Terminales L Mathématiques Devoir N° 2 3/10/09 correction

Terminales L
Mathématiques
Devoir N° 2
correction
3/10/09
Algorithme et versement sur un compte
Partie A : Situation théorique
• On considère la suite (Vn) définie sur ℕ par :
𝑉! = 1000
𝑉!!! = 1,005×𝑉! + 30
•
On donne l’algorithme suivant en langage algobox :
1. Calculer V1 = 1005+30 = 1035 et V4 = 1141.
2. L’algorithme donné ci-dessus pour S = 1000 et N = 4 donne les valeurs suivantes
I
1
2
3
4
Si
1005
1010
1015
1020,1
La valeur affichée à la fin est S4 = 1020,1
Cet algorithme ne permet pas d’obtenir les termes de la suite (Vn) .
3. Il faut modifier la ligne 10 en « S PREND_LA_VALEUR S*1.005+30 » pour que
obtenir les termes de la suite (Un).
Partie B : Situation pratique
On place 1 000 € sur un compte qui rapporte 0,5 % par mois à intérêts composés.
Ainsi chaque mois, les intérêts s’ajoutent au capital.
Chaque mois on verse 30 € de plus et on ne peut rien retirer pendant 5 ans.
1. a. à la fin du premier mois, le capital acquis est 1000×1,005+30 = 1035 €.
b. le capital acquis à la fin du deuxième mois est : 1,005×1035+30 =1070,1
2. l’algorithme qui permet d’afficher en sortie le capital sur ce livret au bout d’une
année. Est celui de la partie A modifiée avec N = 12 et S =1000.
Des vélos en locations
Une société, spécialisée dans la location de vélos, a été créée en 2010 avec un parc de 150
vélos neufs.
Afin de conserver un parc de bonne qualité, il faut :
• Racheter en janvier de chaque année 40 vélos neufs.
• Revendre en janvier de chaque année 20 % des vélos usagés.
Formalisation du problème :
1. On note, pour tout entier naturel n, Un le nombre de vélos du parc en janvier de
l’année 2010+n, après l’achat et la revente des vélos.
On a donc U0 = 150. U1= U0 – 0,2U0 + 40 = 0,8U0 + 40 = 160 et U2 = 168.
2. Un+1 = Un – 0,2Un + 40 = 0,8Un + 40.
Interprétation graphique :
Les coordonnées du point I d’intersection de la droite (d) d’équation y = x et de la droite
(d’) d’équation y = 0,8x + 40. Sont solution du système
Calcul des coordonnées du point I : 𝑦=𝑥
𝑦=𝑥
𝑦=𝑥
𝑦=𝑥
𝑥 = 200
!" ⟺
⟺
⟺
⟺
. 𝑦 = 0,8𝑥 + 140
𝑥
=
𝑥 = 0,8𝑥 + 40
0,2𝑥 = 40
𝑦 = 200
!,!
La suite (Un) semble tendre vers 200 abscisse du point I
Étude théorique :
1. Soit (Vn) la suite définie par Vn = Un – 200
donc Vn+1 = Un+1 – 200
or 𝑈!!! = 0,8𝑈! + 40
donc 𝑉!!! = 0,8𝑈! + 40 − 200 = 0,8𝑈! − 160
or 𝑉! = 𝑈! − 200
donc 𝑈! = 𝑉! + 200
donc 𝑉!!! = 0,8 𝑉! + 200 − 160 = 0,8𝑉! + 160 − 160
donc 𝑉!!! = 0,8𝑉!
Cette suite est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme
V0 = U0 – 200 donc V0 = – 50
2. 𝑽𝒏 = −𝟓𝟎×𝟎, 𝟖𝒏 et 𝑼𝒏 = 𝟐𝟎𝟎 − 𝟓𝟎×𝟎, 𝟖𝒏
3. Le premier terme est négatif, la raison est inférieure à 1 donc la suite (Vn) est
croissante or 𝑈! = 𝑉! + 200 donc la suite (Un) est elle aussi croissante.
Limite de la suite (Vn)
lim 0,8 ! = 0 donc lim −50 0,8
!→!!
!→!!
!
= 0 donc lim 200 − 50 0,8
!→!!
!
= 200 la suite (Un) a pour limite 200, ce qui correspond à ce que nous avons conjecturé dans
la question 1.
.
4. La municipalité prévoit d’implanter de nouvelles bornes dans la ville afin d’offrir aux
usagers 200 vélos en location. La société ne peut atteindre cet objectif puisque la
limite de la suite est cet objectif.
Déjà vu
Écriture fractionnaire.
r = 0,123 123 123 … l’écriture décimale périodique d’un nombre rationnel et on cherche son
écriture fractionnaire.
1. r = 123×10-3 +123×10-6+123× 10-9+….
2. On pose U1 = 123×10-3, U2 = 123×10-6, …. Chaque terme est obtenu en multipliant
celui qui précède par 10-3, la suite (Un) est donc une suite géométrique, de raison. 10-3.
Un = U1× 10!! !!! = 123×10!! ×10!!!!! = 123×10!!!
3. Sn = U1+U2+…+Un est la somme de terme d’une suite géométrique donc :
𝑎 − 𝑏𝑞
𝑆! =
1−𝑞
a = U1 , b = Un et q = 10-3/
123×10!! − 123×10!!! ×10!!
1 − 10!!! 123
!!
𝑆! =
=
123×10
=
(1 − 10!!! )
1 − 10!!
0,999
999
4. Limite de (Sn) :
lim 10!!! = 0
!→!
lim 1 − 10!!! = 1
123
lim 𝑆! =
!→!
999
5. L’écriture fractionnaire de r :
123
41
r=
=
999 333
!→!