Recherche d`un noyau dans un graphe aléatoire

Introduction
Algorithmes
Graphes denses
Graphes éparses
Recherche d’un noyau dans un graphe
aléatoire
Marco Illengo et Jean-Marie Le Bars
LMNO et GREYC, université de Caen
Journées Alea 2012
Marco Illengo et Jen-Marie Le Bars ()
Recherche d’un noyau dans un graphe aléatoire
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Introduction
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Plan de l’exposé
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Définition de la propriété de noyau
Graphe orienté Dn = hVn , Ai, Vn = {1, . . . , n}, A ensemble d’arcs
Un noyau est un sous-ensemble U de Vn vérifiant les deux
propriétés suivantes :
• U est un stable : pas d’arc entre deux sommets de U.
• K est dominant : pour tout sommet en dehors de U, il existe un
arc vers un sommet du U.
U
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V\U
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Définition de la propriété de noyau
R OUGE sommets du noyau
V ERT sommets à l’extérieur du noyau
Contraintes locales
• tous les voisins d’un sommet rouge sont verts
• un sommet vert à au moins un sommet sortant rouge (témoin)
Recherche d’un noyau : coloriage des sommets en rouge et vert
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Jeux combinatoires et graphes
Jeux à deux joueurs
Jeux finis à deux joueurs sans information cachée avec toujours un
vainqueur.
Un des deux joueurs possède une stratégie gagnante
Graphe orienté
Sommets : configurations du jeu
Arcs : déplacements
Noyau = Ensemble des positions gagnantes
Celui qui possède une stratégie gagnante se déplace toujours vers un
sommet du noyau.
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Recherche d’un noyau dans un graphe
Problème de décision N OYAU
Dn vérifie N OYAU lorsqu’il possède au moins un noyau.
N OYAU est un problème NP-complet.
Notre objectif
Générer aléatoirement des instances difficiles.
Application en cryptographie
Cacher un noyau dans un graphe aléatoire.
(en collaboration avec Eleonora Guerini et Fabien Laguillaumie)
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Utilisation des séries génératrices
On peut utiliser les séries génératrices lorsque le graphe est un
arbre ou proche d’un arbre
Sur les arbres
• arbres planaires généraux
• arbres binaires
• arbres enracinés étiquetés
(voir l’article de Cyril Banderier, Markus Kuba, Alois Panholze, 2009)
Graphe avec un seul circuit
(Cyril Banderier, LB, Vlady Ravelomanana, 2004)
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Graphes aléatoires
Modèle D(n, p)
chaque paire de sommets est un arc avec probabilité p.
Complexité moyenne de l’algorithme A
100 sommets et 100 itérations
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0,014
0,014
0,012
0,012
0,01
0,01
0,008
0,008
0,006
0,006
0,004
0,004
0,002
0,002
0
0
0
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0,2
0,4
0,6
0,8
1
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Algorithme naïf B
Taille des noyaux
On suppose que l’on connaît les tailles possibles : ensemble I.
Recherche exhaustive
On effectue la recherche exhaustive sur tous les sous-ensembles de
Vn de taille r ∈ I.
Borne supérieure de la complexité
X n
n ln n.
r
r ∈I
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Algorithme A – Étape 1
Algorithme pour trouver l’unique noyau d’un graphe sans circuit
Coloriage à trois couleurs
• BLANC : sommets non traités
• ROUGE sommets dans le noyau
• VERT sommets à l’extérieur du noyau
Algorithme A1
Tant que B LANC est non vide et qu’il reste un puits
colorier les puits en rouge
colorier les voisins des puits en vert
supprimer du graphe les sommets coloriés
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Algorithme A – Étape 1
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Algorithme A – Étape 1
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Algorithme A – Étape 1
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Algorithme A – Étape 1
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Algorithme A – Étape 2
Backtracking simple, coloriage à quatre couleurs
• BLANC sommets non traités
• ROUGE sommets dans le noyau
• BLEU sommets à l’extérieur du noyau sans témoin
• VERT sommets à l’extérieur du noyau avec témoin
Algorithme A2
Tant que B LANC est non vide
prendre a ∈ B LANC
énumérer les noyaux contenant a
énumérer les noyaux ne contenant pas a
Nous obtenons un noyau lorsque tous les sommets sont coloriés en
rouge et vert.
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Algorithme A – Étape 2
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Algorithme A – Étape 2
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Algorithme A – Étape 2
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Algorithme A – Étape 2
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Algorithme A – Étape 2
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Calculs préliminaires
q =1−p
Probabilités élémentaires
S(q, r ) (resp. D(q, n, r ) et N(q, n, r )) probabilité que U de taille r soit
stable (resp. dominant, un noyau).
S(q, r )
= q r (r −1)
D(q, n, r ) = (1 − q r )n−r
N(q, n, r ) = S(q, n, r ) D(q, n, r ).
Espérance
Le nombre moyen de noyaux de taille r vaut donc
E[XrNoyau ]
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n r (r −1)
=
q
(1 − q r )n−r .
r
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Cas dense, p constant
Théorème Tomescu, Fernandez de la Vega, 1990
Notons q = 1 − p. Il existe un intervalle I(p, n) autour de
β(n) = log1/q n − log1/q (log1/q n) tel que les noyaux de Dn ∈ D(n, p)
satisfont
1
a. p. s. tous les noyaux ont une taille dans r ∈ I(p, n) ;
2
pour toute suite r (n) ∈ I(p, n), Dn possède a. p. s. un noyau de
taille r (n).
Remarques
• la taille de I(n, p) ne dépend que de p
• l’intervalle diminue lorsque p augmente
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Graphes denses
Graphes éparses
Cas dense, p constant
Idée de la preuve
On utilise les Méthodes du premier et du second moment
Pour r proche de β, soit c le réel tel que n = ec r q −r .
erg(c)
E[XrNoyau ] ∼ √
2πr
var (XrNoyau ) ∼ E[XrNoyau ]
où g(c) = −ec + c + 1 − ln q.
r ∈ I(n, p) si et seulement si g(c) > 0.
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Graphes éparses
Complexité des algorithmes
Algorithme B
B est un algorithme de Monte Carlo d’erreur λ < 1/E[XrNoyau ].
Sa complexité est superpolynomial (nln n ).
Algorithme A
On prouve que l”algorithme A est également superpolynomial en
remplaçant l’espérance de la complexité par la complexité de
l’espérance.
Pour une preuve rigoureuse, il faut utiliser le modèle D(n, M).
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Cas éparse, p = c/n
Calcul de l’espérance
Rappel
E[XrNoyau ]
n
=
S(r , q) D(n, r , q)
r
Pour p = c/n et r = µn, µ densité de r
n
∼ β(c, µ) = −µ log µ − (1 − µ) log(1 − µ),
µn /n
S(µn, 1 − c/n)/n ∼ ι(c, µ) =
−cµ2 ,
D(n, µn, 1 − c/n)/n ∼ δ(c, µ) =
(1 − µ)(1 − e−cµ ),
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Graphes denses
Graphes éparses
Une seule densité possible
Théorème 1
Tous les noyaux de Dn sont a. p. s. tous de taille
r = µc n + o(n),
où c = − logµcµc .
Idée de la preuve
Noyau
On montre que E[Xr
] = eϕ(c,µ)n+o(n) , où
ϕ(c, µ) = −µ log µ − (1 − µ) log(1 − µ) − cµ2 + (1 − µ) log(1 − e−cµ ).
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ϕ(c, µ) < 0
= 0
pour µ 6= µc
sinon
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Graphes éparses
Aucune taille probable
Théorème 2
Pour toute suite r (n), Dn n’a a. p. s. pas de noyau de taille r .
Idée de la preuve
Soient µ = µc et r = µn + o(n)
On utilise le résultat suivant
ln E[XrNoyau ] = −
p
x 2 (1 − log µ)2 1
− log n−log µ 2πµ(1 − µ) +ε(n, x),
n 2µ(1 − µ) 2
3
où ε(n, x) ∈ O( n1 ) + O( xn ) + O( xn2 ).
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Somme des espérances
Théorème 3
L’espérance du nombre de noyaux de densité µc est supérieure à 1.
Idée de la preuve
2
Soient µ = µc , f = o(n 3 ) et |x| ≤ f .
On considère l’espérance du nombre de noyaux de taille r = µn + x.
x2
p
e−η n
(1 − log µ)2
E[XrK ] = √ (1 + o(1)), η =
, ζ = µ 2πµ(1 − µ).
2µ(1 − µ)
ζ n
√
On somme les espérances sur f ∈ ω( n),
lim
n→∞
X
E[XrK ]
|x|≤|f |
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1
=
ζ
Z
∞
e
−∞
−ηy 2
√
1
π
µ
dy = √ =
> 1,
ζ η
1 + log µ1
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Graphes éparses
Complexité des algorithmes
Algorithme B
B est un algorithme de Monte Carlo d’erreur λ = e−n sur les
ensembles de densité µ, avec |µ − µc | < δ.
Sa complexité est exponentielle.
Algorithme A
On prouve que l’algorithme A2 est exponentiel en la taille de B LANC,
l’ensemble des sommets non coloriés par A1 .
Complexité de A
Dépend de la taille de B LANC.
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Densité de B LANC après A1
0
1
2
3
4
5
6
1
1
n = 100
n = 1 000
Theoretical
0,8
0,8
0,6
0,6
0,4
0,4
0,2
0,2
0
0
0
1
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2
3
4
5
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6
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Transition de phase en c = 1
Expérimentations
On observe expérimentalement que tous les sommets sont coloriés
avec l’algorithme A1 , pour c < 1.
Coloriage en blanc et noir
On propose un coloriage plus grossier que celui de l’algorithme A1 :
On colorie en noir tous les puits et tous les sommets allant vers un
puits et n’appartenant pas à un circuit.
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Algorithme A – Étape 1
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Algorithme A – Étape 1
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Algorithme A – Étape 1
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Algorithme A – Étape 1
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Transition de phase en c = 1
Coloriage en blanc et noir
wi densité de B LANC à l’étape i, |B LANC| ∼ wi n.
w0 =
1
Système dynamique
où ϕ(z) = 1 − e−cz .
wi+1 = ϕ(wi )
Transition de phase
1
Soit w = limi ϕi (1).
w = 0 si c < 1.
w > 0 si c > 1.
0
1
2
0
0
-1
-1
0
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1
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1
2
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Transition de phase en c = e
Itérations de l’algorithme A1
wi et ri densité de B LANC et R OUGE à l’itération i.
ri+1 = ψ(1 − gi )
Système dynamique
1 − gi =
ψ(ri )
où ψ(z) = e−cz
Transition de phase
w = limi ψ 2i+1 (0) − ψ 2i (0) .
0
w =0
w >0
si
si
c < e.
c > e.
ã
2ã
1
1
1
1
ã
ã
0
0
0
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ã
2ã
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Graphes éparses
Perspectives
Approfondir l’étude du cas p =
c
n
• Etude de la variance.
• Mieux connaître la structure des noyaux pour garantir qu’il
n’existe pas de (vraiment) meilleurs algorithmes.
Autres distributions p =
c log n
n
De nombreuses propriétés naturelles apparaissent avec cette
distribution.
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Graphes éparses
Merci de votre attention
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