comportement u = L Exercice 1 : Émission radioactive di . dt [oral banque PT et Centrale] Un amas d’atomes radioactifs, supposé ponctuel, émet à partir de l’instant t = 0 des particules α avec une vitesse constante v0 . On suppose la distribution de la direction d’émission isotrope. On rappelle que les particules α sont des noyaux d’hélium 42He, et on admet qu’à l’instant t la charge électrique de l’amas vaut q(t) = Q0 e−t/τ − 1 avec Q0 > 0. 1 - Justifier qualitativement la forme de la loi q(t). #” 2 - Calculer le champ magnétique B(M, t) en tout point M de l’espace. #” 3 - Calculer le champ électrique E(M, t) en tout point M de l’espace. 4 - En exploitant judicieusement les symétries, exprimer les densités volumiques de charge ρ(M, t) puis de cou#” rant j (M, t). 5 - Montrer que ces résultats sont compatibles avec les équations de Maxwell. En coordonnées sphériques, on donne #” pour un champ V = Vr (r, t) #” ur 1 ∂r2 V #” # ” #” #” div V = 2 et rot V = 0 . r ∂r Éléments de correction de l’exercice 1 : 1 L’amas émet des charges positifs, donc sa charge décroît. Allure exponentielle typique de la radioactivité. À l’instant initial q = 0 : logique ! #” 2 Étude des symétries : tout plan passant par O et M est plan de symétrie de la distribution de courant, et B(M, t) #” doit être perpendiculaire à tous ces plans là, donc forcément B = 0 en tout point de l’espace. #” #” #” 3 Étude des symétries : idem B, sauf que E est inclus dans ces plans donc E = Er (M, t) #” ur . #” Étude des invariances : pas de dépendance en θ et ϕ, donc E = E (r, t) #” u . r r Théorème de Gauss qui s’applique aussi en régime dépendant du temps : Qint (t) 4πr Er (r, t) = ε0 2 avec r Qint (t) = q t − v0 Il faut un temps r/v0 pour qu’une particule α sorte de la sphère de rayon r, donc la charge contenue dans la sphère à un instant t est la charge de l’amas à l’instant t − r/v0 . Penser à s’assurer qualitativement de la cohérence de la solution. 4 Question plus compliquée. Qint (r + dr, t) − Q(r) = 4πr2 drρ(r, t) = ∂Q ∂r avec r Q(r, t) = q t − v0 donc en faisant le calcul 1 r Q0 exp − t − 4πr2 τ v0 τ v0 et comme toutes les particules ont la même vitesse, #” j (r, t) = ρ(r, t)v0 #” ur . ρ(r, t) = 5 Calcul calcul ... 3/6 Étienne Thibierge, 7 décembre 2016, www.etienne-thibierge.fr Colles semaine 10, sujet B : Électromagnétisme en régime statique 4/6 D’Arsonval, PSI? 2016-2017 Étienne Thibierge, 7 décembre 2016, www.etienne-thibierge.fr D’Arsonval, PSI? 2016-2017 Colles semaine 10, sujet C Électromagnétisme en régime statique Question de cours Établir l’équation de conservation de la charge à partir des équations de Maxwell. Exercice 1 : Champ électromagnétique d’un faisceau de particules [oral CCP] On considère un faisceau homocinétique de particules chargées, de rayon R et infini le long d’un axe (Oz). Les particules portent une charge q et se déplacent toutes à la même vitesse #” v par rapport à un référentiel galiléen. La densité volumique de particules est notée n. 1 - On s’intéresse pour commencer au champ magnétique. #” 1.a - Définir la densité de courant j dans le faisceau. 1.b - Déterminer le champ magnétique en tout point de l’espace. 2 - On étudie ensuite le champ électrique. 2.a - Préciser l’expression de la densité volumique de charge ρ au sein du faisceau. 2.b - Déterminer le champ électrique en tout point. #” #” √ v , E, B qui soit valable en tout point. On utilisera c = 1/ ε0 µ0 . 3 - Proposer une relation vectorielle liant #” 4 - Reprendre ces questions dans le référentiel lié aux particules. Commenter. Éléments de correction de l’exercice 1 : #” # ” Même si les charges se déplacent, on est bien en régime statique car ρ = cte et j = cte. On utilise les coordonnées cylindriques. 1.a #” j = nq #” v. 1.b L L L Attention ! C’est la distribution de courant qui compte, et ses symétries et invariances n’ont a priori pas de raison d’être les mêmes que celles de la distribution de charges. #” . Invariance de la distribution de courants par rotation autour de l’axe donc B indépendant de θ ; . invariance de la distribution de courants par translation le long de l’axe donc indépendant de z ; #” . Plan passant par M et de normale #” e z est plan d’antisymétrie de la distribution de charges, donc B(M ) est inclus dans ce plan, donc Bz = 0 ; #” . Plan passant par M et de normale #” e θ est plan de symétrie de la distribution de charges donc B est inclus dans ce plan, donc Br = 0. #” Bilan : B = Bθ #” eθ . On applique ensuite le théorème d’Ampère à un cercle d’axe #” e z et de rayon r, orienté par la règle de la main droite par rapport à #” e : z B × 2πr = µ0 Ienl (r) Finalement, 2.a avec ( πr2 nqv Ienl (r) = πR2 nqv µ0 nqvr #” eθ #” 2 B = µ nqvR2 #” 0 eθ 2r si r < R si r ≥ R si r < R si r ≥ R ρ = nq 2.b L L L Attention ! C’est la distribution de charges qui compte, et ses symétries et invariances n’ont a priori pas de raison d’être les mêmes que celles de la distribution de courants. Analyse des symétries et invariances : #” . Invariance de la distribution de charges par rotation autour de l’axe donc E indépendant de θ ; . invariance de la distribution de charges par translation le long de l’axe donc indépendant de z ; #” . Plan passant par M et de normale #” e z est plan de symétrie de la distribution de charges, donc E(M ) est inclus dans ce plan, donc Ez = 0 ; 5/6 Étienne Thibierge, 7 décembre 2016, www.etienne-thibierge.fr D’Arsonval, PSI? 2016-2017 Colles semaine 10, sujet C : Électromagnétisme en régime statique . Plan passant par M et de normale #” e θ est plan de symétrie de la distribution de charges donc Eθ = 0. #” Bilan : E = Er (r) #” er . On applique ensuite le théorème de Gauss à un cylindre d’axe #” e de rayon r et de hauteur H quelconque. z ( Qint E(r) × 2πr × H + 0 + 0 = ε0 avec Qint (r) = nq π r2 h si r < R nq π R2 h si r ≥ R (flux nul sur les couvercles du cylindre car #” e z · #” e r = 0). Finalement, nq r #” er si r < R #” 2ε0 E(r) = nq R2 #” e r si r ≥ R 2ε0 r 3 Les directions font penser à un produit vectoriel, 1 #” #” v ∧E B = 2 #” c 4 Le référentiel R0 est en translation à vitesse uniforme par rapport au référentiel R : il est donc galiléen, et on peut y calculer les champs « normalement ». #” . Pour E rien ne change car la distribution de charge garde les mêmes propriétés dans le nouveau référentiel ; #” #” #” #” #” . Par contre tout change pour B parce que les particules sont fixes dans R0 , donc j 0 = 0 , donc B 0 = 0 ! #” Moralité : le champ magnétique dépend du référentiel ! C’est vrai aussi pour E, mais on ne le montre pas ici. Par #” #” contre la relation entre E et B demeure vraie. 6/6 Étienne Thibierge, 7 décembre 2016, www.etienne-thibierge.fr