1 Chapitre Les nombres complexes C > Modules Ce chapitre traite les modules suivants : • Nombres complexes 1 (NC1). > Objectifs • Utiliser les formules de Moivre et d’Euler. COURS Rappels de Terminale 1. Les différentes écritures d’un nombre complexe a) Forme algébrique z = a + ib où a et b sont deux réels et i 2 = – 1. N.B. : On utilise parfois a + jb pour les problèmes liés à l’électricité ou à l’électronique afin d’éviter les confusions avec l’intensité d’un courant. b) Forme trigonométrique Si z est un nombre complexe non nul, on note : • | z | = ÷⁄a 2 + b 2 le module de z, parfois noté r. a a b b • q le réel défini par : cos q = = et sinq = = . 2 2 2 2 r r ÷⁄a + b ÷⁄a + b q est un argument de z (q est défini à 2kp près, (k œ1)). Notation 1 Le nombre complexe z de module r et d’argument q peut s’écrire : z = r (cosq + isinq ) (forme trigonométrique) ou z = [r, q ] ou z = r e iq (notation exponentielle). 17 Chapitre 1 À savoir Si z = a + ib et si z ≠ 0 alors a b | z | = r = ÷⁄ a 2 + b 2, cosq = , sinq = ; z = r (cosq + isinq ) = r e iq . r r L’ensemble des nombres complexes est noté 4. Le nombre complexe 0 a pour module 0, mais n’a pas d’argument. 2. Interprétation géométrique À savoir À chaque nombre complexe z = a + ib correspond un point unique M du plan rapporté à un repère orthonormal (O ; uü, vü ). • M(a, b) est l’image de z. • z est l’affixe de M. • Le vecteur ⁄O⁄M ù a pour affixe z. De plus, pour z ≠ 0, OM = | z | et (uü, ⁄O⁄M ù ) = arg (z) + 2kp, kœ1. ;;;;;; ;;;;;; ;;;;;; ;;;;;; M(z ) b r vü O q a uü 3. Formules de calcul a) Produits et quotients de nombres complexes Rappel On note ‡z le nombre complexe conjugué de z. • Si z = a + ib alors ‡z = a – ib. • De plus z‡z = a 2 + b 2 = | z | 2. À savoir Si on note z1 = a + ib = r 1e iq 1 et z2 = c + id = r 2 e iq 2 , avec z1 ≠ 0 et z2 ≠ 0, on a : z1 z2 = (ac – bd) + i(ad + bc) ou z1 z2 = [r 1 r 2 , q1 + q2 ] z1 z2 = r 1 r 2 e i(q 1 + q 2 ). Exercice résolu ou Calculer de deux manières (2 – 2i ÷ÿ3 )(– 1 + i ) ; en déduire cos • (2 – 2i ÷ÿ3 )(– 1 + i ) = (– 2 + 2÷ÿ3 ) + i(2 + 2÷ÿ3 ) • 2 – 2i ÷ÿ3 peut s’écrire : 2 – 2i ÷ÿ3 = 4 1 – 1 + i peut s’écrire : – 1 + i = ÷2 – i 5p 12 d’où : (2 – 2i ÷ÿ3 )(– 1 + i ) = 4 ÷2 e 18 5p 5p et sin . 12 12 (1) –i p 3 1 12 – i ÷32 2 = 4 e . i 3p ÷2 ÷2 +i = ÷2 e 4 . 2 2 2 1 = 4 ÷2 cos 5p 5p + isin 12 12 2 (2) Les nombres complexes En comparant (1) et (2), on obtient : 4÷2cos 5p = –2 + 2÷ÿ3 (égalité des deux parties réelles) 12 5p 5p ÷ÿ6 – ÷2 –2 + 2÷ÿ3 = soit cos = . 12 12 4÷2 4 En écrivant l’égalité des parties imaginaires, on obtient de la même manière : donc cos sin 5p ÷ÿ6 + ÷2 = . 12 4 À savoir En notant z1 = a + ib = r 1e iq 1 et z2 = c + id = r 2 e iq 2 , avec z1 ≠ 0 et z2 ≠ 0, on a : z1 z z‡ (a + ib)(c – id ) = 1 22 = z 2 | z2| c2 + d 2 ou z1 r1 = , q – q2 z2 r2 1 ou z1 r = 1 e i(q 1 – q 2 ). z 2 r2 3 4 b) Formule de Moivre Abraham de Moivre (1667-1754). Mathématicien anglais d’origine française. On lui doit, entre autres, cette formule. À savoir Exercice résolu 1 q étant un réel quelconque et n un entier naturel, on a : (cosq + isinq ) n = cos nq + isin nq ou (e iq ) n = e inq . Cette formule est appelée formule de Moivre. Racines carrées d’un nombre complexe Résoudre dans 4 : z 2 = 2 – 2i ÷ÿ3 . –i p 3 On a vu dans l’exercice résolu précédent que : 2 – 2i ÷ÿ3 = 4e p p donc l’équation équivaut à z 2 = 4 3 cos 1 – 2 + isin 1 – 2 4 . 3 3 En posant z = r e iq, on peut en déduire que r 2 = 4 et 2q = – p + 2kp (k œ1). 3 p + kp. 6 On obtient pour k = 0 et k = 1, les deux types de solutions. L’équation a donc deux solutions : p p 5p z 1 = 3 2, – 4 et z 2 = 3 2, – + p 4 = 2, . On remarque que z 1 = – z 2. 6 6 6 donc r = 2 et q = – Exercice résolu 2 3 4 Résoudre dans 4 : z 2 = –5 – 12i. Le module de –5 – 12i est ÷⁄5 2 + 12 2 = 13, – 5 – 12i n’a donc pas un argument remarquable et l’on ne peut pas utiliser la méthode précédente. 19 Chapitre 1 Posons z = a + ib, on a z 2 = a 2 – b 2 + 2iab soit –5 – 12i = a 2 – b 2 + 2iab 2 on obtient : 2 = –5 5 a2ab– =b –12. De plus z 2 et –5 – 12i ont le même module donc : a 2 + b 2 = 13. Cette dernière équation n’est pas nécessaire mais elle facilite la résolution. a 2 – b2 = – 5 On a donc les trois équations suivantes : a 2 + b 2 = 13 ab = – 6. Les deux premières équations permettent de déduire que a 2 = 4 et b 2 = 9 et comme ab = –6 les deux seules solutions sont : a = 2 et b = –3 ; a = –2 et b = 3. L’équation z 2 = –5 – 12i admet donc deux solutions opposées : z 1 = 2 – 3i et z 2 = – 2 + 3i (z 1 = – z 2 ). Exercice résolu 3 5 Calcul de cos nq ou sin nq. Exprimer cos3q en fonction de cosq . On applique la formule de Moivre au cas n = 3, on obtient : (cosq + i sinq ) 3 = cos3q + i sin3q . En développant (cosq + i sinq ) 3 avec la formule du binôme (cf. chapitre 0, page 12), on obtient : cos 3q + 3i cos 2q sinq – 3cosq sin 2q – i sin3q . On a ainsi : cos3q + i sin3q = cos 3q – 3cosq sin 2q + 3i cos 2q sinq – i sin3q . En utilisant l’égalité des parties réelles, on a : cos3q = cos 3q – 3cosq sin 2q . Sachant que cos 2 q + sin 2q = 1, il vient : cos3q = cos 3q – 3cosq (1 – cos 2 q ). Ainsi : cos3q = 4cos 3q – 3cosq. 4. Nombres complexes et géométrie, lignes de niveau Définition Si f est une fonction de 4 dans 3, on appelle ligne de niveau k de f l’ensemble des points du plan rapporté à un repère orthonormal (O; uü, vü ) dont l’affixe z vérifie f (z) = k (k est une constante réelle). Cas particuliers • f (z) = ¬e(z) (partie réelle de z). Si ¬e(z) = k, le point M d’affixe z a une abscisse constante. Les lignes de niveau k de f sont donc les droites d’équations x = k. • f (z) = ¡m (z) (partie imaginaire de z). Les lignes de niveau k de f sont les droites d’équation y = k. 20 Les nombres complexes À savoir Exercice résolu 1 Déterminer tous les points M du plan, d’affixe z, tels que : | z – (2 + i)| = 3. Exercice résolu 2 Si A et B sont deux points distincts du plan rapporté au repère orthonormal (O ; uü, vü ), d’affixes respectives zA et zB , on a : AB = | zB – zA | et ( uü , ⁄Aº]Bù) = arg( zB – zA ). p Déterminer tous les points M du plan, d’affixe z, tels que : arg(z – (2 + i)) = . 4 p On obtient ( uü, ⁄A M ù) = , M est donc un 4 x point de la demi-droite passant par A et faip sant l’angle avec uü (privée du point A). p 4 4 L’ensemble de tous les points M cherchés est A la demi-droite ouverte ]Ax) d’origine A, de vü coefficient directeur 1 et appartenant au preO uü mier quadrant. Si A est l’image de 2 + i on a | z M – z A | = 3 soit AM = 3. M est donc un point du cercle de centre A et de rayon 3. L’ensemble de tous les points M cherchés est le cercle de centre A et de rayon 3. ;;;;;; ;;;;;; ;;;;;; ;;;;;; ;;;;;; À savoir Si on note A le point d’affixe a : • les lignes de niveau k de z ú | z – a| sont les cercles de centre A et de rayon k (k réel positif); • les lignes de niveau k de z ú arg(z – a ) sont les demi-droites issues de A, privées du point A, faisant l’angle k avec le vecteur uü. 5. Formules d’Euler À savoir Les formules d’Euler sont : cos x = e ix + e – ix 2 ; sin x = e ix – e – ix . 2i Leonhard Euler (1707-1783). Mathématicien suisse. Il était aussi physicien, ingénieur et philosophe. C’est l’un des fondateurs du calcul intégral. Exercice résolu Ces formules permettent de linéariser des polynômes trigonométriques, c’est-à-dire de les écrire sous la forme d’une somme de termes du type cos nq ou sin nq . Linéariser f (x) = cos 3 x – cos 2 x + 2. • Linéarisation de cos 3 x. En utilisant les formules d’Euler, on a : 3 ei x + e– i x cos 3 x = 2 1 2 21 Chapitre 1 cos 3 x = 1 3i x (e + 3e i x + 3 e – i x + e – 3i x ) 8 e 3i x + e – 3i x ei x + e– i x +3 2 2 = 1 4 = 1 (cos3x + 3cosx). 4 1 2 • Linéarisaton de cos 2 x. En utilisant les formules d’Euler, on a : cos 2x = 1 ei x + e– i x 2 2 2 = 1 2i x (e + 2 + e – 2i x ) 4 = 1 2 = 1 (cos2x + 1). 2 1e 2i x + e – 2i x +1 2 2 N.B. : cette deuxième linéarisation peut être réalisée en utilisant la formule donnant cos 2x en fonction de cos2 x. On obtient finalement : f (x) = = 2 1 3 1 1 cos3x + cosx – cos2 x – +2 4 4 2 2 1 1 3 3 cos3x – cos2 x + cos x + . 4 2 4 2 Équations du second degré à coefficients réels À savoir Exercice résolu On considère l’équation ax 2 + bx + c = 0 où a, b et c sont des nombres réels et a ≠ 0. D = b 2 – 4ac. – b – ÷⁄D – b + ÷⁄D • Si D > 0, l’équation a deux solutions réelles distinctes : x1 = ; x2 = . 2a 2a –b • Si D = 0, l’équation a une solution réelle unique : x1 = . 2a – b + i ÷⁄– D – b – i ÷⁄– D • Si D < 0, l’équation a deux solutions complexes conjuguées : x1 = ; x2 = . 2a 2a 22 Résoudre dans 4 les équations suivantes : • 3 z 2 – 2z + 1 = 0 ; • z 3 – 1 = 0. Les nombres complexes • Résolution de 3 z 2 – 2z + 1 = 0. On calcule le discriminant : D = 1 – 12 = – 11. Donc les solutions complexes sont : z1 = D’où : í = 2 – i ÷ÿ11 2 + i ÷ÿ11 et z 2 = . 6 6 5 2 – 6i ÷ÿ11 , 2 + 6i ÷ÿ11 6 . • Résolution de z 3 – 1 = 0. z 3 – 1 peut se mettre sous la forme (z – 1)(a z 2 + b z + c). On obtient a = b = c = 1, donc l’équation z 3 – 1 = 0 devient (z – 1)(z 2 + z + 1) = 0, d’où z = 1 ou z 2 + z + 1 = 0. La résolution de z 2 + z + 1 = 0 donne : D = 1 – 4 = – 3 et z 1 = 5 Donc : í = 1, – 1 – i ÷3 – 1 + i ÷3 et z 2 = . 2 2 –1 – i ÷3 – 1 + i ÷3 , . 2 2 6 23 T ravaux pratiques 1 Linéarisation Linéariser sinx cos 3x en utilisant les formules d’Euler. En déduire une primitive de sin x cos 3x. Pouvait-on trouver directement une primitive de cette expression ? En déduire la forme linéarisée de cos 4x. Corrigé • On peut écrire sin x = 1 ei x – e– i x 2i 2 et cos 3x = 1 ei x + e– i x 2 3 2. En développant, on obtient : 3 1e 3i x + 3 e i x + 3 e – i x + e – 3i x 2 Donc sin x cos 3x = 1 4 1e ix 1 4 1e 4i x = + 3 e 2i x + 3 + e – 2 i x – e 2i x – 3 – 3 e – 2 i x – e – 4 i x 4i 1 8 1e 4i x = – e – 4 i x 2e 2i x – 2e – 2i x + 2i 2i = 1 (sin4x + 2sin 2x). 8 1 ei x + e– i x 2 2 = 1 4 – e– i x 2i 21 e 3i x 2 + 3 e i x + 3 e – i x + e – 3i x 2 2 2 2 Une primitive de sinx cos 3x est donc : 1 1 2 1 1 F(x) = – cos4x – cos2x = – cos4x – cos2x. 8 4 2 32 8 1 2 • On constate que si on pose u = cos x, sin x cos 3x peut s’écrire –u©u 3 dont 1 u4 une primitive est – . On a donc F1 (x) = – cos 4 x. 4 4 • Deux primitives F1 et F2 d’une même fonction sont égales à une constante près, donc on peut écrire : 1 1 1 cos4x – cos2x + k – cos 4x = – 4 32 8 1 1 d’où : cos 4x = cos4x + cos2x – 4 k 8 2 Cette égalité étant vraie pour tout x, on peut déterminer k en prenant par exemple x = 0 : 1 1 3 1 = + – 4k ; – 4 k = . 8 2 8 1 1 3 On obtient finalement : cos 4x = cos4x + cos2x + . 8 2 8 24 Chapitre 1 Les nombres complexes 2 Utilisation de la formule de Moivre Calculer sin3x en fonction de sin x. Corrigé On a (cos x + isin x) 3 = cos3 x + isin3 x (1) (formule de Moivre). En développant le premier membre de cette égalité, on obtient : (cosx + isin x) 3 = cos 3x + 3 cos 2x isin x + 3 cosx(isin x) 2 + (isin x) 3 = cos 3x – 3 cos x sin 2x + i(3cos 2x sin x – sin 3x). En identifiant les parties imaginaires des deux membres de l’égalité (1) on obtient : sin3 x = 3 cos 2x sin x – sin 3x soit encore en remplaçant cos 2x par 1 – sin 2x sin 3 x = 3 (1 – sin 2x) sin x – sin 3x = 3 sin x – 4 sin 3x. 25 L’essentiel Chapitre 1 À savoir Écritures z = a + ib = r (cosq + isinq ) = r e i q = [r, q ] avec r = ÷⁄a 2 + b 2, cosq = a b et sinq = (pour z ≠ 0). r r Opérations r e iq ¥ r©e iq © = r r©e i (q + q © ) ; r i (q – q © ) r e iq = e ; (r e iq ) n = r n e inq . iq © r© r©e Formules d’Euler cosq = e iq + e – iq e iq – e – iq et sinq = . 2 2i Équations L’équation az 2 + bz + c = 0, où a, b, c sont trois nombres réels et a ≠ 0, admet deux solutions complexes : z1 = – b – i ÷D – b + i ÷D et z 2 = où D = b 2 – 4 ac. 2a 2a À savoir faire • Utiliser les formules d’Euler (exercice n° 5). • Résoudre des équations (exercices n° 9 à 12 et 18 à 20). • Transformer une équation en utilisant une identification (exercices n° 18 et 19). • Utiliser deux types d’écritures d’un complexe (exercices n° 1, 2, 7, 8 et 18 à 20). 26 E xercices et problèmes a) Calculer f (i) et f (2 – i). Rappels de Terminale b) En posant z = x + iy (x et y sont réels), calculer la partie réelle et la partie imaginaire de f (z). Passage d’une forme à une autre c) Quel est l’ensemble des points d’affixe z tels que : • f (z) soit un réel ? • f (z) soit un imaginaire pur ? • Exercice 1 Écrire les nombres complexes suivants sous forme trigonométrique. z 1 = 3i ; z 2 = 1 – i ; z 3 = 1 + i÷ÿ3 ; On considère les deux nombres complexes : z 4 = ÷ÿ3 – i ; z 5 = ÷ÿ2 + i÷ÿ6. • Exercice 2 Écrire chacun des nombres complexes suivants sous forme algébrique. 1 3p p 2p ; z3 = , z 1 = 3 3, 4 ; z 2 = 1, 2 4 6 3 3 3 z 4 = 2, – 5p 6 4 4 3 4 5i p 6 ; z 5 = 3 e 2i p ; z 5 = 2e • Exercice 7 * . Formules de trigonométrie • Exercice 3 z 1 = ÷ÿ6 – i÷ÿ2 et z 2 = ÷ÿ3 + i÷ÿ3. z a) Calculer z 1 z 2 et 1 . z2 b) Mettre z 1 et z 2 sous forme trigonométrique puis z z 1 z 2 et 1 . z2 En déduire le cosinus et le sinus de : p –5p et de . 12 12 • Exercice 8 ** En utilisant une méthode analogue à celle de i p En utilisant la formule de Moivre, retrouver les formules donnant : cos2q et sin2q . • Exercice 4 En utilisant la formule de Moivre, calculer : cos4q et sin4q . l’exercice précédent et en utilisant e 3 et e calculer : 7p 7p p p cos , sin , cos et sin . 12 12 12 12 En déduire : 11p 11p 13p 13p cos , sin , cos et sin . 12 12 12 12 i p 4 Linéarisation • Exercice 5 Équations à coefficients réels Linéariser : a) cos 2x sin 2x. b) cos 3 x + 2cos 2x + cos x. • Exercice 9 Résoudre dans 4 les équations suivantes : c) sin 3x + 2sin 2x + sin x. a) 3z 2 + z + 4 = 0. d) sin 2(3x) + cos 2(2x). b) z 2 + 2z + 2 = 0. Exercices de calcul • Exercice 6 * On considère la fonction : f : 4 – {2i} Æ 4 z+i zú . z – 2i c) z 2 – 6z + 11 = 0. • Exercice 10 Résoudre dans 4 les équations suivantes : a) z 2 + 3z – 4 = 0. b) z 2 + 3z + 4 = 0. c) z 2 – 3z + 4 = 0. 27 E xercices et problèmes • Exercice 11 * • Exercice 17 On pose P(z) = 2 z 3 + 3z 2 – z – 4. Quel est l’ensemble des points M d’affixe z du plan p vérifiant arg(z – (3 – i)) = ? 3 a) Calculer P(1) puis factoriser P(z). b) En déduire la résolution dans 4 de l’équation P(z) = 0. • Exercice 12 ** On pose P(z) = 2 z 3 – 3z 2 + 2z – 3. Calculer P(i) et P(– i), en déduire la factorisation de P (z) et en déduire les solutions dans 4 de P(z) = 0. Lignes de niveau • Exercice 13 Déterminer l’ensemble des points du plan d’affixe z tels que : a) ¡m(z) = 2. b) ¬e(z) = 3 • Exercice 14 • Exercice 18 * 1) Le nombre i est le nombre complexe de module 1 p et dont un argument est . 2 On considère P(z) = z 3 – 4z 2 + 6z – 4, où z est un nombre complexe. a) Calculer P(2). b) Déterminer les nombres réels a, b et c tels que : P(z) = (z – 2)(az 2 + bz + c). c) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes 4 l’équation P(z) = 0. 2) Le plan est muni d’un repère orthonormal direct (O, uü, vü ) d’unité 5 cm. Déterminer l’ensemble des points M du plan d’affixe z tels que z = 2 + jw où w varie dans l’intervalle [0, + •[ et où j désigne le complexe de module 1 et p d’argument . 2 a) Placer les points A, B et C d’affixes respectives : z A = 2, z B = 1 + i et z C = 1 – i. • Exercice 15 c) Montrer que C est l’image de B par une rotation de centre O dont on précisera l’angle. On considère la fonction h définie par : h : 3 *+ Æ 3 1 xúx+ . x d) Déterminer les affixes des points I et J, milieux respectifs des segments [OA] et [BC]. 1) Étudier les variations de h ainsi que ses limites aux bornes de 3 *+. 2) On pose z(x) = 1 + i h(x) pour x > 0. Quel est l’ensemble (E) des points du plan décrit par les points d’affixe z(x) lorsque x parcourt 3 *+. 28 Problèmes b) Déterminer le module et un argument de z A, z B et z C. e) Quelle est la nature du quadrilatère OBAC ? Justifier la réponse. • Exercice 19 * • Exercice 16 Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (O, uü, vü ), d’unité graphique 1 cm. On note i le nombre complexe de module 1 et p d’argument . 2 Quel est l’ensemble des points M d’affixe z du plan vérifiant | z – 3 | = 2 ? Soit P(z) = z 3 – 8z – 32, où z est un nombre complexe. Chapitre 1 Les nombres complexes 1) a) Calculer P(4) . b) Résoudre dans 4 l’équation z 2 + 4z + 8 = 0. c) Déterminer les réels a, b et c tels que : P(z) = (z – 4)(az 2 + bz + c). d) Déduire des questions précédentes la résolution de l’équation P(z) = 0. 2) Dans le plan complexe, on considère les points A, B et C d’affixes respectives : z A = 4, z B = –2 + 2i et z C = –2 – 2i. a) Faire une figure, sur la copie, représentant les points A, B et C dans le repère. b) Déterminer le module et un argument des nombres complexes z B et z C. c) Déterminer, en justifiant, la nature du triangle OBC. 2 3) Soit W le point d’affixe z W = . 3 a) Déterminer les modules des nombres complexes z A – z W , z B – z W et z C – z W . b) Que représente W pour le triangle ABC ? Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O, uü, vü ) d’unité graphique 1 cm. 1) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation suivante, en donnant les solutions sous forme algébrique : z 2 + 3z + 3 = 0. 2) On considère les nombres complexes : 3 ÷3 i et z 2 = ‡z 1. z1 = – + 2 2 a) Écrire z 1 sous forme trigonométrique. b) Construire avec précision dans le repère (O, uü, vü ) les points A et B d’affixes respectives z 1 et z 2. On laissera apparents les traits de construction. 7 ÷3 3) On appelle D le point d’affixe z 3 = – i et 2 2 K le point d’affixe z 4 = 1. a) Montrer que les points A, B et D appartiennent à un cercle Ç de centre K. • Exercice 20 * b) Montrer que le point K est le milieu du segment [AD] . On désigne par i le nombre complexe de module 1 et p dont un argument est . 2 c) Dans le repère (O, uü, vü ), placer les points K et D, et tracer le cercle Ç. Déterminer la nature du triangle ABD. 29