Nombres complexes - Forme trigonométrique

Nombres complexes :
Forme Trigonométrique
I) Module et argument d’un nombre complexe
1) Définitions
Soit le nombre complexe On note M le point d’affixe dans le repère
orthonormé
; , )
• On appelle module du nombre complexe
et on note | | la distance OM ; | | = 0M
• Si est non nul, on appelle argument du
nombre complexe , et on note arg( )
toute mesure de l’angle ,
arg( ) = ,
à 2 près.
Remarque : Le module d’un nombre complexe est une distance : c’est donc un nombre
réel positif.
Exemples
Exemple 1 :
• Placer le point M d’affixe
que arg ( ) =
| |
tel
à 2 près et
3
• Placer le point N d’affixe
que arg ( ) =
et | |
tel
à 2 près.
2
• Placer le point P d’affixe
que arg ( ) =
tel
à 2 près.
et | |
tel
• Placer le point Q d’affixe
que arg ( ) =  à 2 près.
et | | 3
Exemple 2 : Les cercles représentés ci-dessous ont pour centre O et pour rayons 1 ; 2
et 4. Donner le module et un argument des affixes des points A, B, C, D, E et F.
• Pour le point A:
A est sur le cercle de centre O et de rayon 2 alors | | 2
A est sur l’axe des abscisses donc arg ( ) = 0 à 2 près.
• Pour le point B:
B est sur le cercle de centre O et de rayon 4 alors | |
B est sur l’axe des ordonnées donc arg ( ) =
4
à 2 près.
• Pour le point C:
C est sur le cercle de centre O et de rayon 4 alors | |
4
C a son abscisse égale à son ordonnée, toutes les deux comprises entre 0 et
donc arg ( ) =
à 2 près.
• Pour le point D:
D est sur le cercle de centre O et de rayon 2 alors |
|
2
D a son abscisse égale à son ordonnée, son abscisse étant comprise
entre 0 et
alors : arg (
)=
à 2 près
et , son ordonnée
• Pour le point E:
E est sur le cercle de centre O et de rayon 1 alors | |
1
E est sur le cercle trigonométrique d’abscisse , on reconnait l’abscisse de l’angle
comme son ordonnée est comprise entre 0 et
2
,alors : arg ( ) =
3
,
à 2 près
• Pour le point F:
F est sur le cercle trigonométrique d’ordonnée
comme son abscisse est comprise entre 0 et
, on reconnait l’ordonnée de l’angle
alors : arg ( ) =
à 2 près
II) Forme trigonométrique d’un nombre complexe
Soit un nombre complexe non nul dont le module est r et un argument est 
On note :
 M le point image de
 N l’intersection de la demi droite [OM) avec le cercle trigonométrique
On a donc :
Les coordonnées de N étant ( cos() ; sin() ) celles de M sont ( rcos() ; rsin() )
D’où on peut écrire z = rcos()+ i rsin()
Voir figure ci-dessous :
,
1) Théorème
Soit
le nombre complexe de module
et d’argument 
On peut écrire :
   
Dans ce cas on note z = [ ;  ] cette écriture est appelée forme
trigonométrique du nombre complexe z
Exemples : Dans l’exemple 2 du paragraphe précédent, nous avions trouvé :
• Pour le point A : | |
2 et arg ( ) = 0 à 2 près.
Dans ce cas on peut écrire :
= 2 ( cos 0 + i sin 0) = [2 ; 0]
4 et arg ( ) =
• Pour le point B: | |
Dans ce cas on peut écrire :
= 4 ( cos
4 et arg ( ) =
• Pour le point C: | |
Dans ce cas on peut écrire :
= 4 ( cos
à 2 près.
+ i sin
) = [4 ;
]
à 2 près.
+ i sin
) = [4 ;
]
etc …
III) Passage d’une forme à l’autre
Le module de
est la distance OM qui est égale à
Donc | | =
formes.
. Cette égalité permet de d’obtenir des formules entre les deux
1) Théorème
Soit un nombre complexe non nul de forme algébrique
forme trigonométrique z = [ r ;  ]
• Passage de la forme trigonométrique à la forme algébrique :
• Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique :
|
|=
et
et de
Exemples :
= 4 – 4i
1) Soit le nombre complexe de forme algébrique
Sa forme trigonométrique est donc [
=
4
4
√
√32
=
√
4√2
√
=
;  ] avec
et
√
=
√
√
=
On reconnait, à partir des valeurs des angles remarquables , le cosinus et le
sinus de l’angle
à 2 près :
= 4√2 et pour argument
a donc pour module
à 2 près
Donc :
= [ √ ;
2) Soit
le nombre complexe de forme trigonométrique [3 ;
]
Sa forme algébrique est donc
Soit
√
=3(
= 3 (cos (
) + i sin (
]
))
)
3) Soit le nombre complexe de forme algébrique
2
2
Sa forme trigonométrique est donc [ r ;  ] avec
= √2
2
√
√8
=
√
2√2
√
=
et
√
=
√
=
√
On reconnait, à partir des valeurs des angles remarquables, le cosinus et le sinus
de l’angle
à 2 près :
a donc pour module
= 2√2 et pour argument
à 2 près
= [ √ ;
Donc :
]
4) Soit le nombre complexe de forme algébrique
1
√3
Sa forme trigonométrique est donc [ r ;  ] avec
r=
1
√3
√4
2
et
√
On reconnait, à partir des valeurs remarquables des angles, le cosinus et le
sinus de l’angle
à 2 près :
a donc pour module r = 2 et pour argument  =
Donc:
=[ ;
]
à 2 près
4
5) Soit le nombre complexe de forme algébrique
Sa forme trigonométrique est donc [ r ;  ] avec
r=
4²
4
1
0 et
On reconnait, à partir des valeurs remarquables des angles, le cosinus et le
sinus de l’angle
à 2 près :
]
=[ ;
2 près donc :
a donc a pour module r = 4 et pour argument  =
3
6) Soit le nombre complexe de forme algébrique
Sa forme trigonométrique est donc [ r ;  ] avec
r=
3 ²
3
0
1 et
On reconnait, à partir des valeurs remarquables des angles, le cosinus et le
a donc a pour module r = 3 et pour argument  =  à
sinus de l’angle  à 2 près :
= [ ; ]
2 près donc :
IV) Utilisation du module et de l’argument en géométrie
Soit et deux points d’affixes respectives
et
nombre complexe
. Soit
le point d’affixe
.
Le vecteur
a pour affixe le
c’est à dire le point M tel que
Le quadrilatère OMBA étant un parallélogramme on en déduit que


OM = AB = |
,
,
|
arg ) à 2 près
à
1) Théorème
Si
et
deux points d’affixes respectives

alors
|
|

et
à 2 près
,
Exemples
Exemple 1 :
Si A a pour affixe
= |
et 2
3 et B a pour affixe
| = |2 |= √2
,
5 alors on a
2
= arg 2 arg 2
à 2 près
Exemple 2 :
Soit A le point d’affixe (2 + i) ; B le point d’affixe (2 + 4i) et C le point d’affixe (5 + i)
Quelle est la nature exacte du triangle ABC ?
•
AB = |
|=| 2
BC = |
|=| 5
2
AC = |
|=| 5
2
4
| = |3 | = 3
2
4 | = |3
3 | = √18
| = |3| = 3
On a donc AB = AC. Le triangle ABC est isocèle en A
•
Le côté le plus grand est [BC]
D’une part : BC² = √18 ² = 18
D’autre part AB² + AC² =9 +9 = 18
Donc BC² = AB² + AC²
D’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en A
Conclusion : Le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle en A