Le parallélogramme

Chapitre VII : Les quadrilatères
I-
Les quadrilatères.
Définition :
Un quadrilatère est une forme géométrique plane, qui a quatre côtés.
Exemples : Les figures ci-dessous sont des quadrilatères.
Figure 1
Figure 2
Figure 3
Figure 5
II-
Le trapèze :
Définition :
Un trapèze est un quadrilatère, qui a deux côtés parallèles.
Exemples : Les figures (2) et (5) sont des trapèzes.
III-
Le parallélogramme :
Définition :
Un parallélogramme est un quadrilatère, dont les côtés opposés sont parallèles deux à
deux.
Exemples : La figure (5) est un parallélogramme.
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Remarque :
Un parallélogramme est un trapèze, mais un trapèze n’est pas forcément un parallélogramme.
1- Ensemble des quadrilatères :
Les quadrilatères
Les parallélogrammes
Les rectangles, les losanges et les carrés sont des parallélogrammes.
2- Propriétés d’un parallélogramme.
Dans un parallélogramme les côtés opposés ont la même longueur.
A
D
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B
C
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P1
Hypothèse : ABCD est un parallélogramme.
Conclusion : AB=DC et AD=BC.
Dans un quadrilatère, si les côtés opposés sont égaux deux à deux, alors ce quadrilatère est
un parallélogramme.
R1
Hypothèse : AB=DC et AD=BC.
Conclusion : ABCD est un parallélogramme.
Dans un parallélogramme les angles opposés sont égaux deux à deux.
A
D
P2
B
C
Hypothèse : ABCD est un parallélogramme.
Conclusion : Aˆ  Cˆ et Bˆ  Dˆ .
Dans un quadrilatère, si les angles opposés sont égaux deux à deux, ce quadrilatère est un
parallélogramme.
R2
Hypothèse : Aˆ  Cˆ et Bˆ  Dˆ
Conclusion : ABCD est un parallélogramme.
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Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles deux à deux et de même
longueur.
P3
Hypothèse : ABCD est un parallélogramme.
Conclusion : (AB) // (DC) et AB = DC.
Dans un quadrilatère, si deux côtés sont parallèles et de même longueur, alors ce
quadrilatère est un parallélogramme.
R3
Hypothèse : (AB)//(DC) et AB = DC .
Conclusion : ABCD est un parallélogramme.
Dans un parallélogramme les diagonales se coupent en leur milieu.
A
B
O
D
P4
C
Hypothèse : ABCD est un parallélogramme.
Conclusion : [AC] et [BD] ont le même milieu O
Dans un quadrilatère, si les diagonales se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère
est un parallélogramme.
R4
Hypothèse : [AC] et [BD] ont le même milieu O.
Conclusion : ABCD est un parallélogramme.
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3- Parallélogrammes particuliers.
A- Rectangle :
Définition :
Un rectangle est un parallélogramme qui a un angle droit.
Propriété :
Dans un rectangle les diagonales ont la même longueur.
Réciproque :
Si dans un parallélogramme les diagonales ont la même longueur, alors ce
parallélogramme est un rectangle.
B- Losange :
Définition :
Un losange est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même
longueur.
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Conséquence :
Un losange est un parallélogramme qui a quatre côtés de même longueur.
Propriété :
Dans un losange les diagonales sont perpendiculaires en leur milieu.
Réciproque :
Si dans un parallélogramme les diagonales se coupent perpendiculairement en
leur milieu, alors ce parallélogramme est un losange.
C- Carré :
Définition :
Un carré est un parallélogramme dont les angles sont droits et les côtés sont
égaux.
Propriété :
Un carré est à la fois un rectangle et un losange.
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Conséquences :
 Comme dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en
leur milieu.
 Comme dans un rectangle, les diagonales ont la même longueur.
 Comme dans un losange, les diagonales sont perpendiculaires.
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