1 Étude d`une onde électromagnétique 2 Câble coaxial

MP1&2 2016 - 2017
DS n°6 (CCP - e3a) : Électromagnétisme
DEVOIR SURVEILLÉ n°6 (CCP - e3a)
Samedi 21 janvier 2017 - Durée : 4 heures
1
Étude d’une onde électromagnétique
On considère une onde électromagnétique se propageant dans le vide. Dans une base carté−
−
−
sienne (→
u x, →
u y, →
u z ), le champ électrique prend la forme
Ex
Ey
→
−
E = Ez
= 0
"
!#
√
E0
3y − z
=
cos ω
−t
2
2v
"
!#
√
√
E0 3
3y − z
=
cos ω
−t
2
2v
1. Montrer que Ez vérifie l’équation de propagation de d’Alembert dans le vide à une condition sur v que l’on précisera.
2. Quelle est la polarisation de cette onde ? Déterminer le vecteur unitaire −
u→
P associé à la
direction de polarisation.
3. Quel est le vecteur d’onde de cette onde ? Dans quelle direction cette onde se propage-t−
elle. On donnera le vecteur unitaire →
u de la direction de propagation ?
4. Déterminer l’expression du champ magnétique associé.
5. L’onde est-elle transverse ?
2
Câble coaxial
Donnée : rotationnel en cylindriques :
−→ ~
rot A =
∂Aθ
1 ∂Az
−
r ∂θ
∂z
~ur +
∂Ar
∂Az
−
∂z
∂r
1
~uθ +
r
∂
∂Ar
(rAθ ) −
∂r
∂θ
~uz
Un câble coaxial est formé de deux conducteurs supposés parfaits, de même longueur ` ,
l’un entourant l’autre. L’un est un conducteur massif de rayon R1 , appelé l’âme du conducteur.
L’autre est un conducteur cylindrique creux de rayon intérieur R2 et de rayon extérieur R3 ,
appelé la gaine du conducteur. On négligera les effets de bord. L’espace inter-conducteur sera
assimilé à du vide. On donne : R1 = 0,25 mm, R2 = 1,25 mm et ` = 100 m.
Une onde électromagnétique se propage à l’intérieur du câble dans la région R1 < r < R2 ,
assimilable à du vide. Elle est définie par son champ électrique complexe :
α
→
−
−
E (r, z, t) = ej(ωt−kz) →
ur
r
où α est une constante positive.
1
MP1&2 2016 - 2017
DS n°6 (CCP - e3a) : Électromagnétisme
1. L’onde est-elle plane ? est-elle progressive ? Si oui, préciser sa direction de propagation.
2. On note E0 l’amplitude maximale du champ électrique dans le câble coaxial. Préciser
→
−
l’unité de E0 et exprimer E (r, z, t) en fonction de E0 , r, z, k, ω, t et R1 .
Physique
2012
3. À partir des équations de Maxwell, retrouver l’équation de propagation vérifiée par le
champ électrique. En déduire la relation de dispersion liant k et ω. Le milieu est-il dispersif ?
→
−
4. Déterminer l’expression du champ magnétique complexe B (r, z, t) associé à cette onde, à
une composante permanente près. Justifier pourquoi on peut considérer cette composante
comme nulle. Justifier pourquoi on qualifie la structure de cette onde de localement plane.
−
5. Déterminer l’expression du vecteur de Poynting →
π associé à cette onde électromagnétique.
6. Déterminer l’expression de la puissance moyenne transportée P par le câble. Application
numérique : en déduire l’amplitude E0 du champ électrique sachant que la puissance
moyenne transportée est de 10W .
MP
3
Propagation d’ondes 4électromagnétiques
heures
Calculatrices autorisées
Lancé le
le 20
20 juin
juin 2008
2008 de
de Vandenberg
Vandenberg (Californie),
(Californie), le
le satellite
satellite océanographique
océanographique Jason
Jason 22 permet,
permet, entre
entre autre,
autre, de
de
Lancé
mesurer
la
hauteur
des
océans.
mesurer la hauteur des océans.
Dans une
une première
première partie,
partie, le
le problème
problème étudie
étudie la
la trajectoire
trajectoire de
de ce
ce satellite
satellite au-dessus
au-dessus de
de l’ionosphère,
l’ionosphère, d’abord
d’abord
Dans
en considérant
considérant la
la Terre
Terre comme
comme sphérique,
sphérique, puis
puis en
en prenant
prenant en
en compte
compte sa
sa non-sphéricité.
non-sphéricité. La
La seconde
seconde partie
partie du
du
en
problème aborde
aborde la
la diffusion
diffusion des
des ondes
ondes radar
radar sur
sur l’océan
l’océan et
et la
la troisième
troisième partie
partie étudie
étudie l’influence
l’influence de
de l’ionosphère
l’ionosphère
problème
sur la
la propagation
propagation de
de telles
telles ondes.
ondes.
sur
Les trois
trois parties
parties sont
sont indépendantes.
indépendantes.
Les
Seule la troisième partie sera abordée dans ce problème.
Notations
Notations
++
,,
Dans tout
tout le
le problème,
problème, ff(M,
(M, t)
t) désigne
désigne la
la valeur
valeur moyenne
moyenne dans
dans le
le temps
temps de
de la
la grandeur
grandeur ff(M,
(M, t).
t).
Dans
La
pulsation
Ê
sera
toujours
réelle,
positive,
non
nulle.
La pulsation Ê sera toujours réelle, positive, non nulle.
!!
""
À toute
toute grandeur
grandeur réelle
réelle
(M, t)
t)
= A(M ) cos Êt ≠ Ï(M ) , on pourra associer la grandeur complexe
À
ff(M,
!!
"" = A(M ) cos Êt ≠ Ï(M ) , on pourra associer la grandeur complexe
(M, t)
t) =
= A(M
A(M)) exp
exp ii Êt
Êt ≠
≠ Ï(M
Ï(M)) ..
ff(M,
Le nombre
nombre imaginaire
imaginaire ii est
est tel
tel que
que ii22 =
= ≠1.
≠1.
Le
La
polarisation
d’une
onde
électromagnétique
fera référence
référence au
au champ
champ électrique.
électrique.
La polarisation d’une onde électromagnétique fera
Données utiles
utiles
Données
Masse d’un
d’un proton
proton
Masse
Masse d’un
d’un électron
électron
Masse
≠27
= 1,67
1,67 ◊
◊ 10
10≠27
kg
mpp =
kg
m
≠31
≠31
mee =
= 9,11
9,11 ◊
◊ 10
10
kg
m
kg
Perméabilité magnétique
magnétique du
du vide
vide
Perméabilité
Célérité de
de la
la lumière
lumière dans
dans le
le vide
vide
Célérité
≠7
≠1
= 4fi10
4fi10≠7
H ·· m
m≠1
µµ00 =
H
≠1
= 3,00
3,00 ◊
◊ 10
1088 m
m ·· ss≠1
cc =
Charge élémentaire
élémentaire
Charge
Permittivité
diélectrique du
du vide
vide
Permittivité diélectrique
Constante de
de gravitation
gravitation
Constante
Masse
de
la
Terre
Masse de la Terre
≠19
= 1,60
1,60 ◊
◊ 10
10≠19
C
ee =
C
≠12
≠1
≠12
Á
=
8,85
◊
10
F ·· m
m≠1
Á00 = 8,85 ◊ 10
F
Rayon de
de la
la Terre
Terre
Rayon
Vitesse angulaire
angulaire de
de rotation
rotation de
de la
la Terre
Terre sur
sur
Vitesse
elle-même dans
dans le
le référentiel
référentiel géocentrique
géocentrique
elle-même
Formulaire
Formulaire
≠11
≠2
G=
= 6,67
6,67 ◊
◊ 10
10≠11
N ·· m
m22 ·· kg
kg≠2
G
N
24
MTT =
= 5,97
5,97 ◊
◊ 10
1024
kg
M
kg
RTT =
= 6378
6378 km
km
R
≠5
≠1
ÊTT =
= 7,29
7,29 ◊
◊ 10
10≠5
rad ·· ss≠1
Ê
rad
22
≠≠
≠æ
æ 11
≠
æ 11≠
≠
æ ˛ 22 ≠
≠
æ
æ
˛ )) =
˛˛ )) ≠
˛˛
rot
rot(
A
= grad
grad div(
div(A
A
≠ A
A
rot
rot(
A
Gradient d’un
d’un champ
champ scalaire
scalaire VV en
en coordonnées
coordonnées sphériques
sphériques
(r, ◊,
◊, Ï)
Ï)
Gradient
(r,
2
≠≠
≠æ
æ
ˆV
ˆV
ˆV
≠
ˆV
11 ˆV
11 ˆV
grad VV =
=
+
+
grad
˛u˛urr +
˛u˛u◊◊ +
˛u˛uÏ
ˆr
r
ˆ◊
r
sin
◊
ˆÏ Ï
ˆr
r ˆ◊
r sin ◊ ˆÏ
c = 3,00 ◊ 108 m · s≠1
Célérité de la lumière dans le vide
G = 6,67 ◊ 10≠11 N · m2 · kg≠2
Constante de gravitation
MT = 5,97 ◊ 1024 kg
Masse de la Terre
Rayon de la Terre
RT = 6378 km
Vitesse
de rotation de la Terre sur
MP1&2angulaire
2016 - 2017
elle-même dans le référentiel géocentrique
Formulaire
≠5
≠1
ÊT = 7,29
◊ 10(CCP
rad -· se3a)
DS n°6
: Électromagnétisme
2
≠æ 1≠æ ˛ 2 ≠≠æ 1
˛) ≠
rot rot(A ) = grad div(A
˛
A
Gradient d’un champ scalaire V en coordonnées sphériques (r, ◊, Ï)
≠≠æ
ˆV
1 ˆV
1 ˆV
grad V =
˛ur +
˛u◊ +
˛uÏ
ˆr
r ˆ◊
r sin ◊ ˆÏ
Les résultats numériques seront donnés avec un nombre de chiffres significatifs compatible avec celui utilisé pour
les
données
de l’énoncé.
III
Propagation
d’ondes électromagnétiques
III.A – Ondes électromagnétiques dans le vide
III.A.1) Rappeler les équations de Maxwell en présence de charges et de courants.
Quelles sont les traductions globales, dites aussi formes intégrales, de ces lois locales ?
˛
III.A.2) Établir l’équation de propagation du champ E(M,
t) dans le vide (en l’absence de charges et de
courants).
III.A.3) On considère une onde dont le champ électrique en notation complexe s’écrit :
˛
E(M,
t) = E0 exp i(Êt ≠ kx) ˛ey
où E œ Rú et k œ Rú+ .
Page 1/6
Caractériser cette onde (donner 5 qualificatifs).
III.A.4) À quelle condition sur k et Ê cette onde est-elle une solution de l’équation de propagation ? Comment
appelle-t-on cette relation ? Le vide est-il un milieu dispersif (à justifier) ?
˛
III.A.5) Déterminer l’expression réelle du champ magnétique B(M,
t).
0
+
3 avril 2012
10:50
III.A.6) Déterminer l’expression du vecteur de Poynting ˛ (M, t). Quelle est la signification physique du flux
de ˛ à travers une surface S ouverte, arbitrairement orientée ?
III.B – Ondes électromagnétiques dans un milieu conducteur
III.B.1) En absence de densité volumique de charges, mais en présence de densité volumique de courants
˛
˛ä (M, t), établir l’équation de propagation du champ E(M,
t) en fonction de ˛ä (M, t).
˛
III.B.2) On considère une onde du type E(M, t) = E0 exp i(Êt ≠ kx) ˛ey où E0 œ Rú+ et k œ C. On pose, en
˛
notation complexe, la relation d’Ohm : ˛ä (M, t) = “ E(M,
t) où “ est la conductivité électrique complexe du
milieu, on suppose qu’elle ne dépend ni de l’espace ni du temps.
˛
Réécrire l’équation de propagation du champ E(M,
t) en fonction de “.
À quelle condition sur k et Ê cette onde est-elle une solution de l’équation de propagation ? On ne cherchera
pas à résoudre cette équation.
III.B.3) On pose k = k1 + i k2 , avec k1 et k2 réels.
˛
a) Écrire en notation réelle l’expression du champ électrique E(M,
t).
b) Par analogie avec le vide, dire ce que représente k1 , la partie réelle de k. Donner une interprétation du signe
de k1 . Quel phénomène physique traduit k2 , la partie imaginaire de k ?
Que dire si le produit k1 k2 est positif ? Que dire si le produit k1 k2 est négatif ?
c) Définir par une phrase la vitesse de phase vÏ et donner l’expression de la vitesse de phase de cette onde en
fonction des grandeurs précédemment définies.
˛
˛
III.B.4) Démontrer une relation simple entre les vecteurs E(M,
t), ˛k (vecteur d’onde complexe) et B(M,
t).
~k (vecteur d’onde
~
III.B.4)
Démontrer
une
relation
simple
entre
les
vecteurs
E(M,
t),
complexe)
˛
Déterminer les expressions de la représentation complexe du champ magnétique B(M, t) et du champ réel
~
et
t). Déterminer
les E(M,
expressions
représentation
du champ magnétique
˛ B(M,
˛
˛ de la
B(M,
t). Que
dire des champs
t) et B(M,
t) si
k2 est non nul complexe
?
~
~
B(M,
t) et montrer que l’expression du champ réel B(M,
t)
s’écrit
:
III.B.5) Déterminer l’expression du vecteur de Poynting ˛ (M, t) puis l’expression de sa valeur moyenne
+
,
˛ (M, t) . Commenter.
k
k
~
B(M,
t) =
1
E ek2 x cos(ωt − k x) ~e −
2
E ek2 x sin(ωt − k x) ~e
1
z
0
1
z
˛ 0(M, t) = E0i exp i(Êt
III.B.6) Une onde incidente,
≠
k A x)
ωE
ω ˛ey où E0i œ Rú+ et kA = kA1 + i kA2 avec kA1 et
i
kA2 deux réels, se propageant dans le milieu (A) arrive en incidence normale sur une interface située en x = 0
et séparant le milieu (A) du milieu (B).
3 l’une réfléchie, E
˛ (M, t) = E exp i(Êt + k x) ˛ey , se
Cette onde incidente donne naissance à deux ondes,
r
0r
A
˛ (M, t) = E exp i(Êt ≠ k x) ˛ey où k = kB1 + i kB2 avec
propageant dans le milieu (A) et l’autre transmise, E
t
0t
B
B
˛E(M,
˛
a)
en
l’expression
champ
a) Écrire
Écrirecomplexe,
ennotation
notation
réelle
l’expression
champ
électrique
t).
˛
notation
laréelle
relation
d’Ohm : du
˛du
ä (M,
t) =électrique
“ E(M,
t)E(M,
où “ t).
est la conductivité électrique complexe du
b)
avec
lelevide,
ce
,
la
partie
réelle
de
b) Par
Paranalogie
analogie
avec
vide,
dire
ceque
que
représente
,
la
partie
réelle
dek.
k.Donner
Donnerune
uneinterprétation
interprétationdu
dusigne
signe
milieu,
on
suppose
qu’elle
nedire
dépend
ni représente
de
l’espacekk
ni
du
temps.
11
de
k
.
Quel
phénomène
physique
traduit
k
,
la
partie
imaginaire
de
k
?
de
k
.
Quel
phénomène
physique
traduit
k
,
la
partie
imaginaire
de
k
?
˛
11
22
Réécrire
l’équation de propagation du champ
E(M, t) en fonction de “.
Que
dire
si
le
produit
k
k
est
positif
?
Que
dire
leleproduit
Que
dire
si
le
produit
k
k
est
positif
?
Que
dire
produitkkde
estnégatif
négatif
1
2
11kk2l’équation
1
2
2 est
À quelle condition sur k et Ê cette onde est-ellesisi
une
solution
de?? propagation ? On ne cherchera
c)
Définir
par
une
phrase
la
vitesse
de
phase
v
et
donner
l’expression
de
la
vitesse
c)
Définir
par
une
phrase
la
vitesse
de
phase
v
et
donner
l’expression
de
la
vitesse de
de phase
phase de
de cette
cette onde
onde en
en
ÏÏ
pas à résoudre cette équation.
fonction
des
grandeurs
précédemment
définies.
fonction
des
grandeurs
précédemment
définies.
MP1&2 On
2016
- 2017
DS n°6 (CCP - e3a) : Électromagnétisme
III.B.3)
pose
k = k1 + i k2 , avec k1 et k2 réels.
˛B(M,
˛E(M,
˛
˛
III.B.4)
t).
III.B.4) Démontrer
Démontrer une
une relation
relation simple
simple entre
entre les
les vecteurs
vecteurs E(M,
t), ˛k˛k (vecteur
(vecteur d’onde
d’onde complexe)
complexe) et
et B(M,
t).
˛ t),
a) Écrire en notation réelle l’expression du champ électrique E(M,
t).
˛
˛
Déterminer
les
expressions
de
la
représentation
complexe
du
champ
magnétique
B(M,
t)
et
du
champ
réel
Déterminer les expressions de la représentation complexe du champ magnétique B(M, t) et du champ réel
analogie avec le vide,
que
k1 , la partie réelle de k. Donner une interprétation du signe
˛b)
˛E(M,
˛B(M,
˛ Par
˛t) ce
˛
~ dire
~etetreprésente
B(M,
t).
Que
dire
des
E(M,
B(M,
t)t)ksi2sikest
non
nul
B(M,
t).
Que
dire
deschamps
champs
k22 est
est
non
nul
dire
des
champs
E(M,
ett)t)
B(M,
non
nul
?de??k ?
deQue
k1 . Quel
phénomène
physique
traduit
k2 ,t)lasipartie
imaginaire
˛
˛
III.B.5)
du
III.B.5)
l’expression
du vecteur
vecteur de
de Poynting
Poynting (M,
(M,t)t) puis
puis l’expression
l’expression de
de sa
sa valeur
valeur moyenne
moyenne
dire,,Déterminer
siDéterminer
le produit l’expression
k
+Que
+
1 k2 est positif ? Que dire si le produit k1 k2 est négatif ?
˛˛(M,
t)
.
Commenter.
(M,
t)
.
Commenter.
c) Définir par une phrase la vitesse de phase vÏ et donner l’expression de la vitesse de phase de cette onde en
˛E
˛i (M,
III.B.6)
Une
onde
E
==EE0i0iexp
III.B.6)des
Unegrandeurs
onde incidente,
incidente,
t)définies.
expi(Êt
i(Êt≠≠kkAAx)
x)˛e˛eyy où
où EE0i0i œœRRú+ú+ et
et kkAA ==kkA1
+iikkA2
avec kkA1
et
fonction
précédemment
A1+
A2 avec
A1 et
i (M,t)
˛
kIII.B.4)
deux
réels,
se
propageant
dans
le
milieu
(A)
arrive
en
incidence
normale
sur
une
interface
située
en
x
=
00
kA2
deux
réels,
se
propageant
dans
le
milieu
(A)
arrive
en
incidence
normale
sur
une
interface
située
en
x
=
˛
˛
A2
Démontrer une relation simple entre les vecteurs E(M, t), k (vecteur d’onde complexe) et B(M, t).
et
séparant
le
milieu
(A)
du
milieu
(B).
et
séparant
le
milieu
(A)
du
milieu
(B).
˛
Déterminer les expressions de la représentation complexe du champ magnétique B(M,
t) et du champ réel
˛E
˛
˛
˛
˛
Cette
onde
incidente
donne
naissance
à
deux
ondes,
l’une
réfléchie,
E
(M,
t)
=
E
exp
i(Êt
Cette
onde
incidente
donne
naissance
à
deux
ondes,
l’une
réfléchie,
(M,
t)
=
E
exp
i(Êt++kkAAx)
x)˛e˛eyy, , se
se
rr
0r
B(M, t). Que dire des champs E(M, t) et B(M, t) si k2 est non nul ?
0r
˛E
˛t (M,
propageant
dans
le
milieu
(A)
et
l’autre
transmise,
E
t)
=
E
exp
i(Êt
≠
k
x)
˛
e
où
k
=
k
+
i
k
avec
propageant
dans
le
milieu
(A)
et
l’autre
transmise,
(M,
t)
=
E
exp
i(Êt
≠
k
x)
˛
e
où
k
=
k
+
i
k
avec
yy
B1
B2
B1
B2
˛ (M,
0t
BB
t
0t t) puis l’expression
III.B.5) Déterminer l’expression du vecteur de Poynting
deBBsa valeur
moyenne
, deux
et
k+kB1
etkkB2
deuxréels,
réels,se
sepropageant
propageantdans
danslelemilieu
milieu(B).
(B).
B2
˛B1(M,
t) . Commenter.
On
On définit
définit les
les coefficients
coefficients de
de réflexion
réflexion et
et de
de transmission
transmission énergétiques
énergétiques au
au niveau
niveau de
de l’interface
l’interface située
située en
en xx==00
˛ (M, t) = E0i exp i(Êt ≠ k x) ˛ey où E0i œ Rú et k = kA1 + i kA2 avec kA1 et
III.B.6)
Une onde incidente, E
+
i
A
A
par
par
..ff arrive en incidence
kA2 deux réels, se propageant danse.
le milieu (A)
e.
ff une interface située en x = 0
e.
e.normale..sur
..˛˛
..
..˛˛
..
(O,t)t)..
(O,t)t)..
.. rr(O,
.. tt(O,
et séparant le milieu (A) du milieu (B).
..ff
..ff
e.
e. ˛
RR== e.
et
TT == e.
et
..
..
..˛˛ à deux
..˛˛ E r (M,
Cette onde incidente donne naissance
(O,t)t).. ondes, l’une réfléchie,
(O,t)t)..t) = E 0r exp i(Êt + k A x) ˛ey , se
.. ii(O,
.. ii(O,
˛ (M, t) = E exp i(Êt ≠ k x) ˛ey où k = kB1 + i kB2 avec
propageant dans le milieu (A) et l’autre transmise, E
t
0t
B
B
et
k
deux
réels,
se
propageant
dans
le
milieu
(B).
k
B1
B2
˛
˛
˛
˛
˛
˛
où
où ii(O,
(O,t),
t), rr(O,
(O,t)t)et
et tt(O,
(O,t)t)représentent
représententrespectivement
respectivementles
lesvecteurs
vecteursde
dePoynting,
Poynting,au
auvoisinage
voisinaged’un
d’unpoint
pointOO
On
définit lesdes
coefficients
de réflexion
et deet
transmission
aumodule
niveaudu
devecteur
l’interface
˛AÎ
˛A).
˛ désigne
˛ située en x = 0
de
ondes
réfléchie
transmise
AÎ
A).
del’interface,
l’interface,
des
ondesincidente,
incidente,
réfléchie
et
transmise(Î
(Îénergétiques
désignelele
module
du
vecteur
par
˛E
˛r (M,
a)
a) Justifier
Justifierl’écriture
l’écrituredu
duchamp
champE
t).
.f
.f
e. t).
e.
r (M,
.suivantes,
.
. ˛ relations
.
Pour
répondre
aux
questions
pourra
s’aider
des
(O,
t). on des
. t (O, t). de passage du champ
ren
b)
fonction
b) Donner
Donnerles
lesexpressions
expressionsde
deRR et
etde
de.TT˛ en
fonction
desdonnées
donnéesprécédentes.
précédentes.
.f
e.
e. ou les .
f
électromagnétique en x = R0,=rappelées
ci-dessous
densités
superficielles de
et dansTle=cas
.
.
.˛
.˛
→
−
(O,
t)
(O,
t)
.
.
.
.
i
i
charge σ et de courant jS sont nulles :
33avril
Page
avril2012
201210:50
10:50
Page5/6
5/6
→
−
→
−
→
−
→
−
−
où ˛ i (O, t), ˛ r (O, E
t) (x
et ˛=t (O,
0+ ,t)t)représentent
= E (x = 0respectivement
, t) et B (xles=vecteurs
0+ , t) =deBPoynting,
(x = 0− ,au
t) voisinage d’un point O
˛
˛
de l’interface, des ondes incidente, réfléchie et transmise (ÎAÎ désigne le module du vecteur A).
˛ (M, t).
a) Justifier l’écriture du champ E
r
b) Donner les expressions de R et de T en fonction des données précédentes.
c) Que vaut la somme R + T ? Quelle est la signification de cette égalité ?
Page 5/6
d) Que dire des coefficients R et T si kB1 = 0 ? Quelle en est la signification ?
Ne pouviez-vous pas prévoir ce résultat dès les questions III.B.4 ou III.B.5 ?
e) Connaissez-vous un exemple similaire en électrocinétique ?
3 avril 2012 10:50
III.C – Propagation des ondes électromagnétiques dans l’ionosphère
L’ionosphère, couche de l’atmosphère située à plus de 60 km d’altitude, peut être considérée comme un plasma :
c’est un milieu ionisé, caractérisé par une densité volumique d’électrons libres de charge ≠e, de masse me , égale
à n1 = 1,00 ◊ 1011 m≠3 et une densité volumique de cations de charge +e, de masse mC , égale aussi à n1 ,
l’ensemble est donc globalement neutre. La valeur de n1 est supposée constante.
˛
On se propose d’étudier dans ce milieu la propagation d’ondes du type E(M,
t) = E0 exp i(Êt ≠ kx) ˛ey où
ú
E0 œ R+ et k œ C. On pose à nouveau k = k1 + i k2 , avec k1 et k2 réels ; si k1 ”= 0, alors on choisira k1 > 0.
Dans toute la suite, vous pourrez utiliser les résultats démontrés dans la partie III.B.
Dans le plasma, les électrons et les ions sont soumis à la force de Lorentz due aux champs électrique et magnétique
de l’onde. On négligera l’effet de la pesanteur et les interactions entre particules chargées, et on supposera que
les particules sont non relativistes (i.e. leurs vitesses sont très petites devant c).
III.C.1) En admettant que le rapport Ê/|k| est de l’ordre de c, montrer que les effets de la partie magnétique
de la force de Lorentz sont négligeables devant les effets de la partie électrique de la force de Lorentz.
III.C.2) En régime établi, et en supposant que l’amplitude des déplacements des charges reste petite devant la
longueur d’onde, déterminer l’expression du vecteur vitesse ˛v e (dans le référentiel galiléen d’étude) d’un électron,
˛
positionné en M à l’instant t, en fonction de me , e, Ê et E(M,
t). Donner l’expression du vecteur vitesse ˛v i
d’un cation. En déduire l’expression de la conductivité complexe du plasma “. À la vue des valeurs numériques,
n1 e2
.
montrer que “ = ≠i
me Ê
III.C.3) Calculer la puissance volumique moyenne fournie par le champ électromagnétique aux électrons libres.
Commenter.
III.C.4) Établir l’expression de k 2 dans le plasma. Mettre en évidence une pulsation caractéristique dite pulsa4 valeur numérique pour l’ionosphère. Calculer la longueur
tion plasma Êp ; donner son expression et calculer sa
d’onde dans le vide ⁄p associée. À quel domaine du spectre électromagnétique appartient cette longueur d’onde ?
III.C.1) En admettant que le rapport Ê/|k| est de l’ordre de c, montrer que les effets de la partie magnétique
de la force de Lorentz sont négligeables devant les effets de la partie électrique de la force de Lorentz.
III.C.2) En régime établi, et en supposant que l’amplitude des déplacements des charges reste petite devant la
longueur d’onde, déterminer l’expression du vecteur vitesse ˛v e (dans le référentiel galiléen d’étude) d’un électron,
˛
positionné en M à l’instant t, en fonction de me , e, Ê et E(M,
t). Donner l’expression du vecteur vitesse ˛v i
d’un
En -déduire
du (CCP
plasma- “.
À la: vue
des valeurs numériques,
MPcation.
2017 l’expression de la conductivité complexe
DS n°6
e3a)
Électromagnétisme
1&2 2016
n1 e2
.
montrer que “ = ≠i
me Ê
III.C.3) Calculer la puissance volumique moyenne fournie par le champ électromagnétique aux électrons libres.
Commenter.
III.C.4) Établir l’expression de k 2 dans le plasma. Mettre en évidence une pulsation caractéristique dite pulsation plasma Êp ; donner son expression et calculer sa valeur numérique pour l’ionosphère. Calculer la longueur
d’onde dans le vide ⁄p associée. À quel domaine du spectre électromagnétique appartient cette longueur d’onde ?
III.C.5) On se place dans le cas Ê < Êp .
a) Donner l’expression de k en fonction de Êp , Ê et c (on prendra k2 négatif).
˛
˛
b) Donner les expressions des champs réels E(M,
t) et B(M,
t). Caractériser l’onde obtenue.
+
,
c) Donner l’expression de ˛ (M, t) dans le plasma.
III.C.6) On se place dans le cas Ê > Êp .
a) Donner l’expression de k en fonction de Êp , Ê et c. Commenter.
˛
˛
b) Donner les expressions de E(M,
t) et B(M,
t). Caractériser l’onde obtenue (donner 5 qualificatifs).
+
,
c) Donner l’expression de ˛ (M, t) .
d) Déterminer l’expression de la vitesse de phase vÏ (Ê) de cette onde en fonction de Êp , Ê et c. Le milieu est-il
dispersif (justifier la réponse) ?
e) Calculer la vitesse de groupe vg (Ê) en fonction de Êp , Ê et c. Donner la signification physique de cette vitesse.
f) Comparer vÏ (Ê) et vg (Ê) à c. Que penser du fait que vÏ (Ê) puisse être supérieure à c ?
III.C.7) Le choix de la fréquence des ondes radars émises par Jason 2 (f = 13,6 GHz) vous semble-t-il correct ?
• • • FIN • • •
3 avril 2012 10:50
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