Distances et lieux

Distances et lieux
1) Inégalité triangulaire et positions relatives de deux cercles
a. Inégalité triangulaire
Propriété
Dans un triangle, la longueur de chaque côté est :
- plus petite que la somme des longueurs des deux autres côtés ;
- plus grande que la différence positive des deux autres côtés.
̅̅̅̅ -𝐵𝐶
̅̅̅̅ |< ̅̅̅̅
̅̅̅̅
|𝐴𝐶
𝐴𝐵 < ̅̅̅̅
𝐴𝐶 + 𝐵𝐶
̅̅̅̅ – 𝐵𝐶
̅̅̅̅ | < ̅̅̅̅
̅̅̅̅
|𝐴𝐵
𝐴𝐶 < ̅̅̅̅
𝐴𝐵 + 𝐵𝐶
̅̅̅̅ − ̅̅̅̅
|𝐴𝐵
𝐴𝐶 | < ̅̅̅̅̅
𝐵𝐶 < ̅̅̅̅
𝐴𝐵 + ̅̅̅̅
𝐴𝐶
Méthode pour vérifier s’il est possible de construire un triangle
Pour déterminer si l’on peut construire un triangle dont les côtés ont des
longueurs données, il suffit de vérifier si la longueur du plus grand côté est
plus petite que la somme des longueurs des deux autres côtés.
Exemple
Les longueurs des côtés valent respectivement 3cm, 4cm et 2cm  4 < 3 + 2
Contre-exemples

il est impossible de tracer un triangle dont les côtés mesurent
respectivement 5cm, 3cm et 2cm  5 = 3 + 2

il est impossible de tracer un triangle dont les côtés mesurent
respectivement 5cm, 3cm, 1cm  5 > 3 + 1
b. Positions relatives de deux cercles
Notations
- C1 le cercle de centre O1 et de rayon r1
- C2 le cercle de centre O2 et de rayon r2
Classement des positions relatives
Nombre de points
d’intersection
2 points d’intersection
Représentation géométrique
Position relative
Les cercles sont sécants.
̅̅̅̅̅̅̅̅ < r1+r2
|𝑟1 − 𝑟2| < 𝑂1𝑂2
La distance entre les centres
est comprise entre la
différence positive et la
somme des rayons.
Les cercles sont tangents
extérieurement.
̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑂1𝑂2 = r1+r2
La distance entre les centres
est égale à la somme des
rayons.
1 seul point d’intersection
Les cercles sont tangents
intérieurement.
̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑂1𝑂2 = |𝑟1 − 𝑟2|
La distance entre les centres
est égale à la différence
positive des rayons.
Les cercles sont disjoints
extérieurement.
̅̅̅̅̅̅̅̅ > r1+r2
𝑂1𝑂2
La distance entre les
centresest supérieure à la
somme des rayons.
Pas de point d’intersection
Les cercles sont disjoints
intérieurement.
̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑂1𝑂2 < |𝑟1 − 𝑟2|
La distance entre les centres
est inférieure à la différence
positive des rayons.
Cas particulier :
Les cercles sont concentriques
̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0
𝑂1𝑂2
La distance entre les centres
est nulle.
2) Distance par rapport à une droite
a. Distance d’un point à une droite, entre deux parallèles
1. Distance d’un point à une droite
Définition
La distance d’un point à une droite est la distance entre ce point et le pied
de la perpendiculaire à la droite issue de ce point.
̅̅̅̅ où H est le pied
La distance entre le point X et la droite a est égale à 𝑋𝐻
de la perpendiculaire à a issue de X.
Notation
La distance du point X à la droite a est notée d(X, a).
Propriété
La distance d’un point à une droite est la plus courte distance entre ce
point et n’importe quel point de cette droite.
̅̅̅̅ < ̅̅̅̅
Quel que soit le point Y différent de H sur la droite a, 𝑋𝐻
𝑋𝑌.
2. Distance entre deux droites parallèles
Définition
La distance entre deux droites parallèles est la distance entre les points
d’intersection de ces parallèles avec n’importe quelle perpendiculaire
commune.
La distance entre les droites a et b est égale à ̅̅̅̅
𝑋𝑌.
Notation
La distance entre les droites a et b est notée d(a, b).
b. Positions relatives d’un cercle et d’une droite
Nombre de points
d’intersection
Représentation géométrique
Position relative
2 points d’intersection
La droite est sécante au
cercle.
̅̅̅̅ < r
d(O,a) = 𝑂𝐻
La distance entre le centre du
cercle et la droite est plus
petite que le rayon.
1 seul point d’intersection
La droite est tangente au
cercle.
̅̅̅̅ = r
d(O,a) = 𝑂𝐻
La distance entre le centre du
cercle et la droite est égale
au rayon.
Pas de point d’intersection
La droite est extérieure au
cercle.
̅̅̅̅ > r
d(O,a) = 𝑂𝐻
la distance entre le centre du
cercle et la droite est plus
grande que le rayon.
Propriété
La tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon en son point de contact.
Méthode de construction de la tangente en un point du cercle
Pour construire la tangente t à un cercle de centre O en un point P du cercle,
1) On trace le rayon [𝑂𝑃] ;
2) On trace la perpendiculaire à [𝑂𝑃] passant par P. Cette droite est la
tangente t.
3) Propriétés de la médiatrice
a. Médiatrice d’un segment
Définition (rappel)
La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son
milieu.
Définition
Un lieu géométrique est l’ensemble des points qui possèdent une même
propriété.
Propriété d’équidistance
La médiatrice d’un segment est le lieu des points équidistants des extrémités
de ce segment.
Autrement dit :
1) Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est équidistant
des extrémités de celui-ci ;
et
2) Si un point est équidistant des extrémités d’un segment, alors il appartient
à la médiatrice de celui-ci.
1) Hvof
2) Nvvfs
Conséquences
1) La médiatrice d’une corde d’un cercle passe par le centre du cercle.
2) La médiatrice de la corde commune à deux cercles sécants passe par les
centres de ces deux cercles.
b. Médiatrices d’un triangle
Définition de droites concourantes
Des droites concourantes sont des droites qui se coupent en un seul point.
Propriétés
1) Les médiatrices d’un triangle sont concourantes.
Preuve :
Soit O Le point d’intersection des médiatrices de [AB] et de [AC].
D’une part, puisque O appartient à la médiatrice de [AB], on |OA| =| OB|
D’autre part, puisque O appartient à la médiatrice de [AC], on a |OA| =| OC|
Dès lors, |OB |= |OC|
Par conséquent, O appartient à la médiatrice de [BC].
2) Il existe un seul cercle passant par les trois sommets d’un triangle.
- Son centre est l’intersection des médiatrices du triangle.
- Son rayon est la distance entre son centre et l’un des sommets du triangle.
Définition de cercle circonscrit
Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle passant par les trois sommets
du triangle.
Exemple : C est le cercle circonscrit au triangle ABC.
Méthode de construction du cercle circonscrit à un triangle
Pour construire le cercle circonscrit à un triangle,
1) On trace les médiatrice de deux côtés ;
2) On trace le cercle dont le centre est l’intersection de ces médiatrices, et
dont le rayon est la distance entre le centre et un des sommets du triangle.
4) Propriétés de la bissectrice
a. Bissectrice d’un angle
Définition (rappel)
La bissectrice d’un angle est la demi-droite issue du sommet de cet angle et
qui partage cet angle en deux angles de même amplitude.
Propriété d’équidistance
La bissectrice d’un angle est le lieu des points équidistants des côtés de cet
angle.
Autrement dit
1) Si un point appartient à la bissectrice d’un angle, alors il est équidistant des
extrémités de cet angle.
2) Si un point est équidistant des extrémités d’un angle, alors il appartient à la
bissectrice de cet angle.
1) Vhnoz
2)
b. Bissectrices d’un triangle
Propriété
Les bissectrices d’un triangle sont concourantes.
Preuve :
Soit O le point d’intersection des bissectrices de  et de B.
D’une part puisque O appartient à la bissectrice de Â, on a, d (O,AC) = d
(O,AB).
D’autre part, puisque O appartient à la bissectrice de B, on a d (O,AB) =
d(O,BC).
Dès lors, d (O,AC) = d (O,BC).
Par conséquent, O appartient à la bissectrice de C.
Propriété
Il existe un seul cercle tangent aux trois côtés d’u triangle.
- Son centre est l’intersection des bissectrices du triangle.
- Son rayon est la distance entre l’intersection de ces bissectrices et l’un des
côtés du triangle.
Définition
Le cercle inscrit à un triangle est le cercle tangent aux trois côtés de ce
triangle.
Méthode de construction du cercle inscrit à un triangle :
Pour construire le cercle inscrit à un triangle :
1) On trace les bissectrices de deux angles ;
2) de l’intersection de ces bissectrices, on abaisse la perpendiculaire à un des
côtés du triangle ;
3) on trace le cercle dont le centre est l’intersection des bissectrices, et dont
le rayon est la distance du centre à l’un des côtés du triangle.