Feuille d`exercices no 15 : Variables aléatoires finies

Feuille d’exercices no 15 : Variables aléatoires finies
2013 – 2014
Exercice 1 — On considère une variable aléatoire X à valeurs dans ~0 , 4. On suppose que P (X < 3) = 12 , P (X > 3) =
que les événements [X = 0], [X = 1] et [X = 2] sont équiprobables.
1. Déterminer la loi de X.
2. Calculer l’espérance et la variance de X.
1
3
et
Exercice 2 — Une urne contient deux boules blanches et huit boules noires. Un joueur tire cinq boules, successivement et
sans remise. Soient B la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches tirées et N celle égale au nombre de boules
noires tirées.
1. Déterminer la loi de B puis calculer E(B).
2. Trouver une relation liant B et N . En déduire la loi de N ainsi que son espérance.
Exercice 3 — Soient α ∈ R∗+ et X une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé fini (Ω, P (Ω), P ) et à valeurs dans
~1 , 10. On suppose que la loi de X et donnée par ∀k ∈ ~1 , 10, P (X = k) = αk.
1. Déterminer la valeur de α.
2. Calculer l’espérance et la variance de X.
3. Déterminer les lois et calculer les espérances de : Y = X + 1, Z = (X − 5)2 , T = 2Z.
Exercice 4 Fonction génératrice. — Soit n ∈ N∗ et soit X une variable aléatoire définie surPun espace probabilisé fini
(Ω, P (Ω), P ) et à valeurs dans ~0 , n. On définit la fonction polynomiale GX sur R par GX : t 7→ nk=0 P (X = k)t k .
1. Soit t ∈ R∗+ . Montrer que GX (t) = E(t X ).
2. Calculer GX (0) et GX (1).
3. Soit Y une variable aléatoire finie. Montrer que Y a la même loi que X si et seulement si GX = GY .
0
00
4. Exprimer E(X) et V (X) en fonction de GX
(1) et GX
(1).
Exercice 5 — Soient a, b ∈ N∗ et soit X une variable aléatoire à valeurs dans ~1 , ab. On suppose que la loi de X est donnée
par : ∀k ∈ ~1 , ab, P (X = k) = 1a − 1b
1. Quelles conditions doivent vérifier les entiers a et b ?
2. Calculer E(X) et trouver a et b tels que E(X) = 13
2 .
3. a) Tracer le graphe de la fonction de répartition FX de la variable X dans le cas où a = 2.
b) Dans le cas général, résoudre l’équation FX (t) = 12 .
Exercice 6 — Une urne contient deux boules blanches et n − 2 boules rouges. On appelle X le rang de sortie de la première
boule blanche, Y le nombre de boules rouges restant à ce moment dans l’urne et Z le rang de sortie de la deuxième boule
blanche.
1. Déterminer la loi de X et son espérance.
2. Exprimer Y en fonction de X et calculer E(Y ).
3. ** Trouver un lien entre Z et X et en déduire la loi de Z.
Exercice 7 — Soit n ∈ N∗ . On jette n fois de suite une pièce truquée dont la probabilité d’obtenir pile est p. Soit X la variable
aléatoire égale au numéro du premier lancer qui donne pile (on convient que X vaut 0 si l’on n’obtient aucun pile lors des n
lancers).
n
P
1. Déterminer la loi de X et vérifier que
P (X = k) = 1.
2. Calculer l’espérance de X.
k=0
Indication : Soit f la fonction définie sur R par f (x) =
n
P
xk . Que vaut f 0 (x) pour x , 1 ?
k=0
Exercice 8 — On dispose d’une urne qui contient des boules blanches et des boules noires, avec une proportion de boules
blanches égale à 2/3. Un joueur mise une somme de s euros, avec s ∈ N∗ . Il tire une à une des boules de l’urne, successivement
et avec remise, chaque tirage lui coûtant un euro. Le jeu s’arrête dans deux cas : soit lorsque la somme restant dans la mise
est nulle, soit lorsqu’il tire une boule blanche. Dans le second cas, le joueur perçoit le triple de la somme restant dans la mise.
Soient X la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués, et T la variable aléatoire égale à la somme perçue.
1. Déterminer la loi de X ainsi que son espérance.
2. En déduire la loi de T ainsi que son espérance.
Exercice 9 — Un mobile se déplace sur un axe comme suit : à l’instant 0, il est au point 0. Puis, si le mobile est à l’instant n
sur le point d’abscisse k, alors à l’instant n + 1, il sera sur le point d’abscisse k + 1 avec probabilité p ∈ ]0 , 1[ et en 0 sinon. On
appelle Xn la variable égale à l’abscisse du mobile à l’instant n. On a donc X0 = 0.
1. Donner la loi de X1 .
2. Montrer par récurrence que pour tout n ∈ N∗ , Xn (Ω) = ~0 , n.
3. Montrer que pour tout n ∈ N∗ et k ∈ ~1 , n, P (Xn = k) = pP (Xn−1 = k − 1).
1
4. En déduire : ∀n ∈ N∗ , E(Xn ) = pE(Xn−1 ) + p puis déterminer E(Xn ) en fonction de n et p.
Lois usuelles finies
Exercice 10 —
1. Un automobiliste rencontre successivement 5 feux de circulation indépendants sur le boulevard de Strasbourg. La
probabilité qu’un feu soit vert est de 1/2. On note X le nombre de feux verts pour le cycliste. Déterminer la loi de X, son
espérance et sa variance.
2. Un parking souterrain contient 20 scooters à trois roues, 20 motos et 20 voitures. On choisit un véhicule au hasard, et on
note X le nombre de roues de ce véhicule. Déterminer la loi de X, son espérance, et sa variance.
3. Une étude statistique a permis de déterminer que 10% de la population est gauchère. Quelle est la probabilité qu’un
groupe de 8 personnes contienne un seul gaucher ? Au plus deux gauchers ?
49
4. Le stock d’un fournisseur de lasagnes contient une proportion p = 1000
de barquettes de lasagnes à base de viande de
cheval. Un contrôleur examine des barquettes de lasagnes chez ce fournisseur. Combien doit-il contrôler de barquettes en
moyenne pour qu’il trouve au moins une barquette à base de viande de cheval.
5. Une jarre contient 12 scorpions, 27 araignées et 56 blattes. On choisit une araignée au hasard parmi les 27 araignées dans
la jarre. X est le nombre de pattes de l’animal choisi.
Exercice 11 — Soient a, b deux entiers relatifs tels que a < b et soit X une variable aléatoire de loi uniforme U(~a , b).
Déterminer l’espérance et la variance de X
Exercice 12 — Soit X une variable de loi B(n, p), avec n ∈ N∗ et p ∈ ]0 , 1[. Donner la loi de Y = n − X.
1
Exercice 13 — Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale B(n, p). Calculer E(2X ) et E
1+X
Exercice 14 — Soit X une variable aléatoire réelle de loi binomiale B(n, p). Un compteur est censé afficher le résultat de
X mais celui-ci ne fonctionne pas correctement : si X n’est pas nul, le compteur affiche bien la valeur de X ; si X est nul, il
affiche au hasard une valeur entre 1 et n. On note Y la variable aléatoire égale au nombre affiché par le compteur.
1. Déterminer la loi de Y .
2. Justifier sans calcul que E(Y ) ≥ E(X) puis confirmer cette inégalité en calculant E(Y ).
Exercice 15 — Deux avions A1 et A2 possèdent respectivement deux et quatre moteurs. Chaque moteur a la probabilité p
(où p ∈ ]0 , 1[) de tomber en panne et les moteurs sont indépendants les uns des autres. Les deux avions partent pour un
même trajet. Chacun des avions arrivent à destination si strictement plus de la moitié de ses moteurs reste en état de marche.
Vous partez pour cette destination. Quel avion choisissez vous ?
Exercice 16 — Une puce se déplace en faisant des sauts aléatoires sur un axe gradué. Initialement à l’origine, la puce
se déplace à chacun de ses sauts d’une unité vers la droite avec probabilité p ∈ ]0 , 1[ ou d’une unité vers la gauche avec
probabilité 1 − p. On note Xn sa position sur l’axe après le n-ième saut, et Yn le nombre de fois où elle s’est déplacée vers la
droite entre le premier et le n-ième saut (compris).
1. Quelle est la loi de Yn ?
2. a) Trouver une relation entre Xn et Yn .
b) En déduire la loi de Xn ainsi que les expressions de E(Xn ) et V (Xn ) en fonction de n.
Exercice 17 Une demande en mariage. — Un couple de deux personnes A et B sont assises dans un même rang des gradins
du stadium municipal de Toulouse. Ces deux personnes ne sont pas assises à côté et sont séparées par n individus I1 , I2 , . . . , In .
Avant de s’asseoir, B a demandé A en mariage mais, sous l’effet de la surprise, A n’a pu lui répondre sur le coup. Une fois
assis et les idées claires, A donne sa réponse à l’individu I1 (sous la forme de « oui » ou « non »). Dès lors I1 transmet cette
réponse à I2 qui la transmet à I3 et ainsi de suite jusqu’à In , qui délivre enfin la réponse à B. Malheureusement, les individus
I1 , I2 , . . . , In sont des plaisantins : chacun d’entre eux transmet la réponse entendue avec probabilité p ∈ ]0 , 1[ et le contraire
avec probabilité q = 1 − p. Les réponses de ces n individus sont indépendantes.
1. Calculer la probabilité pn que la réponse de A soit transmise à B.
Indication : On pourra considérer la variable aléatoire X qui compte le nombre de transmissions de messages contraires.
2. Montrer que la suite (pn )n∈N∗ converge et déterminer sa limite lorsque n → +∞.
2