TD07 - IMJ-PRG

Université Pierre & Marie Curie
LM 371 (Algèbre 1)
Licence de Mathématiques L3
Automne 2012
TD n◦ 7. Actions de groupes
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Quelques actions classiques
Exercice 1.
a) Déterminer les orbites des groupes GLn (R), SLn (R), et On (R) dans leur action naturelle sur Rn .
b) Dans chacun des cas suivants, vérifier qu’il s’agit bien d’une action, déterminer les stabilisateurs,
les orbites, et écrire l’équation aux classes.
i) G agit sur lui-même par translation à gauche : g ∗ x = gx.
ii) G agit sur lui-même par conjugaison : g ∗ x = gxg −1 .
iii) Soit H ≤ G. G agit à gauche sur G/H = {gH : g ∈ G} par g 0 ∗ (gH) = (g 0 g)H.
iv) G agit par conjugaison sur l’ensemble des conjugués de H.
Exercice 2.
a) Montrer que le groupe des isométries d’un triangle équilatéral est isomorphe à S3 .
b) Déterminer le groupe des isométries d’un carré (vous devez trouver 8 éléments).
c) Donner une présentation du groupe du carré.
d) Généralisation : soit P un polygône régulier à n côtés. On note Dn et l’on appelle groupe dihédral
son groupe d’isométries. Décrire Dn .
e) Tout dire sur l’ensemble des isométries d’un cube.
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Théorie des actions
Exercice 3. Soit G un groupe agissant sur un ensemble X. Montrer qu’il existe alors un morphisme de
groupes φ : G → S(X) où S(X) est l’ensemble de bijections de X. Montrer que, réciproquement, à tout
morphisme de groupes φ : G → S(X) on peut associer une action de G sur X par g · x = φ(g)(x).
Exercice 4. Soit G un groupe fini agissant sur un ensemble X (fini aussi). Pour g ∈ G, on note χ(g) le
nombre de points fixes de g.
P
1
a) Montrer que le nombre d’orbites est |G|
g∈G χ(g). On pourra dénombrer S = {(g, x) ∈ G × X :
g ∗ x = x} de deux manières différentes.
b) Application. Combien de colliers distincts de huit perles bleues, rouges et vertes peut-on faire ?
(Compter les orbites des coloriages d’un octogone sous l’action du groupe dihédral associé.)
Exercice 5. Soit G un groupe d’ordre n opérant transitivement sur un ensemble X de cardinal `.
a) Montrer que tous les stabilisateurs d’éléments sont conjugués.
b) Montrer que ` divise n.
S
c) Montrer que l’union x∈X StabG (x) est de cardinal ≤ n − ` + 1.
d) Si ` ≥ 2 montrer qu’il existe au moins ` − 1 éléments de G qui n’ont pas de point fixe.
e) Application : montrer qu’un groupe fini n’est jamais union des conjugués d’un sous-groupe propre.
Montrer que c’est possible si G est infini.
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Applications des actions
Exercice 6 (théorème de Cayley). Soit G un groupe. En faisant agir G sur lui-même par translation à
gauche, montrer que G s’injecte dans le groupe symétrique sur son ensemble sous-jacent.
Remarque. Tout groupe fini s’injecte en particulier dans un Sn . Mais vu la complexité des sous-groupes
du groupe symétrique, il faut relativiser la portée pratique de ce théorème.
Exercice 7. On rappelle que les automorphismes d’un groupe G forment un groupe noté Aut(G).
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a) En faisant agir G sur lui-même par conjugaison, montrer qu’il existe un morphisme de G vers
Aut(G). En déduire que G/Z(G) s’injecte dans Aut(G).
b) Généralisation : si A ⊆ G est un sous-ensemble non vide, NG (A)/CG (A) s’injecte dans Aut(hAi).
Exercice 8 (un peu d’arithmétique). Soient k < n deux entiers.
n!
a) Montrer que Cnk = k!(n−k)!
en faisant agir Sn sur l’ensemble des parties à k élements de {1, . . . , n}.
b) On suppose à présent k premier à n.
i) Montrer que l’on fait agir Z/nZ sur l’ensemble des parties à k éléments de {0, . . . , n − 1} en
posant m ∗ {a1 , . . . , ak } = {a1 + m, . . . , ak + m}.
ii) Montrer que chaque stabilisateur est trivial.
iii) En déduire que n divise Cnk .
Exercice 9 (lemme de Cauchy). Soient G un groupe fini et p un facteur premier de |G|. On va montrer
que G a (au moins) un élément d’ordre p.
a) Montrer que l’on fait agir Z/pZ sur l’ensemble S = {(x0 , . . . , xp−1 ) ∈ Gp : x0 · · · · · xp−1 = 1} en
posant m ∗ (x0 , . . . , xp−1 ) = (x0+m , . . . , xp−1+m ), les indices étant pris modulo p.
b) Écrire l’équation aux classes et conclure.
Exercice 10. Soit p un nombre premier. Un p-groupe est un groupe d’ordre une puissance de p.
a) Soit G un p-groupe opérant sur un ensemble fini X. Soit X G l’ensemble des points fixes sous G :
X G = {x ∈ X : ∀g ∈ G, gx = x}. Montrer que |X| ≡ |X G | mod p.
b) En déduire que le centre d’un p-groupe n’est pas réduit à {e}.
Exercice 11.
a) Soit G un groupe ayant un sous-groupe d’indice n. Montrer que G a un sous-groupe distingué
d’indice divisant n! (introduire un morphisme G → Sn ).
b) Soit p le plus petit diviseur premier de |G|. Montrer que si H < G est d’indice p, alors H / G.
Les deux dernières questions font suite à (a) et hors du programme.
c) Montrer que (a) ne marche pas quand on remplace « distingué » par « caractéristique ».
d) (Dur.) Montrer que si un groupe G infini finiment engendré possède un sous-groupe distingué
d’indice fini, il possède un sous-groupe caractéristique d’indice fini.
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Pour aller plus loin. . .
Exercice 12 (transitivité d’ordre supérieur). Soit G un groupe fini opérant sur un ensemble fini X.
a) Soit X [k] l’ensemble des k-uplets d’éléments distincts de X : X [k] = {(x1 , . . . , xk ) ∈ X k : ∀i 6=
j, xi 6= xk }. Montrer que G agit naturellement sur X [k] .
b) On dit que G agit k-transitivement sur X si G agit transitivement sur X [k] .
Quel est le degré de transitivité de Sn sur X = {1, . . . , n} ? Quel est celui de An ? Quel est le degré
du groupe du carré sur les sommets du carré ?
c) Montrer que si G est k-transitif, alors |G| = n(n − 1) . . . (n − k + 1)| Stab(x1 , . . . , xk )|.
d) On note χ(g) le nombre de points fixes de g dans son action sur X (voir Ex. 4).
Montrer que G est k-transitif ssi
1 X
χ(g)(χ(g) − 1) . . . (χ(g) − k + 1) = 1
|G|
g∈G
e) On suppose G transitif sur X. Montrer que G est 2-transitif ssi
1
|G|
P
g
χ2 (g) = 2.
Exercice 13 (actions équivalentes). Soit G un groupe agissant sur deux ensembles X et Y . Les actions
sont dites équivalentes s’il existe une bijection f : X → Y telle que ∀(g, x) ∈ G × X, f (g · x) = g · f (x)
(on dit que la fonction f est covariante).
a) Montrer que si G est transitif sur X et que H = Stab(x) pour un x ∈ X quelconque, alors l’action
de G sur X est équivalente à celle de G sur G/H.
b) Montrer que l’action de G sur lui-même par translation à gauche est équivalente à son action par
translation à droite.
c) On note Γ : G → SG le morphisme associé à l’action gauche : Γ(g)(x) = gx, et ∆ celui associé à
l’action droite : ∆(g)(x) = xg. Montrer que CSG (im Γ) = im ∆.
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