Nombre complexe et argument

Terminale S/Nombre complexe et argument
1. Rappel de trigonométrie :
ı ı ı
1. En remarquant l’égalité
= − , déterminer les va12 3 4
ı
ı
leurs de cos
et sin .
12
12
7ı
7ı
2. Déterminer les valeurs de : cos
; sin
12
12
Exercice 3792
Soit ¸ un nombre réel. Simplifier les écritures suivantes :
(ı
)
(
)
a. cos
+¸
b. sin ¸+3·ı
2
)
(
(ı
ı)
−¸
c. cos ¸−
d. sin
2
2
Exercice 3794
1.
Exercice 3793
Résoudre les équations suivantes :
√
( ı ) √3
(
ı)
2
a. sin x+
b. cos 2x+
=
=
4
2
3
2
a. Développer l’expression :
( ı)
sin x+ .
4
b. Résoudre l’équation :
sin x + cos x = 1
( ı)
2. a. Développer l’expression : cos x+ .
3
√
b. Résoudre l’équation : cos x − 3· sin x = 1
Exercice 5947
2. Forme trigonométrique :
2. Placer les points F et G d’affixes respectives z et z ′ vérifiant :

√


|z| = 2
|z ′ | = 2


( )
3ı ;  arg (z ′ ) = − ı

 arg z = −
2
4
Exercice 3795
On considère le plan
muni
d’un
repère
( −
→ −
→)
O; u ; v
orthormé
direct représenté cidessous :
C
Le cercle C de centre O
et de rayon 2 est repré- -2
senté en pointillé ; les
points C et D apparD
tiennent au cercle C .
E
2
A
1
~v
-1
0
-1
Exercice 5952
~u
1
2
B
-2
1. Déterminer les modules et les arguments des affixes des
points A, B, C, D et E.
Donner l’écriture trigonométrique des nombres complexes :
(
ı
ı)
a. z1 = 2· cos − i· sin
4
4
(
2ı
2ı )
b. z2 = −3· cos
+ i· sin
3
3
( ı)
ı
c. z3 = cos + i· sin −
6
6
(
3ı )
ı
d. z4 = 2· cos + i· sin
4
4
3. Forme trigonométrique et opérations :
Exercice 5951
On considère deux nombres complexes z et z ′ de modules
respectifs r et r′ et d’arguments respectifs „ et „′ .
1. Donner l’écriture trigonométrique des nombres complexes z et z ′ .
2. Montrer que le nombre complexe z·z ′ est un nombre complexe de module (r · r′ ) et d’argument („+„′ ).
z
3. Montrer que le nombre complexe ′ est un nombre comz
r
plexe de module ′ et d’argument („−„′ ).
r
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4. Forme trigonométrique et géométrie :
5
Exercice 5359
−
→ −
→)
On considère le plan muni du repère (O ; u ; v et les quatre
points A, B, C et D d’affixes respectives :
1.
zA = −2+i ; zB = −3·i ; zC = 3−2·i ; zD = 3+2·i
3
a. Donner l’écriture algébrique du nombre complexe Z
défini par le quotient :
zC − zA
Z=
zD − zB
2
b. En déduire l’écriture trigonométrique du complexe Z.
2.
4
J
-3
a. Justifier que le quadrilatère ABCD a ses diagonales
perpendiculaires et de même longueur.
-2
-1 O
2
3
4
5
6
7
-1
b. Le quadrilatère ABCD est-il un losange ?
-2
Exercice 5360
-3
−
→ −
→)
Dans le plan muni d’un repère O ; u ; v , on considère les
trois points A, B et C d’affixes respectives :
zA = −2 + i ; zB = −3·i ; zC = 6 + 5·i
I
(
1. Placer ces trois points dans le repère ci-dessous :
-4
2. Démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.
3. On considère le point D d’affixe zD où :
zD = 4−i
a. Donner l’écriture algébrique du nombre complexe Z
définie par :
zB − zA
Z=
zD − zA
b. JustifierÄ que la demi-droite
[AD) est la bissectrice de
−−→ −→ä
l’angle AB ; AC .
5. Forme exponentielles :
b. En déduire l’écriture exponentielle de :
Exercice 3848
π
2·e−i· 3 + 3·ei·
Déterminer l’écriture exponentielle des nombres complexes
suivants :
a. z1 = 5
d. z4 = −3 + 3·i
b. z2 = −3
√
e. z5 = −2 3 − 2·i
c. z3 = −3·i
√
f. z6 = 3 − 3·i
Exercice 5366
On considère les deux nombres complexes donnés ci-dessous :
√
√
π
π
z1 = 3·ei· 3 ; z2 = 6·e−i· 6
Déterminer une expression simplifiée des calculs suivants :
z1
a. z1 · z2
b.
c. z1 + z2
z2
Exercice 3831
1. Soit z un nombre complexe admettant la forme exponentielle :
z = r·ei·θ où r ∈ R+ , „ ∈ R
Déterminer la forme exponentielle des nombres complexes suivants :
b. −z
a. z
2.
a. Justifier l’égalité suivante :
2π
3·ei· 3
=
π
−3·e−i· 3
2π
3
Exercice 4253
Dans C, on considère les deux√
nombres complexes suivants :
zA = 1 − i ; zB = 2 + 3 + i
1. Déterminer le module et un argument de zA .
zB
2. Ecrire
sous écriture algébrique.
zA
√
π
zB
= (1+ 3)·ei· 3
3. Montrer que :
zA
4. En déduire l’écriture exponentielle de zB .
Exercice 3798
1. Déterminer l’écriture algébrique du nombre complexe z
1−i
défini par z =
1+i
2.
a. Donner l’écriture exponentielle des deux nombres
complexes suivants : z1 = 1−i ; z2 = 1+i
b. En déduire l’écriture exponentielle du nombre complexe z.
3. Déterminer l’écriture exponentielle du nombre complexe
1+i
√
z3 définie par : z3 =
1− 3·i
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Exercice 3827
On considère dans C les nombres complexes z1 et z2 de module 1 et d’arguments respectifs ¸ et ˛. Montrer que :
(
)2
z1 + z2
est un réel positif ou nul.
z1 ·z2
( )
On considère la suite de nombres complexes zn définie par ;
√
(
)
z0 = 3 − i ; zn+1 = 1 + i ·zn pourt tout n ∈ N
1. Déterminer la forme algébrique de z1 .
2. Déterminer la forme exponentielle de z0 et 1+i.
En déduire la forme exponentielle de z1 .
3. Déduire
( ı )des questions précédentes la valeur exacte de
cos
12
Exercice 6380
6. Forme exponentielle et mesure principale de l’argument :
z 2 − 2z + 4 = 0
Exercice 5381
On considère les deux nombres complexes suivants donnés
sous leur forme trigonométrique :
z1 = 2·ei·
2π
3
;
z2 = 3·ei·
3π
4
Donner l’écriture exponentielle des expressions suivantes :
( )2
z2
a. z1 ·z2
b. z1 ·z2
c. ( )2
z1
Les solutions seront notées z et z ′ , z ′ désignant la solution dont la partie imaginaire est positive.
Donner l’écriture algébrique puis l’écriture exponentielle
des solutions de cette équation.
2. Donner l’écriture exponentielle exacte du nombre com( )2 004
, puis son écriture algébrique.
plexe z ′
Exercice 5325
Exercice 3829
1.
a. Soit z1 le nombre complexe
admettant pour écriture
√
algébrique : z1 = −2· 3+2·i
Déterminer l’écrituer exponentielle de ce nombre.
b. Soit z2 le nombre complexe vérifiant :
√
3
|z2 | = 2 ; arg(z2 ) = ·ı
4
Déterminer l’écriture algébrique du complexe z2
Indiquer si l’affirmation suivante est vraie ou fausse en justifiant la réponse :
“Le nombre complexe a est un nombre imaginaire pur.”
Exercice 6081
2. Déterminer, à votre convenance, soit l’écriture algébrique, soit l’écriture exponentielle des nombres complexes suivants :
a. z1 · z2
( √
)2011
a = − 3+i
.
On considère le nombre complexe :
b. z1 + z2
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct
( −
→ −
→)
O ; u ; v . On considère l’application z de C dans C définie
par :
f : z 7−→ z 2 .
√
√
On considère le complexe : a = 2−i· 2
1. Exprimer a sous écriture exponentielle.
Exercice 3810
1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation :
2. En déduire les nombres complexes antécédents du
nombre a par f .
7. Géométrie et argument :
On rappelle que z désigne le conjugué de z et que |z| désigne
le module de z.
Exercice 4105
Dans le plan complexe muni du repère orthonormal
( −
→ −
→)
O ; u ; v , on considère les points M et M ′ d’affixes respectives z et z ′ . On pose :
z = x + i·y ; z ′ = x′ + i·y ′
où x, x′ , y, y ′ sont des nombres réels.
1. Exprimer le complexe z·z ′ en fonction de x, x′ , y, y ′ .
−−→ −−−→′
2. a. Montrer que les vecteurs OM
(
)et OM sont orthogonaux si, et seulement si, Re z ′ ·z = 0.
b. Montrer que les points O, M et M ′ sont alignés si, et
seulement si, Im(z ′ ·z) = 0
8. Géométrie et complexes :
Exercice 5380
2
Décrire avec l’écriture algébrique ou l’écriture exponentielle
des parties du plan représentées ci-dessous :
~v
~v
~u
2
~u
~v
~u
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π
6
Exercice 3796
( −
→ −
→)
On considère le plan muni d’un repère O ; u ; v orthonormé direct. Décrire l’ensemble des points M du plan dont
l’affixe z vérifie les conditions suivantes :
a. |z| = 1
d. arg(z) =
ı
2
b. |z| ⩽ 3
ı
e. arg(z) =
4
c. 1 ⩽ |z| ⩽ 2
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct
( −
→ −
→)
O ; u ; v , on considère les points A, B, C, D d’affixes respectives :
√
√
zA = − 3 − i ; zB = 1 − i· 3
√
√
zC = 3 + i ; zD = −1 + i· 3
1. Donner le module et un argument de chacun des quatre
nombres complexes zA , zB , zC et zD .
2. Construire à la règle et au compas les points A, B , C et
D (on prendra pour unité graphique 2 cm).
Exercice 4320
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct
( −
→ −
→)
O ; u ; v . On prendra 2 cm pour unité graphique. On appelle J le point d’affixe i.
1. On considère les points A, B, C, H d’affixes respectives :
a = −3 − i ; b = −2 + 4·i ; c = 3 − i ; h = −2.
Placer ces points sur une figure, qui sera complétée au
fur et à mesure de l’exercice.
2. Montrer que J est le centre du cercle C circonscrit au
triangle ABC. Préciser le rayon du cercle C .
b−c
.
h−a
En déduire que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires.
3. Donner l’écriture algébrique du nombre complexe
Exercice 3854
3. Déterminer le milieu du segment [AC], celui du segment
zB
[BD]. Calculer le quotient
. En déduire la nature du
zA
quadrilatère ABCD.
Exercice 4314
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct
( −
→ −
→)
O; u ; v
1. Résoudre dans C l’équation :
2·z 2 −6·z+9 = 0
On désigne par P , Q et R les points d’affixes respectives :
√
)
3(
3
zP = · 1 + i ; zQ = ·(1 − i) ; zR = −2·i· 3
2
2
2. On note S le symétrique du point R par rapport au point
Q. Vérifier que l’affixe
zS du point S est :
( √
)
zS = 3 + i· 2· 3 − 3
9. Transformations du plan :
1. Etablir la proposition suivante :
Exercice 6020
A tout nombre complexe z tel que z ̸= 2, on associe le nombre
complexe z ′ définie par :
z+3
z′ =
z−1
1. On note x+i·y, où x ∈ R et y ∈ R, l’écriture algébrique du
nombre complexe z.
Donner l’écriture algébrique du nombre z ′ , associé à z,
en fonction de x et de y.
2.
a. On considère l’équation cartésienne :
(E) : x2 + y 2 + 2x − 3 = 0
Justifier que, dans le plan, l’ensemble des solutions de
(E) est le cercle C de centre (−1 ; 0) et de rayon 2.
b. Déterminer l’ensemble des nombres complexes z tels
que le nombre complexe z ′ associé soit un imaginaire
pur.
Exercice 4078
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct
( −
→ −
→)
O ; u ; v . On note A le point d’affixe i.
Pour tout point M d’affixe z tel que z̸=i, on définit le point
M ′ dont l’affixe z ′ est défini par :
1
z′ =
3·(z − i)
Si M est un point du cercle de centre A de rayon
r, alors M ′ est un point du cercle de centre O de
1
rayon
.
3·r
Ä−
→ −−→ä
2. Démontrer que : arg(z ′ ) = − u ; AM
Exercice 4099
( −
→ −
→)
Dans le plan muni d’un repère orthonormal O ; u ; v , on
considère les points A et B d’affixes respectives 2 et (−2).
On définit l’application f qui à tout point M d’affixe z et
différent de A associe le point M ′ d’affixe :
z′ =
z·(z − 2)
z−2
1. Montrer que pour tout nombre complexe z, le nombre
complexe (z−2)(z−2) est réel.
2. En déduire que pour tout nombre complexe distinct de
z ′ +2
est réel.
2,
z−2
3. Montrer, pour tout point M du plan, que les droites
(AM ) et (BM ′ ) sont parallèles.
10. Suites :
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Pour tout entier naturel n, on pose :
Exercice 3875
On considère le plan muni d’un repère orthonormal
( −
→ −
→)
O ; u ; v . Soit A et B les points d’affixes respectives :
zA = i ; zB = 2 + 2·i
1. Soit I un point du plan dont l’affixe zI vaut :
23
zI = −4 + ·i
2
Montrer que le point I appartient à la médiatrice du segment [AB].
un = zn .
1. Calculer u0 .
( )
2. Démontrer que un est la suite géométrique de raison
√
2 et de premier terme 2.
3. Pour tout entier naturel n, exprimer un en fonction de
n.
( )
4. Déterminer la limite de la suite un .
Exercice 6382
2. Soit M un point du plan d’affixe (2+i).
Montrer que le point M appartient au cercle de diamètre
[AB].
Exercice 6384
( )
On considère la suite zn de nombres complexes définies par :
1+i
z0 = 4 ; zn+1 =
·zn pour tout n ∈ N
2
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct d’origine O,
on note An le point image du nombre complexe zn .
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé
(
−
→ −
→)
O; u ; v .
Pour tout entier naturel n, on note An le point d’affixe zn
défini par :
( 3 √3 )
z0 = 1 ; zn+1 =
+
·i ·zn
4
4
1. Déterminer les affixes des poitns A1 et A2 .
3
2
J
2. Démontrer que le triangle OAn An+1 est rectangle en
An+1 .
-2
-1
O
I
2
3
4
-1
3. On admet que, pour tout entier naturel n :
n·π
zn = zn ·ei· 6
1.
Placer les point A0 , A1 , A2 , A3 et A4 dans le repère
ci-dessous :
J
a. Calculer z1 , z2 et z3 .
b. Placer les points A1 , A2 et A3 dans le repère ci-dessous.
2. On note ‘n la longueur de la ligne brisée qui relie le point
A0 au point An en passant sucessivement par les points
A1 , A2 , A3 . . .
Ainsi : ‘n =
n
∑
Ak−1 Ak = A0 A1 +A1 A2 +· · ·+An−1 An
k=1
a. Etablir la relation ci-dessous pour tout entier naturel
n non-nul : An−1 An = zn O
b. A l’aide d’un raisonnement par récurrence, établir
l’égalité suivante pour
√ tout entier naturel n non-nul :
√ ( 2 )n−1
An−1 An = 2 2·
2
I
Exercice 6381
( )
On considère la suite de nombres complexes zn définie par :
√
(
)
z0 = 3−i ; zn+1 = 1 + i ·zn
c. Donner une expression de ‘n en fonction de n.
( )
d. Déterminer la limite éventuelle de la suite ‘n .
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