NOMBRES COMPLEXES

NOMBRES COMPLEXES
I) Forme algébrique
1°) Ensemble C
I des nombres complexes.
En 1545, le mathématicien italien Jérôme Cardan met au point des formules de résolution dans IR+ d'équations du type
3
3
q
q² p3
q
q² p3
+
–
+
–
–
2
4 27
2
4 27
3
l'équation x = 15 x + 4 admet 3 solutions réelles (voir courbe ou tableau de variation et th des valeurs intermédiaires),
où p ≠ 0 et q > 0 (formules déjà établies par Tartiglia) x =
x 3= p x + q
3
3
mais le calcul d'une des solutions donne
2 + – 121 + 2 – – 121 ce qui est impossible à calculer dans IR, mais
pourtant la solution existe.
Raphaël Bombelli invente alors des nombres , qu'il qualifie d'imaginaires, en particulier le nombre i tel que i ² = -1 et il
applique à ces nombres imaginaires les mêmes règles de calcul qu'aux nombres réels.
ainsi (2 + i) 3 = 2 3 + 3 x 2 ² i + 3 x 2 i ² + i 3 = 8 + 12 i + 6 (-1) + i ² i = 8 +12 i – 6 – i = 2 + 11 i. avec (11 i) ² = -121
(2 – i) 3 = 2 3 – 3 x 2 ² i + 3 x 2 i ² – i 3 = 8 – 12 i + 6 (-1) – i ² i = 8 – 12 i – 6 + i = 2 – 11 i.
le calcul de la solution positive de l'équation précédente devient x = 2 + 11 i + 2 – 11 i = 4.
Gauss continuera la construction des nombres complexes.
Th1 et déf 1 : Il existe un ensemble noté C,
I contenant IR, tel que :
C
I possède un élément noté i dont le carré i ² vaut –1.
tout élément de C
I s'écrit de manière unique a + b i avec a et b réels.
C
I est muni de deux opérations , l'addition et la multiplication qui suivent les mêmes règles de calcul que
dans IR.
les éléments de C
I sont appelés nombres complexes.
si z = a + b i, a est la partie réelle de z et est notée Re(z) et b est la partie imaginaire notée Im(z).
ex :
Re(1 + 3 i) = 1 et Im(1 + 3 i) = 3
Re( -2 i) = 0 et Im( -2 i) = -2
Corollaire : Deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont la même partie réelle et la même partie
imaginaire.
2°) Représentation graphique.

→

→
Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O ; u ; v ).
Déf 2 : A tout nombre complexe z = a + b i où a et b sont réels, on associe le point M(a ; b) appelé image de z.
A tout point M(a ; b), on associe le nombre complexe a + b i appelé affixe de M.
on écrit zM = a + b i.
M est l'image de z ⇔ z est l'affixe de M.
on nomme plan complexe le plan muni d'un repère orthonormé direct dans lequel on représente des nombres complexes.
un nombre complexe est dit réel si et seulement si sa partie imaginaire
est nulle, son point image est situé sur l'axe des abscisses.
un nombre complexe est dit imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle
est nulle, son point image est situé sur l'axe des ordonnées.
axe imaginaire
M ( a + i b)
b
J
v
ou
I
a
axe réel

→
Déf 3 : Soit w un vecteur de coordonnées (a ; b) ;.

→
Le nombre complexe z = a + b i est appelé affixe de w, on écrit zw .
→

Dans le plan, on ne peut pas ordonner les points, on ne pourra donc pas ordonner les nombres complexes.
3°) Opérations dans C.
I
a) Addition et multiplication.
Déf 4 : Soit les nombres complexes z = a + b i et z' = a' + b' i avec a, b, a', b' réels.
La somme de z et z' est le nombre complexe z + z' = ( a + a') + (b + b') i.
Le produit de z et z' est le nombre complexe z x z' = (a + b i ) x (a' + b' i ) = (aa' – bb') + (a b' + a'b) i.
Prop : ces opérations suivent dans C
I les mêmes règles de calcul que dans IR.
on remplacera i ² = -1, i 3 = i ² x i = – i.
Prop : Tout nombre complexe z = a + b i a un opposé z' = - a – b i .
(z + z' = 0 )
Déf 5 : La différence de deux nombres complexes z = a + b i et z' = a' + b' i est le nombre complexe
z – z' = z + (- z') = (a + b i) – (a' + b' i) = (a – a') + (b – b') i.
rem : les identités remarquables sont applicables.
un produit est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul.
S(z+z'
M'(z')
Prop : Soit z, z' deux nombres complexes et M, M' les points du plan complexe
d'affixes respectives z et z'.
Soit S un point du plan complexe.
→
→
→
Le point S a pour affixe z + z' si et seulement si OS = OM + OM'
M(z)
v
ou
Prop : Soit z, z' deux nombres complexes et M, M' les points du plan complexe
d'affixes respectives z et z'.
→
La différence z' – z est l'affixe du vecteur M M'
M'(z')
MM'(z'-z)
M(z)
v
ou
Prop : Soit z, z' deux nombres complexes et M, M' les points du plan complexe
d'affixes respectives z et z'.
z + z'
Le milieu I de [MM'] a pour affixe
.
2
b)Conjugué
Déf 6 : Soit z = a + b i avec a et b réels.
Le nombre complexe a – b i est appelé nombre complexe conjugué de z et est noté −
z.
–
ex
2+3i = 2–3 i
le conjugué de −
z est z
–
et 2 – 3 i = 2 + 3 i
on dit que z et −
z sont conjugués.
prop : Un nombre complexe z est réel si et seulement si z = −
z.
Il est imaginaire pur si et seulement si −
z = – z.
axe imaginaire
Prop : Pour tout nombre complexe z, les points d'affixes z et −
z sont
symétriques par rapport à l'axe des abscisses
M ( a + i b)
b
v
ou
Th 2 : Pour tout nombre complexe z = a + b i avec a et b réels,
z+−
z = 2 Re(z)
z–−
z = 2 i Im(z)
zx−
z = (a + b i) (a – b i) = a² – b² i ² = a ² + b².
-b
a
axe réel
M' ( a - i b)
Th 3 : Pour tous nombres complexes z et z',

z + z' = −
z + z−'

z – z' = −
z – z−'

z x z' = −
z x z−'
c) Inverse, quotient.
Th 4 : Si z est un nombre complexe non nul, il existe un unique complexe z' tel que z z' = 1. Ce nombre z' est appelé
1
inverse de z et est noté
.
z
1
1 x ( 2 – 5 i)
2–5i
2–5i 2
5
=
=
=
=
–
i.
2+5i
(2 + 5 i) (2 – 5 i)
2² – 25 i² 4 + 25 29 29
Déf 7 : Si z est un nombre complexe non nul, on définit le quotient
z'
z'
1
par = z' x .
z
z
z
Th 5 : Pour tous nombres complexes z et z' avec z ≠ 0,
1 1
=
z z
z'
z'
=
z
z
−
pour tout entier relatif n, si z ≠ 0, z n = (−
z) n
4°) Résolution dans CI d'une équation du second degré à coefficients réels.
Th 6 : Soit l'équation a z ² + b z + c = 0 où a, b, c sont trois réels avec a non nul, et ∆ = b ² – 4 ac le
discriminant de cette équation.
-b– ∆
-b+ ∆
si ∆ > 0, l'équation a deux solutions réelles z1 =
et z2 =
.
2a
2a
b
Si ∆ = 0, l'équation a une solution unique réelle z = - .
2a
- b – i -∆
- b + i -∆
si ∆ < 0, l'équation a deux solutions complexes conjuguées z1 =
et z2 =
.
2a
2a
exemple : soit l'équation z ² + z + 1 = 0.
a = 1, b = 1, c = 1.
∆ = b ² – 4 a c = 1 ² - 4 x 1 x 1 = - 3 < 0 donc 2 solutions complexes conjuguées
- b – i -∆ - 1 – i 3
1
3
1
3
1
3
1
3
=
=– – i
et
z2 = z−1 = – + i
S={– – i
;– +i
}
2a
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Remarque :
pour l'équation a z ² + b z = 0, on utilisera plutôt z ( a z + b) = 0.
c
pour l'équation a z ² + c = 0, on utilisera plutôt z ² = - .
a
z1 =
II) Forme trigonométrique.
1°) Module et argument.
Déf 8 : Soit z un nombre complexe et M son point image.
M(z)
z = OM
On appelle module de z et on note z  le nombre réel positif égal à la distance OM.
arg(z)
=
si z ≠ 0, on appelle argument de z →
et on note arg (z) tout nombre θ,
Θ
v

→
mesure en radians de l'angle ( u , O M).
ou
Ex :
2  = 2 et arg (2) = 0 (2 π)
π
2 i  = 2 et arg (2 i) = (2 π)
2
-3 = 3 et arg (-3) = π (2 π)
π
- 2 i  = 2 et arg (-2 i) = - (2 π).
2
Prop : Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont le même module et le même argument (2 π).
rem : si z ≠ 0, alors z et arg(z) sont les coordonnées polaires du point M image de z.
Prop : Deux nombres complexes sont conjugués si et seulement si ils ont le même module et des arguments
opposés (2 π).
Prop :
z est réel si et seulement si arg(z) = 0 (π)
z est imaginaire pur si et seulement si arg(z) =
π
(π)
2
arg(- z) = arg(z) + π
Th 7: Soit z = a + b i (a et b réels).
le module de z est r = a ² + b ²
si z est non nul, un argument de z est tel que a = r cos θ et b = r sin θ.

→
Prop : Soit w un vecteur d'affixe z, alors
w = z
Prop : Pour tout nombre complexe z, z ² = z −
z ou z = z −
z.
Prop : pour tous nombres complexes z et z' :
z  = 0 ⇔ z = 0.
z  = −
z  = -z  = -−
z
S(z+z')
M'(z')
Prop: inégalité triangulaire:
Pour tous nombres complexes z et z',  z + z'  ≤ z  +  z' 
M(z)
v
ou
2°)Forme trigonométrique.
Déf 9 : Pour tout nombre complexe non nul z, z = r ( cos θ + i sin θ ) avec r =z  et θ = arg(z) (2 π).
C'est la forme trigonométrique de z.
Réciproquement, si z = r ( cos θ + i sin θ ) avec r et θ réels et r > 0, alors z = r et arg(z) = θ (2 π)
OS ≤ OM + OM'
Th 8 : Pour tous nombres complexes z et z', z z'  = z  z' .
Si z et z' sont non nuls, alors arg (z z') = arg(z) + arg(z') (2 π).
Corollaire
Pour tous nombres complexes z et z' avec z non nul,
1
1
1
 =
et arg( ) = - arg(z) (2 π).
z
z 
z
z'
z '
z'
 =
si z' ≠ 0 , arg( ) = arg(z') – arg(z) (2 π).
z
z 
z
n
pour tout entier relatif n, z = z n et arg(z n) = n arg(z) (2 π).
3°) Notation exponentielle.
Déf 10 : Pour tout réel θ, on pose cos θ + i sin θ = e i θ.
e i θ est le complexe de module 1 et d'argument θ.
e i 0 = cos 0 + i sin 0 = 1 ;
e i π = cos π + i sin π = -1
π
π
i
-i
π
π
π
π
e 2 = cos + i sin = i
e 2 = cos ( - ) + i sin(- ) = - i
2
2
2
2
Déf 10 : Tout nombre complexe non nul z peut s'écrire sous forme exponentielle :
z = r e i θ avec r =z  et θ = arg(z) (2 π).
Réciproquement, si z = r e i θ avec r et θ réels et r > 0, alors z = r et arg(z) = θ (2 π)
ex :
Prop : pour tous réels θ et θ'
r e i θ r' e i θ' = r r' e i ( θ+ θ')
1
1 -i θ
r e iθ
r i ( θ- θ')
=
e
et
=
e
r'
r e iθ r
r' e i θ'
( r e i θ) n = r n e i n θ pour tout entier relatif n.
Prop : Si r e i θ est l'écriture exponentielle de z alors −
z = r e - i θ.
1
3
exercice : soit z = – + i
2
2
a) déterminer l'écriture exponentielle de j.
b) calculer j ², −j , j 3, 1 + j + j ².
III) Nombres complexes et géométrie.
1°) applications immédiates.

→

→
Prop : Si z est l'affixe de w, pour tout réel λ, λ z est l'affixe de λ w.

→

→

→

→
Si z et z' sont les affixes de w et w' alors z + z' est l'affixe de w +w'.
Th : Soit zA et zB les affixes des points A et B.
→
le vecteur AB a pour affixe zB – zA.
AB =  zB – zA 

→ →
pour A ≠ B (c'est-à-dire zA ≠ zB), ( u, AB) = arg(zB – zA )
(2 π).
Th : Soit zA, zB, zC, zD les affixes des points A ,B, C et D tels que zA ≠ zB et zC ≠ zD.
→ →
z –z
CD
z –z
 D C=
et arg( D C ) = ( AB, CD) (2 π).
zB – zA
AB
zB – zA
application :
pour démontrer que deux droites (AB) et (CD) sont parallèles, on peut démontrer que arg(
que
zD – zC
) = 0 ( π), c'est-à-dire
zB – zA
zD – zC
est un réel.
zB – zA
zD – zC
π
)=
( π), c'estzB – zA
2
pour démontrer que deux droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires, on peut démontrer que arg(
à-dire que
zD – zC
est imaginaire pur.
zB – zA
Prop : Soit A et B deux points du plan complexe, d'affixes respectives zA et zB et α et β deux réels que α + β ≠ 0.
α zA + β zB
Le barycentre G de (A , α) et (B , β) a pour affixe zG =
.
α+β
z +z +z
rem : le centre de gravité du triangle ABC a pour affixe zG = A B C .
3
M'(z')
2°) Ecriture complexe d'une transformation géométrique.
w(zw)
Prop : translation

→
Soit w un vecteur d'affixe zw
Soit M et M' deux points d'affixes z et z'.
M(z)

→
v
M' est l'image de M par la translation de vecteur w si et seulement si z' = z + zw.
ou
→

→


→
Déf : on dit que l'expression z' = z + zw. est l'écriture complexe de la translation de vecteur w.
→

Prop : homothétie
Soit Ω un point d'affixe ω et k un réel non nul.
Soit M et M' deux points d'affixes z et z'.
M' est l'image de M par l'homothétie de centre Ω et de rapport k
si et seulement si z' – ω = k ( z – ω).
Ω
M(z)
v
ou
M'(z')
Déf : on dit que l'expression z' – ω = k ( z – ω) est l'écriture complexe de l'homothétie de centre Ω et de rapport k
non nul.
rem :
si zA – zΩ = k ( zB – zΩ ) alors A, B, Ω sot alignés.
Prop : rotation
Soit Ω un point d'affixe ω et θ un réel non nul.
Soit M et M' deux points d'affixes z et z'.
M' est l'image de M par la rotation de centre Ω et d'angle θ
si et seulement si z' – ω = e i θ( z – ω).
Déf : on dit que l'expression z' – ω = e i θ( z – ω)
M'(z')
θ
M(z)
v Ω(ω)
ou
est l'écriture complexe de la rotation de centre Ω et d'angle θ.
Ex : Soit la transformation géométrique d'écriture z' = i z.
i=e
i
π
2
donc z' = e
i
π
2
π
z donc la transformation géométrique est la rotation de centre 0 et d'angle .
2
exercice : Soit les points A et B tels que zA = 2 + i et zB = 3 – i.
Déterminer le point C tel que ABC soit un triangle équilatéral direct.
π
ABC est équilatéral direct si et seulement si C est l'image de B par la rotation de centre A et d'angle .
3
donc zC – zA = (zB – zA) e
i
π
3
1
3
zC – (2 + i) = [3 – i – (2 + i ) ] ( + i
)
2
2
1
3
1
3
zC – 2 – i = [1 – 2 i ] ( + i
)= +i
–i–i² 3
2
2
2
2
1
3
5
3
zC = + i
–i+ 3+2+i = + 3+i
2
2
2
2
5
3
donc C ( + 3 ;
)
2
2

→

→
Exercice : Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal (O ; u ; v ).
π
π
Soit f la rotation de centre O et d'angle , et g la rotation de centre le point I d'affixe 1 et d'angle .
2
3
1°) Déterminer l'écriture complexe de f et de g.
2°)
a) En déduire l'écriture complexe de f ° g.
b)Démontrer que f ° g admet un unique point invariant J.
c) Démontrer que f ° g est une rotation de centre J dont on déterminera l'angle.
Exercice : ROC
on rappelle:
pour tout réel θ, e i θ = cos θ + i sin θ.
pour tout réel θ et tout entier naturel n, (e i θ) n = e i n θ
1
eiθ
pour tous réels θ et θ ' , i θ = e - i θ, e i θ . e i θ ' = e i ( θ + θ ') , i θ ' = e i ( θ – θ ')
e
e
e i θ+ e -i θ
e i θ–e
1°)
a)Démontrer que : pour tout réel θ, cos θ =
et sin θ =
2
2i
θ
i
θ
b)En déduire que 1 – e i θ = ( – 2 i sin ) e 2
2
2°) Soit x un réel , x ≠ 0 (2 π).
Pour tout entier naturel n non nul, on pose : Sn = 1 + e i x + …… + e i n x
1 – e i ( n + 1) x
a) Démontrer que pour tout entier naturel n, Sn =
.
1 – eix
b) En déduire, en utilisant le résultat de la question 1b que:
n+1
sin (
x)
x
2
in
c) pour tout entier naturel n non nul, Sn =
e 2
x
sin
2
-i θ