Ch 8 Parallélogrammes I/ Parallélogramme quelconque

Ch 8 Parallélogrammes
I/ Parallélogramme quelconque
1) Définition
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés sont parallèles deux à deux.
Ex : 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un parallélogramme car (𝐴𝐵)//(𝐶𝐷) et (𝐴𝐷)//(𝐵𝐶).
Rq :
-
S’il n’y a que deux côtés parallèles, il s’agit d’un trapèze. Un parallélogramme est donc un
trapèze particulier.
Pour nommer un parallélogramme, il faut faire attention à l’ordre des points : il faut les noter
suivant un sens giratoire.
2) Premières propriétés
-
Tout parallélogramme possède un centre de symétrie : le point d’intersection de ses diagonales.
Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu, et réciproquement.
Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont de même longueur, et réciproquement.
Dans un parallélogramme, les angles sont de même mesure deux à deux, et réciproquement.
𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 et 𝐵𝐶 = 𝐴𝐷
𝑂 est le milieude [𝐴𝐶] et de [𝐵𝐷]
̂ = 𝐴𝐷𝐶
̂ et 𝐵𝐴𝐷
̂ = 𝐵𝐶𝐷
̂
𝐴𝐵𝐶
Rq : Si un quadrilatère non croisé possède deux côtés parallèles et de même longueur, alors c’est un
parallélogramme.
3) Construction
Ces différentes propriétés permettent la construction de parallélogrammes à partir d’un triangle par
différentes méthodes :
- en utilisant les côtés parallèles.
-
en utilisant les côtés de même longueur.
-
en utilisant le milieu des diagonales
II/ Parallélogrammes particuliers
1) Rectangle
Propriétés :
- Si un quadrilatère possède trois angles droits, alors c’est un rectangle.
- Si un parallélogramme possède un angle droit, alors c’est un rectangle.
- Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c’est un rectangle.
𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶 = 𝑂𝐷
(𝐴𝐷) ⊥ (𝐵𝐶) et (𝐴𝐵) ⊥ (𝐴𝐷)
(𝐴𝐵)//(𝐶𝐷) et (𝐴𝐷)//(𝐵𝐶)
𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 et 𝐵𝐶 = 𝐴𝐷
2) Losange
Définition : Un losange est un quadrilatère dont tous les côtés ont la même longueur.
Propriétés :
- Si un parallélogramme possède deux côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un
losange.
- Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c’est un losange.
𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 𝐷𝐴
𝑂 est le milieude [𝐴𝐶] et de [𝐵𝐷]
(𝐴𝐶) ⊥ (𝐵𝐷)
3) Carré
Propriétés :
- Si un parallélogramme a deux côtés perpendiculaires et de même longueur, alors c’est un carré.
- Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires et de même longueur, alors c’est un
carré.
- Si un rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un carré.
- Si un rectangle a ses diagonales perpendiculaires, alors c’est un carré.
- Si un losange a deux côtés perpendiculaires, alors c’est un carré.
- Si un losange a ses diagonales de même longueur, alors c’est un carré.
𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 𝐷𝐴
(𝐴𝐷) ⊥ (𝐵𝐶) et (𝐴𝐵) ⊥ (𝐴𝐷)
(𝐴𝐵)//(𝐶𝐷) et (𝐴𝐷)//(𝐵𝐶)
(𝐴𝐶) ⊥ (𝐵𝐷)
𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶 = 𝑂𝐷
III/ Schéma récapitulatif
Quadrilatère
− diagonales
− côtés
Parallèles deux à deux
De même longueur deux à
deux
Se coupent en leur milieu
Parallélogramme
De même longueur
Perpendiculaires
De même longueur
Perpendiculaires
Losange
Rectangle
Perpendiculaires
Perpendiculaires
De même longueur
De même longueur
Carré