Devoir maison pour le 12 janvier 2011

École des Mines de Douai — FI1A Mathématiques
Année 2010-2011
Devoir maison pour le 12 janvier 2011
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Tout retard dans la remise de la copie sera sanctionné par la note 0.
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Partie 1
Ce problème consiste en l’étude de la détermination des éléments propres d’une matrice
symétrique réelle par celle des extrema d’une fonction nommée quotient de Rayleigh.
Soient donc n ∈ N∗ et A une matrice symétrique réelle. Pour tout vecteur-colonne non
nul X ∈ Mn (R) − {0}, on pose
R(X) =
hX|AXi
.
kXk2
L’objet de ce problème est d’établir le théorème suivant et d’en étudier une application.
Théorème 1
Un vecteur X est propre pour la matrice A si et seulement si X est un point critique
de la fonction R.
1. Préliminaires
1.1 Que signifient précisément les notations hX|AXi et kXk dans la définition de R ?
Réécrire cette définition à l’aide des opérations matricielles habituelles.
1.2 Soient µ est un réel non nul et X un vecteur-colonne non nul. Que peut-on dire
de R(µX) ? En déduire que la fonction R admet un minimum et un maximum tous deux
atteints.
x1 !
1.3 Si l’on pose X = ... et A = (aij )16i,j6n , expliciter la définition de R(X) à l’aide
xn
des coefficients xi et des aij .
2. 1ère implication. Supposons que X soit un vecteur propre de A.
2.1 Que vaut R(X) ?
2.2 Montrer que R est de classe C 1 et expliciter ses dérivées partielles. En déduire que
X est un point critique de R.
3. Réciproque Soit X un vecteur non nul qui est un point critique de la fonction R.
3.1 Soit µ ∈ R∗ ; justifier que µX est encore un point critique de la fonction R. On
X
pose X1 = kXk
; exprimer R(X) en fonction de X1 .
On définit une nouvelle fonction
F : (Mn,1 (R) − {0}) × R −−−→ R
Y 7−−−→ hY |AY i − λ(kY k2 − 1).
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Remarque
On dit que F est le Lagrangien du problème, et la nouvelle variable λ est appelée
multiplicateur de Lagrange. Pour les détails de cette méthode d’«optimisation
sous contrainte», voir, dans les archives, le problème 2 du DM du 16 décembre 2008.
3.2 Calculer les dérivées partielles de F en tout point (Y, λ).
3.3 Montrer que (X1 , R(X1 )) est un point critique de la fonction F .
3.4 En déduire que X est un vecteur propre pour A associé à une valeur propre que
l’on précisera.
4. Une autre interprétation. Soit X un vecteur colonne non nul. Montrer que R(X)
est l’unique solution au sens des moindres carrés du système de n équations à une inconnue
(préciser laquelle)
AX = λX.
Retrouver ainsi la valeur de R(X) lorsque X est un vecteur propre de A.
Partie 2
On va étudier les fondements d’un algorithme permettant, de proche en proche, la
détermination de valeurs approchées des valeurs propres d’une matrice symétrique réelle.
L’avantage de cet algorithme de Rayleigh est que la convergence, si convergence il y a, est
très rapide, plus rapide qu’un algorithme qui consisterait à factoriser numériquement le
polynôme caractéristique.
Soit A une matrice symétrique réelle d’ordre n. On rappelle que A est diagonalisable
et que ses sous-espaces propres sont deux à deux orthogonaux.
1. Principe itératif . Soit Y0 un vecteur-colonne non nul ; on pose µ0 = R(Y0 ) et X0 =
Y0
. On définit des suites (µi )i>0 de réels et (Xi )i>0 et (Yi )i>0 de vecteurs-colonnes, selon
kY0 k
le principe de récurrence suivant :
– si la matrice A − µi In n’est pas inversible, l’algorithme s’arrête ;
– si A − µi I est inversible, on pose
Yi+1 = (A − µi In )−1 Xi , Xi+1 =
Yi+1
kYi+1 k
et µi+1 = R(Xi+1 )
(où R désigne toujours le quotient de Rayleigh de la matrice A). Dans la pratique,
on ne calcule pas (A − µi I)−1 ; on utilise un algorithme de résolution d’un système
linéaire BX = Y avec B = A − µi I et Y = Xi .
1.1 Que se passe-t-il exactement dans le premier cas, celui où «l’algorithme s’arrête» ?
Que peut-on alors dire de µi et Xi ?
1.2 On suppose que l’algorithme ne s’arrête pas. Justifier que la suite (Xi )i∈N admet
une valeur d’adhérence.
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Rappel
On rappelle qu’une suite (un )n∈N admet pour valeur d’adhérence α si elle admet une
sous-suite (uϕ(n) ) qui converge vers α (la fonction ϕ étant une application strictement
croissante de N dans lui-même.
1.3 On admet que si la suite (Xi )i∈N converge, alors sa limite est un vecteur propre de
A. Montrer que dans ce cas, alors la suite (µi )i∈N converge vers une valeur propre de A.
2. Récurrence
2.1 Montrer que si e est un vecteur propre de A, alors e⊥ est stable par A.
2.2 Expliquer comment on peut mettre à profit cette propriété pour enclencher une
récurrence et, de proche en proche, trouver des valeurs approchées de chacune des valeurs
propres de A et une base orthonormée de vecteurs propres pour A.
Bon courage !
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