Cours n°6 Lentilles minces convergentes et divergentes

Cours n°6 Lentilles minces convergentes et
divergentes
Les verres de lunettes sont des lentilles qui permettent de palier aux défauts de vision de nombre d’entre
nous. Les lentilles permettent aussi de construire en les associant des instruments d’optique, on verra celà
dans le cours n°7 suivant mais avant cela comprendre la marche des rayons lumineux dans les lentilles et
prédire le lieu ou se formeront les images est essentiel.
Les lentilles sont des éléments optiques dont l’action sur les rayons lumineux peut être alternativement
décrite par un schéma ou par une formule algébrique, il faut comprendre le lien entre ces deux modèles
équivalents ou représentations. On n’insistera pas sur les limitations du modèle de la lentille mince, mais on
décrira bien ce que l’on appelle une image ou un objet virtuel, concepts souvent délicats à maitriser pour les
étudiants.
Les formules de conjugaison conséquence des lois de Descartes démontrées dans ce cours, devraient être
données au concours, mais il est agréable de les savoir par cœur.
I) Objet image réel ou virtuel, points conjugués
Un objet ponctuel pour un système optique est à l’intersection des rayons incidents qui attaquent la face
d’entrée du système optique
Une image ponctuelle pour un système optique est à l’intersection des rayons émergents qui sortent de la face
de sortie du système optique
L’objet ou l’image est dite virtuelle si ce ne sont pas les rayons qui s’intersectent mais leur prolongements.
exemple d'image virtuelle : on a vu qu’un miroir plan donne d’un objet réel une
image virtuelle
exemple d’objet virtuel la seconde lentille A’B’ image de AB donnée par la première
constitue un objet virtuel
L2
L1
B
F’1
F’2
A’’
A’
A
B’’
B’
1
2
II) Systèmes centrés et approximation de Gauss
1) Systèmes centrés
Un système optique centré est un système optique dont les éléments constitutifs (dioptre, miroirs) ont un axe
de symétrie commun. Cet axe est appelé axe optique. Il est orienté dans le sens de propagation de la lumière.
Le centre du système optique sera noté O
Tout rayon qui passe par O n’est pas dévié.
Les plans perpendiculaires à l’axe optique sont appelés plans de front
2) Approximation de Gauss peu inclinés peu éloignés
Exemple du miroir sphérique
Un rayon incident sur un système centré est dit paraaxial quand les deux conditions suivantes sont réalisées
Le rayon est proche de l’axe optique
Le rayon est peu incliné par rapport à l’axe optique
Un système centré est utilisé dans les conditions de Gauss si tous les rayons incidents sont des rayons
paraaxiaux
Intuition par le dessin de la nécessité de se placer dans les conditions de Gauss pour qu’un miroir
concave possède un foyer bien défini
C
F
S
3
3) Propriétés d’un système centré ; stigmatisme approché, aplanétisme approché
Un système centré utilisé dans les conditions de Gauss donne de tout point objet une image ponctuelle
approchée
Un point B du plan de front passant par A a son image B’ dans le plan de front passant par A’
III) Foyers objets et image
On appelle foyer principal objet F le point dont l’image est située à l’infini dans la direction de l’axe optique. De
F les rayons issus donnent des émergents tous parallèles à l’axe optique
On appelle foyer image principal F’ l’image du point objet situé à l’infini dans la direction de l’axe optique. Les
rayons incidents parallèles à l’axe optique donnent des rayons émergents qui passent tous par F’
On a vu que tout rayon qui passe par O n’est pas dévié cela donne envie de faire de la droite qui le porte un
axe optique dit secondaire :
Les points du plan focal image sont des foyers images secondaires F’s . l’axe optique secondaire passe par F’S
et le centre O du système optique et on a la règle de construction tout rayon qui arrive // à l’axe optique
secondaire ressort par le foyer secondaire image
Fin du cours du mercredi 1er octobre
4
IV) Lentilles minces CV et DV
1) Lentilles CV
1
Foyer image
F
F’
2
Lentille Convergente v=+3
Un rayon qui passe par le centre n’est
pas dévié
2
Foyer objet
1
F
F’
3
Foyer secondaire
image
4
1
F
F’
2
2
Foyer secondaire
objet
4
3
1
F
F’
4
Détermination
du rayon incident
Par foyer secondaire objet
Connaissant l’émergeant
F
3
1
F’
2
5
3
4
Détermination du rayon
incident par foyer
F
F’
1
2
secondaire image
connaissant l’émergeant
Construction de l’image
d’un objet étendu : OR IR
F
F’
F
F’
F
F’
F
F’
Construction de l’image
d’un objet étendu : OR
IV
Observation au viseur
Source dépoli
Construction de l’image
d’un objet étendu
OV IR
Construction de
l’image d’un
objet étendu
OV IR encore
6
2) Lentille Divergente
Un rayon qui passe par le centre
n’est pas dévié
3
Foyer image
1
2
F
F’
1
Foyer objet
3
2
F
F’
5
Foyer secondaire image
4
F’
1
F
2
F’S
3
5
Foyer secondaire objet
FS
2
3
1
F
F’
4
7
Détermination du rayon incident par foyer secondaire objet connaissant l’émergeant
1
FS
4
3
F’
5
F
2
Détermination du rayon incident par foyer secondaire image connaisant l’émergeant
1
2
F’
5
4
F
F’S
3
8
Détermination de l’image d’un objet étendu lentille Divergente v=-3
OR IV
On place l’objet loin
F’
F
OR IV
On place l’objet près de F’
F
F’
OV IR
L’objet virtuel est réalisé avec une v=+8
F’
F
OV IV
Avec le viseur on vise la monture de la lentille
On ne voit qu’un tout petit bout du F
F’
F
9
3) Détermination de la formule de conjugaison avec origine au centre
H
O
F
I
K
F’
J
p’
-p
tan
= OH/ IO = F’K/ OF’
soit OH/-p = = F’K /f’ soit f’/-p = F’K / OH
tan
= F’K/F’J= OH/ OJ
soit F’K/( p’-f’)= OH/ p’
on en déduit :
f’/-p = 1 - f’/p’
qui se simplifie en :
1/p’ - 1/p = 1/f’
soit F’K/OH=( p’-f’)/p’
4) Détermination de la formule de grandissement
H
B
A’
A
F
O
F’
K
-p
tan
= AB/-p = B’A’/p’
B’
p’
= A’B’/AB = p’/p
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5) Détermination de la formule de conjugaison avec origine aux foyers
formules de conjugaison pour les lentilles minces sphériques
f=OF f '
OF '
unité : dioptrie
f'
m
formule de Newton
1
f
lentille convergente f'>0
lentille divergente f'<0
vergence v=
symbole
FA.F'A'=OF.OF'=ff'=-f'²
formule de Descartes avec origine au centre de la lentille
1
OA'
1
OA
1
1
soit
p'
OF '
1
p
1
f'
A ' B ' FO F ' A '
f
F ' A ' OA ' p '
f'
p
AB
FA F ' O
FA
OA
Pour démontrer ces formules à partir des schémas on aura intérêt à choisir des rayons qui
construisent des triangles dont les bases sont les quantités qui nous intéressent
grandissement
Doublet accolé ; la vergence équivalente est la somme des vergences. Le démontrer.
6) Méthode de Bessel très important !
Pour une distance D suffisante entre objet source et écran il existe deux positions de la lentille qui forment
l’image de l’objet sur l’écran, c’est à dire qui conjuguent les positions de la source et de l’écran.
Démontrons le :
On doit avoir :
D = -p + p’
1
p'
1
p
1
f'
soit
p²+pD+Df’= 0
Le discriminant de cette équation =D²-4Df’ n’est positif que si f’<D/4 ce qui est la condition
annoncée pour qu’il existe des solutions ; alors ces solutions correspondent à
p
soit
D
p1
D ² 4 Df '
2
D
D ² 4 Df '
et -p2
2
D
D ² 4 Df '
2
soient deux solutions symétriques autour du point milieu entre la source et l’écran
-p1
√ (D²-4Df’)/2
11
D/2
D/2
1
f'
-p2
√ (D²-4Df’)/2
D/2
D/2
Entre les deux positions de la lentille qui forment l’image on a une distance a que l’on mesure . Le calcul
precedent montre que a= √ (D²-4Df’)
Soit que f' =
D²-a²
ce qui fournit une méthode expérimentale pour mesurer f’
4D
Il faut donc que D 4f’
Remarque une des positions correspond à une image agrandie l’autre à une image rapetissée
7) aberrations géométriques et chromatiques
si la vergence est supérieure à 100 les rayon sont trop inclinés par rapport à l’axe optique et on sort
de l’approximation de Gauss on a des aberrations
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Coma : pour une étoile loin de l’axe optique
Cette aberration limite le champ
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