SC à l`Equilbre et hors Equilibre

1
CHAPITRE 1A
Rappels:
Semi-conducteur à l’équilibre
2
Semi-conducteurs à l’équilibre
• Dopage des semi-conducteurs
• Semi-conducteur intrinsèque
• Le dopage n et p
• Calcul de la densité de porteurs extrinsèques
3
Semi-conducteurs
• Structure en bandes
d’énergie:
• Bande de valence: c’est la
dernière bande remplie à
T=0K
• Bande de conduction: c’est
la bande immédiatement au
dessus et vide à T=0K
4
Notion de trous (+e !)
• La notion de bandes
permet d’introduire le
porteur de charge positif
: un trou
 Aux températures
différentes de 0 K,
électrons « montent » dans
BC, laissent des « trous »
dans la BV
5
Conduction bipolaire
• La présence d’électrons et trous entraîne une conduction bipolaire dans les SC

On peut privilégier une conduction par le dopage du semi‐conducteur, ie
l’introduction d’impuretés
E externe
6
Électrons dans une structure Diamant (ex: Si)
7
Électrons dans une structure Diamant (ex: Si)
8
Densité de porteurs dans les bandes
• Fonction de Fermi:
f (E) 
1 e
• Densité d’états:
1
( E  E F ) / kT
1  2mc* 
 2 
NC (E) 
2 
2   
3/ 2
( E  EC )1/ 2
Eg
3/ 2
1  2mv* 
1/ 2


Nv (E) 
(
E

E
)
V
2 2   2 
• Densité de porteurs:

n
N
C
( E ). f n ( E ).dE
EC
p
EV
 N ( E ). f
v

p
( E ).dE
9
Densité de porteurs dans les bandes
• Approximation de Boltzmann:
• Si le niveau de Fermi est à plus de « 3kT » du minimum de la
bande de conduction ou du maximum de la bande de valence, on
peut simplifier la fonction de distribution:

(
E

E
)
/
kT
F
fn ( E )  e
f p (E)  e
( EF  E ) / kT
10
Densité de porteurs dans les bandes
• Dans ces conditions (Boltzmann), la densité de
porteurs libres s’écrit:
• Dans la bande de conduction (électrons):
 2m kT 
EC  EF

N C  2
avec(trous):
n  N•C Dans
exp(la bande de)valence
kT
 h

*
C
2
EF  Ev avec
p  N v exp(
)
kT
 2m kT 

N v  2
 h 
*
v
2
3/ 2
3/ 2
11
Loi d’action de masse np=ni2
• Dans un semi-conducteur intrinsèque, la densité de
trous est égale à la densité d’électrons:
3
Eg
 kT 
* * 3/ 2
2
np  4
(
m
m
)
exp(

)

n

e h
i
2
kT


2


• En faisant n=p, on obtient le niveau de Fermi
intrinsèque:
EC  EV kT
NC
Ei  EFi 

ln( )
NV
2
2
12
Semi-conducteur intrinsèque
• Variation exponentielle
de la densité de
porteurs
• Si ni>1015cm-3, le
matériau inadapté pour
des dispositifs
électroniques.

Remarque:
 Le produit np est
indépendant du
niveau de Fermi
Expression valable même
si semi-conducteur dopé
SC à grands « gap »
Type SiC, GaN, Diamant
Introduction du dopage
13
Dopage: introduction de niveau énergétique
dans le gap
Dopage type n
Dopage type p
14
Dopage d’un SC: type n
15
Dopage d’un SC: type p
16
Variation de la conduction d’un semi-conducteur dopé en fonction
de la température
Tous les « donneurs
sont ionisés
3 régimes:
•Extrinsèque
•Épuisement des donneurs
•Intrinsèque
17
Calcul de la position du niveau énergétique
Ed ou Ea
• Le problème « ressemble »
au modèle de l’atome
d’hydrogène
m0e 4
13.6
En 
 2 eV
2 2
n
2(4 0 ) 
• Introduction du Rydberg
« modifié » :
 m   0 
Ed  EC  13.6  
 m0   
*
2
Exemple de dopants et leurs énergies
18
Densité de porteurs extrinsèques:
• nb d’électrons différents du nb de trous
n  p  n  0
• Mais loi d’action de masse toujours valable, avec n.p=cte
(sauf si dopage trop élevé).
n. p  ni2  cste
• Pour déterminer ces concentrations (n et p), on écrit la
neutralité électrique du système.
n  N A  p  ND
n 2  ( N D  N A )n  ni2  0
19
Densité de porteurs extrinsèques:
• Semi-conducteurs type n (ND>NA):


1
1
2
2 2
n  N D  N A  ( N D  N A )  4ni

2 
1
1
2
2 2
p   N D  N A  ( N D  N A )  4ni

2 


• Dans la pratique (ND, NA, et ND – NA >> )ni si bien que:
n  ND  N A
p  ni2 /( N D  N A )
20
Niveau de Fermi dans un SC dopé
• Si le SC n’est pas dégénéré, l’approximation de
Boltzmann reste valable:
• Type n et p respectivement
n  N D  N A  N C exp(
p  N A  N D  NV exp(
EC  EFn
kT
EFp  EV
kT
)
)
• Soit un niveau de Fermi type n et type p donné par:
EFn  EC  kT ln( N C /( N D  N A ))
EFp  EV  kT ln( NV /( N A  N D ))
21
Différence Ef - Efi
• Au lieu d’exprimer Ef en fonction de Nc et Nv, on peut
écrire:
 Nd 

E f  Ei  kT ln
 ni 
 Na 
Ei  E f  kT ln 
 ni 
type n
eFi
type p
22
Différence Ef - Efi
• On peut alors exprimer les densité d’électrons et de trous
à l’équilibre par:
n  ni e
( E F  E Fi ) / kT
p  ni e
avec:
 ni e
 ( E F  E Fi ) / kT
e Fi / kT
 ni e
 e Fi / kT
e Fi  EF  EFi  0
type n
e Fi  EF  EFi  0
type p
Équations de
Boltzmann
23
Semi-conducteurs dégénérés:
approximation de Joyce –Dixon
• Dans ce cas , l’approximation de Boltzmann n’est
plus valable pour le calcul:
• soit de n et p
• soit de la position du niveau de Fermi:
on utilise alors l’approximation de Joyce-Dixon:
 n
 p
1 n 
1 p 
EF  EC  kT ln


  EV  kT ln

N
N
N
N
8 C
8 V
C
V


24
Peuplement des niveaux d’impuretés : gel des porteurs
• En fonction de la température, le niveau d’impureté
est plus ou moins peuplé. Supposons un SC « avec »
ND donneurs et NA accepteurs (ND>NA)
• À T=0K
• BV =>pleine
• EA => NA électrons
•ED => ND-NA électrons
•BC => vide
25
Peuplement des niveaux d’impuretés : gel des porteurs
• À température non nulle: les électrons sont redistribués
mais leur nombre reste constant !!!. L’équation de
neutralité électrique permet de connaître leur répartition:
(n  ni )  nd  N D
( p  ni )  pa  N A
n, p
nd (pa)
n  nd  N D  N A  p  pa
: électrons (trous) libres dans BC (BV)
: électrons (trous) liés aux donneurs (accepteurs)
26
Fonction de distribution des atomes d’impuretés –
Principe d’exclusion de Pauli
Comparaison de l’image « chimique » et de la description en
« bande d’énergie » de l’atome donneur ou accepteur:
« liaison chimique »
Atome donneur  atome Si +
noyau chargé positivement.
Mécanique quantique
(électrons indépendants)
Interaction Coulombienne
+ écrantage du noyau: Ed
diminue
« Bande d’énergie »
Cristal parfait + puits de potentiel
attractif sur un site du réseau
Niveau énergétique Ed dans
le gap sous Ec doublement
dégénéré (spin up et down)
Le deuxième électron
« s’échappe » : occupation
du niveau par un seul électron
27
Probabilité d’occupation du niveau
d’impureté
• Proba d’occupation et nb d’électrons sur Ed:
N
d
Ed  E f
1
nd 
f n  (1  exp
)
Ed  E f
1
1  exp
2
kT
2
• Proba de non occupation et nb de trous
surkT
Ea :
E f  Ea
1
f p  (1  exp
)
4
kT
Na
pa 
E f  Ea
1
1  exp
4
kT
28
Niveau « donneur »:le facteur 1/2
• Atome de Phosphore (col V):
• États électroniques 3s² 3p3 : 2e s et 2e p participent aux
liaisons  1e sur le niveau ED (le 5° !)
• il (le 5° !) possède un spin particulier up ou down
• Une fois l’e parti (f(E)) la « case » vide peut
capturer un spin up ou down => le mécanisme (la
proba.) de capture est augmenté / à l’émission.
f D (E)  f (E)
29
Semi-conducteur fortement dopé
• Si dopage trop important, les impuretés se « voient »
(rayon de Bohr 100 angströms)
le niveau d’énergie associé s’élargit
• Un effet important est la diminution du « Gap » du SC et
donc ni augmente!!:
pour le Silicium
1/ 2
 N d 300 
 meV
Eg  22.5 18
 10 T ( K ) 
30
CHAPITRE 1B
Semi-conducteurs hors équilibre
31
Plan:
• Recombinaison et génération
• Courants dans les SC
• Équation de densité de courants
• Équations de continuité
• Longueur de Debye
• Équation de Poisson
• Temps de relaxation diélectrique
32
Phénomènes de Génération - Recombinaison
• Loi d’action de masse:
• À l’équilibre thermodynamique:
2
• Hors équilibre: apparition de phénomènes de Génération -i
Recombinaison
np  n
• création ou recombinaison de porteurs :
Unité [g]=[r]=s-1cm-3
• Taux net de recombinaison:
g ' r '  g  g th  r '  g  r
externe
avec
interne
r  r ' g th
33
Différents chemins de recombinaison
Génération depuis
état lié
Génération bande à bande
34
Recombinaison: 2 « chemins » possibles
• Recombinaison directe électron-trou
• Processus fonction du nombre d’électron et de trous
rp 
p
rn 
p
n
n
• Exemple: type n +excitation lumineuse en faible injection (
ie
)
n  p  n0
p  p0  p
n  n0  n  n0
• En régime de faible injection le nombre de porteurs
majoritaires n’est pas affecté.
35
Recombinaison: 2 « chemins » possibles
• Recombinaison par centres de recombinaison:
• En général ces centres se trouvent en milieu de bande interdite
• Le taux de recombinaison s’écrit:
np  ni2
r
 m 2ni  p  n
1
• Où
m
Équation de
Shockley-Read
est caractéristique du centre recombinant
• Si les 2 processus s’appliquent:
1


1
m

1
 n( p)
36
Recombinaison: 2 « chemins » possibles
• Si semi-conducteur peu dopé: on applique SR
• Si semi-conducteur dopé n:
rp 
p
p
• Si région « vide » de porteurs (ex: ZCE)
ni
0
r
2 m
Taux net de génération.
Création de porteurs
37
Type P
Excitation lumineuse
38
Recombinaison radiative ou non
39
Recombinaisons de surface
40
Courants dans les SC
• Courant de conduction: présence de champ électrique
• Si E=0, vitesse des électron=vitesse thermique (107 cm/s) mais =>
vitesse moyenne nulle car chocs (« scattering ») avec le réseau +
impuretés.
• Libre parcours moyen (« mean free path »):
o
l  vth.  100 A
  0.1 ps
41
Courants dans les SC
• Courant de conduction: présence de champ électrique
• Entre deux chocs, les électrons sont accélérés uniformément
suivant  E
• Accélération:
• Vitesse:
• Mobilité:
  qE / m
*
v  qE / m   µE
*
µ  q / m*
Si : 1500 cm2/Vs
GaAs: 8500 cm2/Vs
In0.53Ga0.47As:11000 cm2/Vs
42
Courants dans les SC
• La densité de courant de conduction s’écrit:
• Pour les électrons:
J c n  nev n  neµn E
• Pour les trous:
J c p   pev p  peµp E
• Pour l’ensemble:
J c total  J n  J p  (neµn  peµp ) E
43
Courants dans les SC
• Importance de la mobilité sur les composants
• Mobilité la plus élevée possible
• => vitesse plus grande pour un même E
• Facteurs limitants:
• Dopage
• Défauts (cristallins, structuraux, …)
• Température
• Champ électrique de saturation + géométrie
44
Courants dans les SC
• Vitesse de saturation des électrons
• La relation linéaire vitesse – champ valide uniquement
pour:
• Champ électrique pas trop élevé
• Porteurs en équilibre thermique avec le réseau
• Sinon:
• Au-delà d’un champ critique, saturation de la vitesse
• Apparition d’un autre phénomène: « velocity overshoot »
pour des semiconducteurs multivallée.
• Régime balistique:pour des dispositifs de dimensions
inférieures au libre parcours moyen (0.1µm)
45
Vitesse de saturation
• Différents
comportement en
fonction du SC
Survitesse
(« overshoot »)
46
Survitesse dans le cas de SC
multi vallées
47
Courants dans les SC
• Courant de diffusion:
• Origine: gradient de concentration
• Diffusion depuis la région de forte concentration vers la région de
moindre [].
• 1° loi de Fick:
dn
x
nD   Dn
dx
dp
x
pD   D p
dx
nb d’e- qui diffusent par unité de
temps et de volume (flux)
nb de h+ qui diffusent par unité de
temps et de volume (flux)
48
Courants dans les SC
• Courant de diffusion: somme des deux contributions
(électrons et trous):
J diff
dn
dp
 e(n  p )  eDn
 eDp
dx
dx
x
D
x
D
• Constante ou coefficient de diffusion
[Dn , p ]=cm2/s.
49
Courants dans les SC
• Courant total: somme des deux contributions (si elles existent)
de conduction et diffusion:
J T  J cond  J diff  J n  J p
dp
dn
J T  (neµn  peµp ) E  e( Dn
 Dp )
dx
dx
• D et µ expriment la faculté des porteurs à se déplacer. Il existe
une relation entre eux: relation d’Einstein:
D kT

µ
e
50
Équations de continuité – longueur de diffusion
• G et R altèrent la distribution des
porteurs donc du courant
dn( x, t )
 J n ( x  x) J n ( x) 
Ax
 A

RG

dt
e
e 

dn( x, t )
dJ n ( x) x
Ax
A
RG
dt
dx e

On obtient alors les équations de
continuité pour les électrons et les trous:
dn( x, t ) 1 dJ n

 rn  g n
dt
e dx
dp ( x, t )
1 dJ p

 rp  g p
dt
e dx
51
Équations de continuité – longueur de diffusion
• Exemple: cas où le courant est exclusivement du à
de la diffusion:
dn
d n n  n0
 Dn 2 
dt
dx
n
2
dn
J n (diff )  eDn
dx
dp
J p (diff )  eD p
dx
dp
d2 p p  p0
 Dp 2 
dx
dt
p
52
Équations de continuité – longueur de
diffusion
• En régime stationnaire, les
dérivées par rapport au temps
s’annulent:
d 2 (n  n0 ) n  n0
n  n0


2
D n n
dx
L2n
d 2 ( p  p0 ) p  p0 p  p0


2
D p p
dx
L2p
Ln  Dn n

Lp  Dp p

• Solutions:
n( x)  (n( x)  n0 )  n(0)e
 x / Ln

Longueur de diffusion: représente la
distance moyenne parcourue avant
que l’électron ne se recombine avec
un trou (qq microns voire qq mm)
Ln ou Lp >> aux dispos VLSI
R et G jouent un petit rôle sauf
dans qq cas précis (Taur et al)
53
Équation de Poisson
• Elle est dérivée de la première équation de Maxwell. Elle relie le
potentiel électrique et la densité de charge:
d 2V
dE
 ( x)


2
dx
dx
 sc
• Dans les SC, deux types de charges (fixes et mobiles):
d 2V
e






p
(
x
)

n
(
x
)

N
(
x
)

N
D
A ( x)
2
dx
 sc
Charge mobiles
Charges fixes
(électrons et trous)
(dopants ionisés)
54
Longueur de Debye
• Si on écrit l’équation de Poisson dans un type n en exprimant n en
fonction de
Fi :

d 2  Fi
e
e Fi / kT


N
(
x
)

n
e
d
i
dx 2
 sc

en remarquant que: V(x)=Fi cte
• Si Nd(x) => Nd+Nd(x)
, alors Fi est modifié de Fi
d 2 Fi e 2 N d
e

Fi  
N d ( x)
2
 sc kT
 sc
dx
55
Longueur de Debye
• Signification physique?
• Solution de l’équation différentielle du 2° degré:
x
Fi  A exp
LD
avec
LD 
 sc kT
e2 N D
• La « réponse » des bandes n’est pas abrupte mais « prend »
quelques LD ( si Nd=1016 cm-3, LD=0.04µm). Dans cette
région, présence d’un champ électrique (neutralité électrique
non réalisée)
56
Temps de relaxation diélectrique
• Comment évolue dans le temps la densité de
porteurs majoritaires ?
• Équation de continuité (R et G négligés):
n 1 J n

t e x
or
J n  E  E /  n et
E
 en /  sc
x
d’où
n
n

 n sc
t
   n sc
Solution:
n(t )  exp(t /  n sc )
Temps de relaxation diélectrique ( 10-12 s)