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Physique
ELECTROMAGNETISME
EXERCICE D’ORAL
-EXERCICE 29.4• ENONCE :
« Guide d’onde coaxial »
On considère un câble coaxial constitué d’un cylindre métallique plein de rayon a (= « âme » du
câble), entouré d’un cylindre métallique creux coaxial de rayon b ; le milieu compris entre les
deux cylindres est constitué de polyéthylène dont les caractéristiques électromagnétiques seront
celles du vide.
La propagation d’une onde électromagnétique peut être guidée entre les deux conducteurs par
réflexions multiples, selon la direction Oz correspondant à l’axe du système.
On envisage la propagation d’un champ électrique de la forme :
!
!
E (r , z , t ) = E (r ) exp[i (ω t − kz )]er
1) Déterminer la fonction
2)
E (r ) .
Calculer le champ magnétique
on pose :
E (a) = E0
!
B(r , z , t ) en supposant nulle toute composante
stationnaire de ce champ. Pourquoi cette restriction n’a-t-elle aucune importance en ce
qui concerne la propagation ? Quelle est la structure de l’onde ?
3) En déduire la moyenne temporelle de la puissance transportée par l’onde.
4) Déterminer la moyenne temporelle de la densité linéique d’énergie électromagnétique.
5) Déduire de ces résultats la vitesse de l’énergie
Comparer
vE ; la relier à la vitesse de phase et à c.
vE à c et conclure.
On donne en coordonnées cylindriques :
! 1 ∂ (rEr ) 1 ∂Eθ ∂Ez
divE =
+
+
r ∂r
r ∂θ
∂z
"""! !  1 ∂E ∂Eθ
z
rotE = 
−
∂z
 r ∂θ
Page 1
 !  ∂Er ∂Ez
−
 er + 
∂r

 ∂z
 !  1 ∂ (rEθ ) 1 ∂Er
−
 eθ + 
r ∂θ

 r ∂r
Christian MAIRE
!
 ez

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EXERCICE D’ORAL
• CORRIGE :
« Guide d’onde coaxial »
1) Dans l’espace compris entre les conducteurs, on peut écrire :
!
aE
1 ∂ (rEr ) 1 d [rE (r )]
divE = 0 ⇒
=
= 0 ⇒ rE (r ) = cste = aE0 ⇒ E (r ) = 0
r
r ∂r
r
dr
2) • L’onde n’étant pas plane, on ne peut à priori utiliser la relation de structure des O.P.P.M ; on
se sert donc de l’équation de Maxwell-Faraday :
!
! Ea k
"""! !
!
!
∂B
∂E !
Ea
!
= − rot E = − r eθ = ik 0 exp[i (ω t − kz )]eθ = iω B ⇒ B = 0 × exp[i (ω t − kz )]eθ
r ω
∂t
∂z
r
!
!
Rq : une composante stationnaire de B multipliée vectoriellement par E donnerait pour le
vecteur de Poynting une composante proportionnelle à cos(ω t − kz ) , dont la valeur moyenne
temporelle serait nulle : cette composante stationnaire ne participe donc pas à la propagation
moyenne de l’énergie.
• Une relation intrinsèque existe entre les deux champs :
!
!
! k !
!
B = ∧ E avec: k = kez
ω
Cette relation est donc similaire à celle vue pour les O.P.P.M, mais
elle n’a ici qu’un caractère local, l’amplitude des champs n’étant pas constante sur un plan
!
perpendiculaire à la direction de propagation ez ; de plus, il ne faudrait pas simplifier k / ω en
1/c, la relation de dispersion étant différente.
3) Donnons l’expression du vecteur de Poynting :
!
""! ! B  E a  2
""!
k
!
cos 2 (ω t − kz )ez ⇒ Π
Π=E∧
= 0  ×
µ 0  r  µ 0ω
2
k !
E a
= 0  ×
ez ; la puissance transportée
T
 r  2 µ 0ω
est obtenue par intégration sur une section du câble avec un élément de surface dS = 2π rdr :
P
T
E 2 a 2 k 2π
= 0
2 µ0ω
∫
b
a
rdr
⇒
r2
P
T
= P
T
E02 a 2 kπ
=
Ln(b / a )
µ 0ω
4) Ecrivons la densité volumique d’énergie électromagnétique :
k 2 a 2 E02
dWEM ε 0 E 2 B 2 ε 0 a 2 E02
2
=
+
=
ω
−
+
cos
(
)
cos 2 (ω t − kz ) ⇒
t
kz
2
2 2
dτ
2
2 µ0
2r
2 µ0ω r
dWEM
dτ
=
T
E02 a 2 
k2 
ε
+
 0

4r 2 
µ 0ω 2 
 k c 
k
= ε 0  1 + 2  , puis on intégrera sur une section du câble pour obtenir
2
µ0ω
ω 

l’énergie moyenne par unité de longueur (en effet : dτ = dSdz = 2π rdrdz ) ; d’où :
On écrira :
dWEM
dz
Page 2
ε0 +
=
T
2
2 2
E02 a 2  k 2 c 2  b 2π rdr
ε 0 1 + 2  × ∫
⇒
4
ω  a r2

dWEM
dz
Christian MAIRE
=
T
E02π a 2  k 2 c 2 
ε 0 1 + 2  Ln(b / a)
2
ω 

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EXERCICE D’ORAL
5) Comme dans l’exercice 29.3, on en déduit la vitesse de l’énergie :
PT
vE =
dWEM
dz
T
2vϕ
2kc 2ω
= 2
=
v2
ω + k 2c2
1 + ϕ2
c
(avec : vϕ
=ω /k)
Rq : d’après la Relativité, cette vitesse doit être inférieure à c ; écrivons
2vϕ
1+
2
ϕ
2
v
c
Page 3
vE ≤ c ⇒
≤ c ⇒ 2vϕ c ≤ c 2 + vϕ2 ⇒ (c − vϕ ) 2 ≥ 0 ce qui est toujours vérifié.
Christian MAIRE
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