FRACTIONS I) Définition et interprétation géométrique 1) Définition

FRACTIONS
I) Définition et interprétation géométrique
1) Définition
Le résultat de l’opération 3 : 2 est appelé le quotient de 3 par 2.
On peut le calculer, afin d’obtenir son écriture décimale :
3: 2 = 1,5
On peut également ne pas le calculer. On garde alors son écriture fractionnaire :
3
3:2=
2
Cette notation est particulièrement utile dans certains cas.
Exemple :
Si on effectue la division de 7 par 3, on trouve un nombre infini, illimité. Le quotient de 7 par 3 n’est donc pas
7
un nombre décimal. La seule façon d’écrire ce nombre est d’utiliser son écriture fractionnaire :
3
2) Vocabulaire
numérateur
3
2
dénominateur
Lorsque le numérateur et le dénominateur sont entiers, on dit que le nombre est une fraction.
Exemples :
4 12 1
;
; sont des fractions.
3
6
7
4 ,2 5,24
;
ne sont pas des fractions, mais sont quand même des nombres en écriture fractionnaire.
2,1
6
Lorsque le dénominateur est égal à 10, 100, 1000... on dit que le nombre est une fraction décimale.
Exemples :
4
147
3
;
;
sont des fractions décimales.
10 100 1000
3) Interprétation graphique
Voir activité : Relier aires et fractions
7
d’un segment unité, d’une surface… il faut partager l’unité en 3 parts égales et en
3
sélectionner 7 morceaux.
Pour représenter les
4) Autre définition
Voir activité : Bandelettes de papier
a et b étant des nombres entiers avec b  0 (c'est-à-dire b non nul)
a
Le quotient est le nombre qui multiplié par b donne a.
b
Exemples :
3
2
2
3
4
5
5
4
3
8  3
8
II) Multiplication d’un nombre par un quotient
1) Définition
Prendre une fraction d’un nombre, c’est multiplier cette fraction par ce nombre.
Exemples :
3
de 10
5
3
3
On calcule 10 (ou 10  )
5
5
On multiplie d’abord 3 par 10 puis on divise le résultat par 5
Prendre les
III) Graduation d’une demi-droite
Voir activité : Quotient et demi-droite graduée
1) Graduation
Graduer une demi- droite c’est choisir une origine qui correspondra au nombre 0, choisir une unité et le
découpage de celle-ci. On découpe ensuite la demi-droite de façon régulière (toujours les mêmes espaces) afin
de pouvoir lire simplement l’abscisse de chaque point (l’abscisse correspond à la position sur la demi-droite)
Exemples :
O
B
.
.
.
.
.
C
.
0
.
1
.
.
.
.
.
.
O a pour abscisse 0
1
B a pour abscisse ou 0,5
2
7
1
C a pour abscisse
ou 3  ou 3,5
2
2
2) Quotient et demi-droite graduée
. . T .
E . . . . . . . . . . . . P .
0 . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . .
Lisons les abscisses des différents points
2
T a pour abscisse
ou 0,2
10
1
5
E a pour abscisse
ou 0,5 ou même 2
10
18
P a pour abscisse
10
3) Propriétés
a et b étant des nombres entiers avec b  0 (c'est-à-dire b non nul)
A la vue des différents exemples ci-dessus, on peut aisément voir que :
a
Si a<b alors  1
b
a
1
b
a
Si a>b alors  1
b
Si a=b alors
IV) Egalités de fractions
Voir activité : Différents découpages
1) Définition
Un quotient ne change pas quand on multiplie ou divise son numérateur et son dénominateur par un même
nombre différent de 0.
Exemples :
3 3 2 6


7 7  2 14
30 30  3 10


45 45  3 15
2) Simplification
Simplifier au maximum une fraction, c’est trouver la fraction qui lui est égal mais avec le plus petit numérateur
et dénominateur possible
Exemples :
Dans l’exemple ci-dessus, la fraction est simplifiée mais pas simplifiée au maximum :
30 30  3 10 10  5 2




45 45  3 15 15  5 3
48 48  6 8 8  2 4

 

36 36  6 6 6  2 3
NOMBRES EN ECRITURE FRACTIONNAIRE
I) Quotient de deux nombres
1) Définition
Le quotient d’un nombre a par un nombre b différent de 0 est égal à
Si a et b sont des nombres entiers, b  0 , le nombre
diviseur
dividende
a
.
b
a
est appelé une fraction.
b
numérateur
dénominateur
Exemples :
30
 30 : 5  6
5
30
est un nombre entier
5
30
est une fraction
5
La division de 12,9 par 11 ne
9, 6
 9, 6 : 5, 4  2, 4
12, 9
4
« s’arrête » jamais.
n’est
11
9, 6
est un nombre décimal non pas un nombre décimal.
4
entier
9, 6
n’est pas une fraction. Il
4
s’agit d’un nombre en écriture
fractionnaire
Cas particuliers
0,83
 0,83
1
3, 7
1
3, 7
0
0
98
2) Troncature et arrondi
Pour obtenir la troncature au centième (par exemple) d’un quotient, il faut effectuer la division jusqu’à obtenir
un quotient avec deux chiffres après la virgule.
Exemples :
5
: 0.83
6
8
Troncature au dixième de : 0.8
9
Troncature au centième de
Pour déterminer, par exemple, l’arrondi au dixième d’un nombre, on regarde le chiffre des centièmes de ce
nombre,
1) Si ce chiffre est 0, 1 ; 2 ; 3 ou 4, on garde le chiffre des dixièmes.
2) Si ce chiffre est 5, 6, 7, 8, ou 9, on ajoute un dixième.
Exemples :
Arrondi au dixième de 0,83 :
Arrondi au dixième de 0,68 :
Arrondi au centième de 0,837 :
Arrondi au centième de 0,684 :
II) Quotients égaux
Voir activité 1 page 24 : « Quotients égaux »
1) Propriété
Un quotient ne change pas lorsqu’on multiplie ou lorsqu’on divise le numérateur (ou le dividende) et le
dénominateur (ou le diviseur) par un même nombre non nul.
a, b, c étant trois nombres quelconques :
a ac

b bc
a a c

b bc
b  0, c  0
Exemples :
5,8 5,8 10 58


3,1 3,110 31
21 21: 3 7


15 15 : 3 5
47 4

73 3
2) Simplification
Simplifier une fraction signifie trouver une fraction égale dont le numérateur et le dénominateur sont plus
petits.
Lorsqu’une fraction ne peut plus être simplifiée, on dit qu’elle est irréductible.
Exemples :
54 54 : 9 6
54

 . On dit que la fraction
a été simplifiée par 9.
63 63 : 9 7
63
6
6
54
La fraction
ne peut pas être simplifiée.
est donc la fraction irréductible égale à la fraction
.
7
7
63
216 216 : 2 108 108 : 3 36




30
30 : 2
15
15 : 3
5
108
n’est pas une fraction irréductible. On peut la simplifier par 3.
15
36
216
est la fraction irréductible égale à la fraction
.
5
30
III) Comment diviser un nombre par un nombre décimal ?
Voir activité 2 page 24-25 : « Division d’un nombre décimal par un nombre décimal »
Pour diviser à la main par un nombre décimal, on commence par multiplier le diviseur et le dividende par un
nombre (en général : 10, 100 ou 1000) de façon à rendre le diviseur entier.
Exemple :
Diviser 3,48 par 2,4 revient à diviser 34,8 par 24. En effet :
3, 48 3, 48 10 34,8


2, 4
2, 4 10
24
IV) Comment multiplier des nombres en écriture fractionnaire ?
1) Savoir faire
Pour multiplier deux nombres relatifs en écriture fractionnaire :
1) on multiplie les deux numérateurs entre eux
2) on multiplie les deux dénominateurs entre eux
Notation : Soient a, b, c, d quatre nombres relatifs avec b et d non nuls (différents de 0), alors on a :
a c ac
 
b d bd
c a c a  c a  c ac
  


d 1 d 1 d
d
d
Ce qui revient à ne multiplier entre eux QUE les numérateurs
En particulier : a 
Exemples :
1 2 1 2 2
 

3 5 3  5 15
7 3 7  3 21
 

8 2 8  2 16
14 8 14  8 112
 

5 3 5 3
15
Cas particulier
3,5 
2 3,5 2 3,5  2

 
9
1 9
1 9
NOMBRES EN ECRITURE FRACTIONNAIRE (2)
I) Comparaison de nombres en écriture fractionnaire
1) Dénominateurs identiques
Voir activité 4 page 26 : Tablette de chocolat
Deux fractions de même dénominateur sont dans le même ordre que leurs numérateurs.
Exemples : Comparer
2,5 < 7 donc
7
2,5
et
4
4
2,5 7
<
4 4
2) Un des dénominateurs est multiple de l’autre
On commence par les écrire avec le même dénominateur et on compare ensuite les nombres écrits avec le
même dénominateur.
3
5, 3
et
5
10
10 est multiple de 5. En effet : 5 × 2 = 10.
Exemples : Comparer
3 3 2 6


5 5  2 10
5,3 < 6 donc
5, 3 6
5, 3 3
<
c'est-à-dire
<
10 10
10 5
II) Addition et soustraction de nombres en écriture fractionnaire
1) Dénominateurs identiques
a, b et k désignent des décimaux non nuls.
a b a b
 
k k
k
a b a b
 
k k
k
Pour additionner (ou soustraire) des nombres en écriture fractionnaire ayant le même dénominateur, on
additionne (ou soustrait) les numérateurs et on garde le même dénominateur.
Exemples :
7 9

5 5
79
A
5
16
A
5
A
9,3 6,1

4
4
9,3  6, 4
B
4
3, 2
B
4
B
2) Un des dénominateurs est multiple de l’autre
On commence par les écrire avec le même dénominateur.
On additionne ensuite (ou on soustrait) les nombres écrits avec le même dénominateur.
Exemples :
7 5

8 4
7 5 2
C 
8 4 2
7 10
C 
8 8
7  10
C
8
17
C
8
C
13 47

5 25
13  5 47
D

5  5 25
65 47
D

25 25
65  47
D
25
18
D
25
D