IFT-3001 (Hiver 2017) Travail 1

IFT-3001 (Hiver 2017) Travail 1
Enseignant : Claude-Guy Quimper
Date de remise : 26 février 2017, 23h59.
— Les travaux remis en retard ne seront pas corrigés et se verront attribuer la note de zéro.
— À moins de spécifications contraires, vous devez toujours pleinement justifier vos réponses.
— Il s’agit d’un travail individuel. Toute communication ou entraide avec une autre personne
au sujet de ce travail est interdite.
— Le code de programmation doit pouvoir compiler avec g++ 4.9.2. À partir d’une connexion VPN,
vous pouvez compiler votre code sur cette page web : http://geyron.fsg.ulaval.ca.
Format de remise :
— Vous devez remettre un fichier zip contenant un fichier PDF par question. La structure du
fichier zip ne doit pas contenir de sous-répertoire et doit seulement contenir les fichiers :
Question1.pdf, vecteur.cpp, Question2.pdf et Question3.pdf.
— Votre nom, prénom et matricule doivent apparaître dans l’en-tête de chaque page.
Question # 1: [25 points] Les fichiers vecteur.cpp et vecteur.hpp contiennent la définition d’une classe Vecteur. Elle permet de créer un vecteur vide d’entiers doté d’une capacité. La
méthode ajouteEntier ajoute un entier à la fin du vecteur et la méthode supprimeEntier
supprime un entier à une position passée en paramètre. Ces deux méthodes font augmenter ou réduire de 1 la taille du vecteur, c’est-à-dire le nombre d’entiers dans le vecteur, que nous notons n.
La taille du vecteur ne peut pas dépasser sa capacité. Le fichier main.cpp, quant à lui, contient
une série de tests unitaires.
a) Analysez en meilleur cas, en pire cas et en cas moyen l’efficacité de la méthode supprimeEntier.
Votre analyse doit être faite en fonction de n, la taille du vecteur. Justifiez votre choix d’instruction baromètre. Justifiez les instances choisies pour représenter le pire cas et le meilleur cas. Pour
l’analyse en cas moyen, les n instances possibles sont la suppression d’un élément à un index entre
0 et n − 1 et toutes ces instances sont équiprobables. Exprimez vos réponses à l’aide de la notation
asymptotique Θ.
b) Vous devez écrire la méthode supprimeEntiers qui prend en entrée un vecteur d’index
et qui supprime tous les entiers à ces positions. Vous devez analyser votre méthode en pire cas
en fonction de la taille du vecteur avant la suppression des entiers. Pour obtenir tous les points à
cette question, vous devez, sans utiliser de librairie de programmation externe, programmer une
fonction dont l’efficacité en pire cas est TW ORST (n) ∈ Θ(n) 1 . Pour obtenir une partie des points,
vous pouvez utiliser un algorithme de tri d’une librairie externe en supposant que son efficacité
1. Ici, n est la taille du vecteur dont les éléments sont supprimés. Vous pouvez supposer que la taille du vecteur
d’index est inférieure, ou égale, à n.
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est dans Θ(n log n) dans tous les cas. Finalement, aucun point ne sera accordé pour une solution
dont l’efficacité en pire cas est dans Ω(n2 ). Votre code doit passer les tests unitaires du fichier
main.cpp. Il pourrait être soumis à d’autres tests unitaires qui ne vous sont pas donnés. Votre
fichier vecteur.cpp doit compiler avec les fichiers vecteur.hpp et main.cpp originaux.
Livrables :
1. Un fichier Question1.pdf contenant les analyses demandées en a) et en b).
2. Le fichier vecteur.cpp modifié.
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Question # 2: [25 points] Analysez les algorithmes suivants. Si l’efficacité de l’algorithme ne
dépend pas uniquement de la taille de l’instance, procédez à une analyse en pire cas et en meilleur
cas. Donnez l’ordre de croissance de l’efficacité de l’algorithme en utilisant la notation asymptotique Θ. N’utilisez que les relations de l’aide-mémoire pour simplifier les sommations dans vos
calculs.
Algorithme 1 : PremierAlgorithme(n)
c ← 0;
for i = 1..n do
for j = i3 ..n3 do
c ← c + 1;
√
for i = 1.. b nc do
c ← c + 1;
return c;
Algorithme 2 : TriBizarre(A[l..r])
// Si le vecteur a deux éléments ou plus;
if l < r then
// Si le premier élément est plus grand que le dernier élément;
if A[l] > A[r] then
// Échange le premier élément avec le dernier élément;
t ← A[l];
A[l] ← A[r];
A[r] ← t;
// Si le vecteur a trois éléments ou plus;
if l + 1 < r then
k ← r−l+1
;
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TriBizarre(A[l..r − k])
// Trie les deux premiers tiers du vecteur;
TriBizarre(A[l + k..r])
// Trie les deux derniers tiers du vecteur;
TriBizarre(A[l..r − k]) // Trie, une seconde fois, les deux premiers tiers du vecteur;
3
Question # 3: [25 points] Résolvez la récurrence suivante avec la substitution à rebours.
0 si n ≤ 1
C(n) =
2C( n3 ) + n si n > 1
Vous devez faire au moins deux substitutions. Vous pouvez supposer que n est une puissance
d’un entier. Vous devez trouver la formule exacte de la récurrence et non pas son ordre de croissance. N’utilisez que les sommations de l’aide-mémoire pour simplifier votre résultat. Le résultat
final doit être dans sa forme la plus simple possible, donc ne laissez pas de logarithmes dans les
exposants.
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Question # 4: [25 points] Une matrice triangulaire inférieure est une matrice carrée telle que
toutes les entrées A[i, j], pour j > i, sont nulles. Nous pouvons décomposer une matrice triangulaire inférieure en quatre sous-matrices de la façon suivante.
A1 0
A =
(1)
A2 A3
Si A est une matrice triangulaire inférieure de dimension n × n, alors A1 et A3 sont des matrices
triangulaires inférieures de dimensions n2 × n2 , A2 est une matrice de dimensions n2 × n2 qui n’est pas
nécessairement triangulaire et 0 est la matrice nulle de dimensions n2 × n2 . En utilisant la relation
suivante, concevez et analysez un algorithme de type « diviser pour régner » qui calcule l’inverse
d’une matrice triangulaire inférieure inversible de dimension n × n où n est une puissance de 2.
A−1
0
−1
1
A
=
(2)
−1
−A−1
A−1
3 A2 A1
3
Voici les étapes à suivre :
1. Téléchargez le code de programmation pour cette question ;
2. Parcourez les fichiers Strassen.hpp et Strassen.cpp et voyez comment l’algorithme
de Strassen a été programmé ;
3. Modifiez le fichier inverse.cpp (et uniquement ce fichier) pour y écrire votre algorithme
qui inverse une matrice triangulaire inférieure.
4. Dans un fichier nommé Question4.pdf, présentez l’analyse de votre algorithme. Attention, les opérateurs + et − sur les matrices ne sont pas des opérations élémentaires. Si le
temps d’exécution de votre algorithme ne dépend pas uniquement de la taille de l’instance,
mais bien de l’instance elle-même, alors faites une analyse en meilleur cas et en pire cas
(mais pas en cas moyen). Si le temps d’exécution de votre algorithme dépend uniquement
de la taille de l’instance, alors faites une analyse pour tous les cas.
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