Table des matières 1 Pourcentages et variations

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE
U.F.R. SEGMI
Année universitaire 2016 – 2017
L1 Économie
Cours de B. Desgraupes
Statistiques Descriptives
Séance 06:
Taux de croissance et indices élémentaires
Table des matières
1 Pourcentages et variations
1.1 Calculs de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Taux global et taux moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Évolution des grandeurs composites . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
6
2 Notion d’indice
7
3 Propriétés des indices
3.1 Circularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Réversibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
9
9
4 Indices élémentaires
9
5 Exercices complémentaires
1
10
Pourcentages et variations
a
.
100
On l’utilise avec les fréquences, qui sont comprises entre 0 et 1, pour ramener
l’effectif total à la valeur 100, ce qui permet plus facilement de faire des comparaisons.
Par exemple, si on a un effectif de 140 parmi 168 observations, ou un effectif de 12345 parmi 14814 observations, il n’est pas facile de dire quelle est la
proportion la plus forte. En l’occurrence, c’est la même ! En effet:
L’expression “a%” (lue “a pour cent”) désigne, par convention, le rapport
12345
140
5
=
= = 0.8333333 = 83, 33%
14814
168
6
1.1
Calculs de taux
Dans l’exemple précédent, on passe de 140 à 168 (ou de 12345 à 14814) en
multipliant par 6/5=1,2. Il s’agit d’une progression de 20%.
1
De manière générale, si r est un taux de variation, une quantité Q est augmentée de ∆Q = r × Q et devient donc
Q + ∆Q = Q + r × Q = (1 + r)Q
La quantité Q a finalement été multipliée par (1 + r). Le terme (1 + r) est
appelé le coefficient multiplicateur associé au taux de variation r.
Remarque : le nombre r est positif dans le cas d’une grandeur qui croît et
négatif dans le cas d’une grandeur qui décroît.
Appliquer n fois de suite un taux de variation r, revient à multiplier n fois
par le coefficient multiplicateur m = 1 + r.
Cela revient finalement à multiplier par (1 + r)n .
Si on note Qn la valeur au temps n d’une quantité qui augmente de r%, on
a la formule :
Qn = Q0 (1 + r)n
• Exemple
Si une quantité augmente au taux de 1% = 0, 01, elle est multipliée par 1,01.
Au bout de 10 périodes, elle a été multipliée par 1, 0110 = 1, 104622. Son taux
de variation au total est donc de 1, 104622 − 1 = 0, 104622 ≈ 10, 46%.
En conclusion, les taux de variation ne sont pas additifs: 10 fois 1% ne font
pas 10% mais 10, 46% !
1.2
Taux global et taux moyen
Lorsqu’une grandeur varie sur une période de t années, on peut calculer son
taux de croissance global sur cette période.
Si elle passe de la valeur V0 à la valeur Vt , ce taux global est de :
τ=
Vt
Vt − V0
=
−1
V0
V0
Vt
apparaît donc comme le coefficient multiplicateur sur la période
V0
globale puisque :
Vt
=1+τ
V0
Le rapport
Définition 1.1. Le taux d’accroissement annuel moyen est le taux qui donnerait
le même taux global au bout de la même période de t années.
On le calcule selon la formule :
r
α=
t
Vt
−1
V0
2
En effet, les coefficients multiplicateurs sont liés par la relation :
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
1 + τ = (1 + α)t
√
(1 + α) = t 1 + τ
√
α= t1+τ −1
r
Vt
α= t
−1
V0
Exercice 1
Pendant une année, une valeur boursière a augmenté chaque mois de 0.5%.
Quel est son taux annuel d’accroissement ?
• Corrigé
Si on note a le taux annuel, la valeur boursière a été multipliée par (1 + a)
au bout d’un an.
Si on compte mensuellement, elle a été multipliée chaque mois par (1 +
0, 5/100), donc au bout de douze mois elle a été multipliée par (1 + 0, 5/100)12 .
On a donc l’égalité :
1 + a = (1 + 0, 5/100)12 = 1, 00512 = 1, 061678
Par conséquent :
a = 0, 061678 ≈ 6, 17%
Exercice 2
Une grandeur Q augmente de 15% sur une année: calculer, en pourcentage,
le taux mensuel qui donnerait le même accroissement.
• Corrigé
Si on note m le taux mensuel, la grandeur Q est multipliée par (1 + m)
chaque mois et donc par (1 + m)12 au bout de douze mois.
Au taux annuel de 15%, elle a été multipliée par (1 + 15/100).
On a donc l’égalité :
1
(1 + m)12 = 1, 1 =⇒ 1 + m = 1, 15 12 = 1.011715
Par conséquent :
m = 0, 011715 ≈ 1, 17%
Exercice 3
La taille d’un arbuste a triplé en deux ans.
3-1 ) Quel est son taux de croissance global ?
3-2 ) Quel est son taux de croissance moyen par trimestre ?
• Corrigé
3
Le taux de croissance global est
τ=
V2
3V0
−1=
− 1 = 3 − 1 = 2 = 200%
V0
V0
Il y a huit trimestres sur la période considérée. Si on note t le taux trimestriel
moyen, on aura :
r
r
√
3V0
8
8 V2
t=
−1= 8
− 1 = 3 − 1 = 0, 1472 = 14, 72%
V0
V0
Exercice 4
Une quantité a augmenté de 25% en un an. Quel taux faudrait-il appliquer
l’année suivante pour la ramener à sa valeur initiale ?
• Corrigé
Appelons r le taux inconnu. Si Q est la quantité, elle est soumise successivement à un coefficient multiplicateur de 1,25 puis de (1 + r).
On doit donc avoir :
Q × 1, 25 × (1 + r) = Q
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
1, 25 × (1 + r) = 1
1
1+r =
1, 25
1
r=
− 1 = 0, 8 − 1 = −0, 2
1, 25
Le taux est négatif : la grandeur doit diminuer de 20% pour compenser
l’augmentation de 25%.
Exercice 5
Un capital a perdu un tiers de sa valeur. De quel pourcentage devrait-il
augmenter pour retrouver sa valeur initiale ?
• Corrigé
1
2
2
= . Il est devenu K.
3
3
3
Si r est le taux cherché, il doit faire en sorte que, en multipliant par (1 + r),
on retrouve K :
Ce capital K a été multiplié par 1 −
2
K × (1 + r) = K ⇐⇒ 1 + r = 3/2 = 1, 5
3
Par conséquent :
r = 0, 5 = 50%
Exercice 6
4
Une somme de 1000 euros a été placée à un taux d’intérêt de 2% pendant 3
ans, puis 3% pendant 5 ans et 4,5% pendant 4 ans.
6-1 ) Calculer sa valeur au bout des 12 années.
6-2 ) Calculer le taux annuel moyen.
• Corrigé
La valeur au bout de 12 ans est :
V12 = 1000 × (1 + 2/100)3 × (1 + 3/100)5 × (1 + 4, 5/100)4
= 1000 × (1, 02)3 × (1, 03)5 × (1, 045)4
= 1000 × 1, 061208 × 1, 159274 × 1, 192519
= 1467, 07
Le taux annuel moyen a est :
r
r
p
12 1467, 07
12 V12
a=
− 1 = 12 1, 46707 − 1 = 0, 03245446 ≈ 3, 25%
−1=
V0
1000
Exercice 7
Les notes de conjoncture de l’INSEE concernant le chiffre d’affaires dans
l’industrie et la construction au premier semestre 2014 indiquent les résultats
suivants :
• en janvier 2014, stable par rapport à décembre (0,0 %)
• en février 2014, progresse par rapport à janvier (+0,9 %)
• en mars 2014, diminue par rapport à février (-0,5 %)
• en avril 2014, quasi stable par rapport à mars (+0,1 %)
• en mai 2014, diminue par rapport à avril (-1,4 %)
• en juin 2014, progresse par rapport à mai (+1,9 %)
7-1 ) Calculer le taux de progression sur le semestre.
7-2 ) Calculer le taux mensuel moyen sur cette période.
• Corrigé
Les coefficients multiplicateurs se multiplient entre eux :
(1 + 0) × (1 + 0, 009) × (1 − 0, 005) × (1 + 0, 001)
×(1 − 0, 014) × (1 + 0, 019)
= 1, 009716
Le chiffre d’affaires dans l’industrie et la construction a donc progressé de
0,009716 c’est-à-dire 0, 97% de décembre à juin.
5
Pour avoir le taux mensuel moyen m correspondant, on écrit :
(1 + m)6 = 1, 009716 =⇒ 1 + m = (1, 009716)1/6 = 1, 001613
donc m = 1, 001613 − 1 = 0, 001613 ≈ 0, 16%.
On montre en analyse que la quantité (1 + x)n est équivalente à (1 + nx)
lorsque x est proche de 0 :
(1 + x)n ∼ 1 + nx
0
On en déduit que, si x est petit, un taux de x% appliqué n fois est équivalent
à un taux global de n x%.
Ce résultat n’est acceptable que pour des taux très faibles.
• Exemple
Quel est le taux global correspondant à un taux mensuel de 0.12% appliqué
pendant 10 mois ?
En toute rigueur, on a :
τ = (1 + 0, 12/100)10 − 1 = (1, 0012)10 − 1 = 0.01206501 = 1, 207%
On constate en effet que 1, 207% ≈ 1.2% = 10 × 0.12%.
1.3
Évolution des grandeurs composites
Lorsqu’une grandeur est le produit de deux autres grandeurs qui subissent des
variations, son taux de variation est le produit des coefficients multiplicateurs
des deux grandeurs, diminué de 1.
Autrement dit, si c = a × b et si a a un taux de croissance α et b un taux de
croissance β, alors le taux de variation γ de c est :
γ = (1 + α)(1 + β) − 1
Un cas typique d’application de ce résultat concerne l’évolution de la valeur
d’un bien quand à la fois les ventes et les prix varient.
• Exercice 8
Les ventes d’un bien ont augmenté de 20% en un an tandis que le prix a
diminué de 5%. Calculer le taux de variation de la recette totale.
• Corrigé
On a
γ = (1 +
20
5
)(1 −
) − 1 = 1, 2 × 0, 95 − 1 = 1, 14 − 1 = 0, 14 = 14%
100
100
La recette a augmenté de 14%.
On a un résultat analogue avec les quotients.
6
Lorsqu’une grandeur est le quotient de deux autres grandeurs qui subissent des
variations, son taux de variation est le quotient des coefficients multiplicateurs
des deux grandeurs, diminué de 1.
Autrement dit, si c = a/b et si a a un taux de croissance α et b un taux de
croissance β, alors le taux de variation γ de c est :
γ=
1+α
−1
1+β
Un cas typique d’application de ce résultat concerne l’évolution du pouvoir
d’achat quand à la fois les salaires et les prix varient.
• Exercice 9
Au cours d’une période, les salaires ont augmenté de 10% et les prix ont
augmenté de 15%.
7-3 ) De combien a varié le pouvoir d’achat ?
7-4 ) De combien devraient baisser les prix pour que le pouvoir d’achat double ?
• Corrigé
On a
10
100
−1
γ=
15
1+
100
1+
On obtient :
γ=
1, 1
− 1 = 0, 9565 − 1 = −0, 0435 = −4, 35%
1, 15
Le pouvoir d’achat a baissé de 4,35%.
Doubler signifie augmenter de 100%.
Par conséquent, si π est le taux de variation des prix, on devra avoir :
γ=
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
1 + 10/100
− 1 = 100% = 1
1+π
1, 1
=2
1+π
1, 1
1+π =
= 0.55
2
π = 0.55 − 1 = −0.45 = −45%
Il faudrait donc que les prix baissent de 45%.
7
2
Notion d’indice
Définition 2.1. L’indice est le rapport de deux valeurs différentes d’une même
variable.
La notion d’indice permet de mesurer l’évolution d’une grandeur dans deux
“contextes” différents : en général, on s’intéresse à une grandeur à deux dates
différentes, mais cela peut aussi correspondre à l’observation de cette grandeur
dans deux régions différentes. Dans le premier cas, on parle d’indice temporel
ou chronologique, dans le second cas d’un indice spatial ou régional.
Par exemple, si une grandeur vaut Vt au temps t et Vt0 au temps t0 , l’indice
sera
Vt
It/t0 =
Vt0
Les indices sont souvent exprimés (comme les pourcentages) sur une base de
Vt
100. Dans ce cas, on écrit : It/t0 =
× 100
Vt0
• Exemple 1
Si le volume de ventes d’une entreprise passe de 20 en 2012 à 24 en 2013
puis 27 en 2014, on aura

24


I2013/2012 = 20 × 100 = 120


27
I
× 100 = 135
2014/2012 =
20
On dit que l’indice de l’entreprise « base 100 en 2012 » passe à 120 en
2013 et à 135 en 2014. Cela permet de voir plus facilement les pourcentages
d’accroissement (respectivement de 20% et de 35%).
• Exemple 2
La consommation annuelle d’électricité par habitants était, en 2011, de
6847 kWh en France et de 13 246 kWh aux États-Unis.
On obtient un indice spatial IU SA/F r =
13246
× 100 = 193, 46.
6847
On dit dans ce cas que la consommation « base 100 en France » est de 193,46
aux États-Unis.
Les indices conviennent bien aux grandeurs simples. On dit alors qu’on a un
indice élémentaire.
Dans les études d’indices, on choisit en général une date initiale ou date de
référence qualifiée de “temps zéro” et on établit les autres indices par rapport à
cette date. L’indice valeur 100 à la date initiale est :
It/0 =
Vt
× 100
V0
8
Le choix de la base est arbitraire et on pourrait aussi bien prendre une base
1 ou une base 1000.
La plupart des formules qui vont suivre seront souvent définies à un multiple
de la base près, en général à un multiple de 100 près.
Dans tout ce qui suit la base de la valeur de référence (qu’elle soit temporelle
ou spatiale) est fixée à 100.
Dans le cas d’une grandeur multiple, on souhaite définir une quantité qui
joue un rôle comparable à celui des indices élémentaires.
On procède en agrégeant les valeurs de chaque composante (en fonction de
leur prix et de leur quantité) et en faisant ensuite le quotient des valeurs ainsi
obtenues à des dates ou dans des régions différentes.
On obtient ainsi un indice synthétique.
3
Propriétés des indices
On s’intéresse à deux types de propriétés que pourraient avoir les indices qu’on
définit : la circularité et la reversibilité.
Nous allons définir ces deux notions et on cherchera par la suite à savoir si
les indices classiquement utilisés en économie et en statistique ont ces propriétés
ou pas.
3.1
Circularité
Circularité
Un indice est dit circulaire si, pour trois dates différentes t, t0 et t00 , on a la
relation
1
It/t00 = It/t0 × It0 /t00 ×
100
Cette propriété s’appelle aussi la transférabilité ou la transitivité.
Si on a une date de référence, cette propriété implique que
It/0 = It/t0 × It0 /0 ×
It/0
1
⇐⇒ It/t0 = 100 ×
100
It0 /0
Grâce à cette propriété, pour comparer deux grandeurs à deux dates différentes, il suffit de faire le quotient de leurs indices à ces deux dates.
3.2
Réversibilité
Réversibilité
On dit que l’indice est réversible si, lorsque les dates sont interverties, les indices
sont inversés (à 104 près si on est en base 100) :
It/t0 =
9
104
It0 /t
On peut aussi écrire cette propriété sous la forme It/t0 It0 /t = 104 .
Si les indices sont exprimés par rapport à une date de référence, on a :
It/0 I0/t = 104
4
Indices élémentaires
Les indices élémentaires ont la propriété de circularité.
En effet :
It/t0 × It0 /t00 ×
1
Vt
Vt0
1
=
× 100 ×
× 100 ×
100
Vt0
Vt00
100
Vt
× 100
=
Vt00
= It/t00
• Exemple
Le prix d’un bien a évolué de la manière suivante :
Année
2012
2013
2014
Prix
120,5
132,55
159,06
Indice
100
110
132
Calculer son évolution entre les années 2013 et 2014.
On peut bien sûr calculer le taux de variation à partir des prix mais il est
plus commode d’utiliser les indices et de faire leur rapport :
100 ×
132
= 120
110
Le produit a augmenté de 20% entre 2013 et 2014.
Un calcul direct donnerait :
159, 06 − 132, 55
26, 51
=
= 0, 2 = 20%
132, 55
132, 55
On vérifie facilement que les indices élémentaires sont réversibles. En effet :
It/t0 × It0 /t =
Vt
Vt0
× 100 ×
× 100 = 104
Vt0
Vt
• Exemple
Reprenons la consommation annuelle d’électricité par habitants en France
et aux États-Unis en 2011.
10
Puisque IU SA/F r = 193, 46, on en déduit que IF r/U SA =
10000
= 51, 69.
193, 46
On dit dans ce cas que la consommation « base 100 aux États-Unis » est de
51,69 en France.
5
Exercices complémentaires
Exercice 10
Une entreprise fabrique deux biens en quantités Q1 et Q2 qu’elle vend au
prix respectifs de P1 et P2 . On sait que la recette procurée par le bien 2 est le
double de celle procurée par le bien 1.
8-1 ) Au cours d’une année, les prix P1 et P2 augmentent respectivement de
1.5% et de 2% tandis que les ventes des deux biens augmentent de 5% et 3%
respectivement.
Calculer le taux de variation de la recette totale de l’entreprise.
• Corrigé
Notons R1 et R2 les recettes procurées par les deux biens. La recette totale
au départ est de R = R1 + R2 et on a les relations :
(
R1 = P1 × Q1
R2 = P2 × Q2
La recette R1 au bout d’un an est multipliée par les produits des coefficients
multiplicateurs des prix et des quantités du bien 1. De même pour la recette
R2 :
(
R10 = R1 × (1 + 1, 5/100) × (1 + 5/100) = 1, 06575 × R1
R20 = R2 × (1 + 2/100) × (1 + 3/100) = 1, 0506 × R2
11
La nouvelle recette est R0 = R10 + R20 = 1, 06575 × R1 + 1, 0506 × R2 .
Le taux de variation est
R0 − R
R
(1, 06575 × R1 + 1, 0506 × R2 ) − (R1 + R2 )
=
R1 + R2
0, 06575 × R1 + 0, 0506 × R2
=
R1 + R2
0, 06575 × R1 + 0, 0506 × 2 R1
=
R1 + 2 R1
0, 06575 + 0, 0506 × 2
=
3
0, 16695
=
3
= 0, 05565 ≈ 5, 57%
τ=
La recette a finalement augmenté de 5,57%.
8-2 ) Quel est le rapport, au bout d’un an, entre les recettes des deux biens
?
On trouve :
r0 =
R20
1, 0506 × R2
1, 0506 × 2 R1
1, 0506 × 2
=
≈ 1, 97
=
=
0
R1
1, 06575 × R1
1, 06575 × R1
1, 06575
Le rapport a un peu baissé : il est passé de 2 à 1,97.
8-3 ) Au cours de l’année suivante, les ventes du bien 2 ont chuté de 10%
tandis que le prix P2 augmentait de 5%. En même temps, les ventes du bien 1
ont progressé de 10%.
Quelle variation du prix P1 ferait en sorte que la recette totale reste inchangée
?
Notons π1 le taux de variation du prix P1 .
(
R100 = R10 × (1 + π1 ) × (1 + 10/100) = (1 + π1 ) × 1, 1 × R10
R200 = R20 × (1 + 5/100) × (1 − 10/100) = 0, 945 × R20
On a vu à la question précédente que R20 = 1, 97 × R10 . On a donc :
R200 = 0, 945 × 1, 97 × R10 = 1, 86165 × R10
On voudrait donc que :
R100 + R200 = R10 + R20
⇐⇒
1, 1 × (1 + π1 ) × R10 + 1, 86165 × R10 = R10 + 1, 97 × R10
⇐⇒
1, 1 × (1 + π1 ) + 1, 86165 = 1 + 1, 97
1 + 1, 97 − 1, 86165
1, 10835
1 + π1 =
=
= 1, 007591
1, 1
1, 1
π1 = 0, 007591 ≈ 0, 76%
⇐⇒
⇐⇒
12
8-4 ) Quel est, au bout des deux années, le rapport entre les recettes des
deux biens ?
On trouve :
r00 =
1, 86165 × R10
1, 86165
R200
=
=
= 1, 679659 ≈ 1, 68
00
R1
1, 1 × (1 + π1 ) × R10
1, 1 × 1, 007591
8-5 ) Représenter graphiquement l’évolution des recettes des deux biens.
1.0
1.5
2.0
Recettes des deux biens
R1
R2
13