Chapitre 2

Chapitre 2 : Cinématique du point
Les équations du mouvement sont de manière très générale des équations différentielles du
second ordre en vertu du principe fondamental de la dynamique qui associe force et dérivée
seconde de la position (accélération). Par exemple, en coordonnées cartésiennes, on peut
avoir des équations du type :


 dX

d2X

a
(
X
,
t
)

b
(
X
, t )   (t )
dt 2
dt

dX
Le terme en
est un terme d’amortissement, associé à la vitesse, tandis que le terme en
dt
X correspond à une force de rappel. Le second membre correspond aux actions (forces)
extérieures au système. La dérivée seconde correspond à l’accélération. Attention, il ne
s’agit toutefois que d’un exemple.
Résoudre un problème de mécanique reviendra donc à résoudre des équations de ce type
(encore une fois, ceci n’est qu’un exemple). Il sera donc impératif de pouvoir décrire le
vecteur vitesse, le vecteur accélération et les forces dans un système de coordonnées
adapté au problème. La cinématique du point nous permet d’établir ces descriptions. Elle est
plus proche des mathématiques que de la physique !
Nous devrons:



Choisir un référentiel et/ou des coordonnées adaptés à la description du mouvement
Ecrire les équations physiques du mouvement dans ce référentiel, en utilisant par
exemple le principe fondamental de la dynamique.
Déduire ce qui est recherché (vitesse et position, valeur d’une force etc.)
Nous présentons d’abord la description de la cinématique du point dans différents systèmes
de coordonnées. Chacun d’entre eux présente un intérêt très important pour décrire, parfois
simplement, des mouvements d’apparence complexe. Il s’agit donc d’outils descriptifs (à
connaître et maîtriser parfaitement).
2.1 Coordonnées cartésiennes.
Ce sont les plus simples du point de vue mathématique, mais pas forcément du point de vue
  
physique. On se donne un repère (O , i , j , k ) . Un point M de l’espace est repéré par :


 
OM  xi  yj  zk
Nous noterons également :
 x
OM   y  .
 
 z 

Le vecteur vitesse est donné par :
1

 x 
 d OM  
v
 y
 
dt
 z 
Où les « points » correspondent aux dérivées par rapport au temps « t ». Un double point
correspond ainsi aux dérivées secondes. Cette notation est une notation standard voire
normalisée en physique.
Le vecteur accélération est donné par :

  x
d 2 OM dv  
 

 y
dt 2
dt  
 z

Propriété fondamentale : Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire.

1 
v
Corollaire : le vecteur T   v est le vecteur normé tangent à la trajectoire et dans le sens
du mouvement (démonstration : voir le paragraphe « trucs et astuces »).
2.2 Coordonnées polaires
 
On se place dans le plan (x,y). Un point M de coordonnées (x,y) dans le repère (O, i , j ) peut


être également repéré par l’angle  que fait le rayon vecteur OM avec le vecteur i et par la



distance radiale (le rayon) r  OM . Soit ur le vecteur normé colinéaire à OM et de même
sens (centrifuge par rapport à O).

u

ur
M
y
r

j
θ
O

i
x
Dans ce cas on peut écrire :

 
OM  rur  r
(attention à cette convention de notation)
Par définition, la vitesse angulaire est donné par :
 
d
dt
2
 
Dans le repère cartésien (O, i , j ) on a également :
 cos  
ur  

 sin  
Et on retrouve ainsi la relation :

 r cos  
OM  rur  

 r sin  


Considérons maintenant le vecteur unitaire u perpendiculaire à u  dans le sens direct
(trigonométrique). On a, par construction :

 sin   dur

u  

 cos   d
On a immédiatement :


du  cos  

 u r

d   sin  
Utilité : ce second vecteur est inutile pour décrire la position mais il revêt une grande
importance pour l’expression de la vitesse et de l’accélération.
Remarque : Nous avons utilisé la notation en vecteur colonnes, qui correspond aux
coordonnées cartésiennes dans tous les cas.
En coordonnées cartésiennes, nous écrirons, par exemple, pour
coordonnées (x,y) :

le vecteur

X de
  x
X  
 y
En coordonnées polaires, si X est de coordonnées (r,), nous aurons par contre


X est de coordonnées (r,) est une expression correcte


X  ru r est une écriture correcte


 r
X  
  est une écriture incorrecte



X  rur  u est une écriture stupide.

Dérivées temporelles des vecteurs unitaires :



du r du r d

   u
dt
d dt



du du d

   u r
dt
d dt
3
Méthode : On obtient la dérivée d’un vecteur unitaire en le faisant tourner de 90 degrés dans
le sens trigonométrique et multipliant le vecteur obtenu par la vitesse angulaire.
 
Nous allons considérer le repère mobile (O, ur , u )
Nous avons



OM  r  ur  r
Nous en déduisons la vitesse :


 d OM drur


v

 r  ur  r  u
dt
dt
Nous en déduisons l’accélération :















dv
 
 rur  ru  rur  ru  ru  ru  r 2 ur  r  r 2  ur  2r  r  u
dt
Interprétation :


vr  r  ur est la vitesse radiale


v  r  u est la vitesse orthoradiale


 r  r  r 2  ur est l’accélération radiale

   2r  r  u est l’accélération orthoradiale




Résumé (à connaître ou à savoir retrouver très rapidement):

 
OM  rur  r



v  r  ur  r  u



  r  r 2  ur  2r  r  u




2.3 Coordonnées cylindriques
On déduit immédiatement les formules de base de la cinématique à partir de celles des
coordonnées polaires. On rajoute au plan décrit précédemment en coordonnées polaires un

k
axe perpendiculaire orienté selon un vecteur
supposé fixe pour passer en dimension 3, de
  
manière à ce que (ur , u , k ) forme un système direct.


ur est défini comme précédemment, et orthogonal à k qui est choisi.

Il faut donc définir u , ce que l’on fait par :
 

u  k  ur
4
z
z

r
y

u

ur
x
Ainsi, le vecteur position s’écrit :


 

 

OM  xi  yj  zk  rur  zk  r  zk

On déduit immédiatement, que, k étant supposé fixe:




v  rur  ru  zk

  r  r 2 ur  2r  ru  zk



Généralisation et dérivation:


Les vecteurs ur et k étant définis, on obtient (on peut le prendre comme définition):
 

u  k  ur
Et par conséquent :



u r  u  k
  
k  u r  u
La dérivation des vecteurs de base est immédiate :

 

du r
 u   k  u r
dt


 
du


 u r   u  k   k  u
dt

dk   
0 k k
dt



 

5
2.4 Coordonnées curvilignes. Repère de Frenet.
Considérons maintenant la trajectoire d’un point matériel. Les lois de la physique classique
permettent de la définir de manière unique et montrent qu’elle est dérivable en tout point (au
niveau microscopique –quantique- c’est un tantinet différent et le monde n’est pas ce que
l’on croit voir!).

1 
v

même sens qu’elle. On notera v  v .
On peut donc considérer T   v le vecteur unitaire tangent à la trajectoire et dans le
On gradue la trajectoire (en longueur) et l’on note « s » cette graduation, que l’on appelle
« coordonnée curviligne le long de la trajectoire ».
Propriété (voir « trucs et astuces ») : La dérivée d’un vecteur de norme constante en

 dT
fonction du temps est orthogonale au vecteur initial. Par conséquent T 
. Notons :
dt


1 dT
le vecteur normé perpendiculaire à la trajectoire. Par définition (voir figure)
N 
dt
dT
dt
celui-ci est orienté vers l’intérieur de la trajectoire.
 
Plaçons nous dans le plan ( N , T )


Considérons un vecteur ( ) tangent au cercle de rayon R. Le vecteur T proprement dit
correspond à =0.

dT

( )
 
T  (0)


N
 
Dans la base ( N , T ) nous avons :
 0
T  
1


 sin  
dT ( )  cos  
T ( )  
  d   sin  
cos  


6
Par conséquent :


 d( ) 
dT 0 
 d   d  1  N
 

  0
Nous avons la relation triviale
ds  vdt
Par définition de la vitesse versus la distance parcourue. Attention, il s’agit ici du module (de
la norme) de la vitesse ! Sans vecteurs !
Ainsi que :
d 
Donc
ds
R
d 1 ds v


dt
R dt R
Nous avons vu que :


dT  d  N
Par conséquent :

dT d 

N
dt
dt
Par définition du vecteur tangent :


v  vT
En dérivant et en utilisant tout ce que nous avons vu :



dv d (vT ) dv 
dT dv  v 2 
 

 T v
 T
N
dt
dt
dt
dt
dt
R

Résumé, dans le repère de Frenet :


v  vT



dv d (vT ) dv 
dT dv  v 2 
 

 T v
 T
N
dt
dt
dt
dt
dt
R


1
v
v


1 dT
Et N  
le vecteur normé perpendiculaire à la trajectoire, orienté vers l’intérieur de
dt
dT
dt
Avec T 
la courbe
Dans ce repère, l’accélération se décompose naturellement en une composante
longitudinale et une composante normale. Cette expression est très utile quand on traite
7
l’aspect « rayon de courbure ». Attention, encore une fois, à ne pas confondre le vecteur
vitesse et sa norme.
2.5 Vecteur rotation
Considérons
  un point M ayant une trajectoire circulaire de rayon R (donc constant) dans le
plan (O, i , j ) et centrée sur O.
En coordonnées cartésiennes nous avons :
 x   R cos  
cos  





OM  y  R sin   R  sin    Rur
  



 z   0 
 0 

 x   R sin  
 sin  
    



v  y   R cos    R  cos    Ru
 



0
0
 z  




Définition : le vecteur rotation est défini par


  k
On constate immédiatement que :





  OM  R( k  ur )  R  u  v
En résumé :


d OM  
 v    OM
dt
8
2.6 Grandeurs cinématiques
Pour un objet assimilable à un point matériel de masse m, on définit :
La quantité de mouvement


p  mv
L’énergie cinétique
E
1
mv 2
2

Le moment cinétique (cas d’une rotation d’axe k ) :





L  OM  p  m OM  v 


Remarque : tout ceci n’a de sens que pour des vitesses très inférieures à celle de la lumière.
Pour les grandes vitesses, on doit utiliser la relativité restreinte et les formules changent
totalement. Par exemple, l’énergie cinétique dans sa forme la plus générale vaut :




1


E 
 1mc 2
2
 1  v 2

c


9
Chapitre 3 : Principe Fondamental de la Dynamique
3.1 Définitions et principes fondamentaux
Référentiel Galiléen : par définition, un référentiel Galiléen est un référentiel en mouvement
de translation uniforme par rapport à un référentiel au repos absolu.
Question : Comment définir un référentiel au repos absolu ? On considère par exemple un
référentiel associé à 3 étoiles fixes ou apparaissant comme telles.
Réponse : Il n’existe pas de vrai référentiel au repos absolu, ni de référentiel absolu « tout
court » (expérience de Michelson et Morley, Relativité Restreinte et Générale), mais
seulement des référentiel approchés. Tout est un problème de point de vue, et la Relativité
Restreinte s’est d’abord appelée « Standspunktlehre » ou « théorie du pont de vue ». En fait,
on définit parfois ce référentiel de la manière suivante :
Un référentiel galiléen, ou inertiel, est un référentiel dans lequel un objet isolé (sur lequel ne s’exerce
aucune force ou sur lequel la résultante des forces est nulle) est soit immobile, soit en mouvement de
translation rectiligne uniforme.
Puis l’on énonce le Principe Fondamental de la dynamique, qui dans le cas particulier d’une
résultante des forces appliquées nulle, est la définition du référentiel galiléen. L’énoncé est
auto-référent !
Nous supposerons donc qu’il existe des repères galiléens « approchés », par exemple
associés à des points isolés dans l’espace et loin de toute interaction significative.
Le repère de Copernic a pour origine le centre de masse du système solaire et pour axes
des directions vers 3 étoiles fixes (ou observées comme telles).
Principe Fondamental de la Dynamique : Dans un référentiel Galiléen, le centre de
masse  d’un système vérifie :


dp
  Fextérieures
dt
Cette formulation prend tout son intérêt en Relativité Restreinte ou le terme de masse (je ne
dis pas « la masse ») n’est pas constant.
Corollaire 1: Dans un référentiel galiléen, le mouvement du centre de masse d’un système
est rectiligne et uniforme si et seulement si la résultante des forces extérieures est nulle.
L’état de repos correspond à un mouvement rectiligne uniforme de vitesse nulle.
Corollaire 2 : Le principe fondamental de la dynamique s’écrit, également (et nous
utiliserons plutôt cette expression) :



m    Fextérieures
Où   est l’accélération du centre de masse et m la masse totale du système considéré.
Les deux expressions sont à connaître parfaitement (hypothèses incluses).
10
Question : Centre de Masse ou de Gravité ?
Réponse : Centre de MASSE. Pour qu’il y ait centre de gravité, il faut déjà qu’il y ait gravité,
or l’inertie existe indépendamment de la gravité. Le centre de masse se confond avec celui
de gravité dans le cas d’un champ de gravité uniforme uniquement.
De manière assez surprenante, on rencontre encore beaucoup la terminologie « centre de
gravité » en lieu et place de « centre de masse », bien qu’aucun physicien professionnel ne
fasse cette confusion.
Toutes ces définitions et principes sont à connaître parfaitement et en détails
3.2 Centre de masse
Soit un point O quelconque, soient N points Mi de masse individuelle mi. On définit le centre
de masse  par la relation :

N

mT O   mi OM i
i 1
Avec
N
mT   mi
i 1
la masse totale
Cette définition est indépendante du point de référence (ici : O) pour la raison suivante (A est
un autre point) et en utilisant la définition de la masse totale:








mT O   mi OM i  mT  OA  A    mi  OA  AM i   mT A   mi AM i

 i 1 

i 1
i 1
N
N
N
Cette définition se généralise à un solide quelconque en remplaçant les sommes par des
intégrales et les masses individuelles pas la densité locale.
3.3 Principe de l’action et de la réaction, conservation de la quantité de
mouvement.
Considérons deux points matériels A et B. Le principe de l’action et de la réaction s’énonce
ainsi :
La force appliquée par A sur B est l’opposée de celle appliquée par B sur A
A


FA / B   FB / A


FB / A   FA / B
B
On suppose qu’il n’existe pas de force extérieure. Dans ce cas, du point de vue quantité de
mouvement totale, on a :
11
 

p  p A  pB






dp dp A dpB


 FB / A  FA / B  0
dt
dt
dt
La quantité de mouvement d’un système isolé reste constante
3.4 Démonstration du PFD
Nous admettrons le PFD pour un point matériel. Nous allons montrer qu’il se généralise à un
objet quelconque, à condition de considérer le centre de masse.
On part de la définition du centre de masse :


N
mT O   mi OM i
i 1
On dérive deux fois :


d 2 OM i
d 2 O N
mT

m

i
dt 2
dt 2
i 1
Les forces s’exerçant sur chaque point sont de deux nature :


Les forces externes

Les forces internes. Si le point i exerce une force Fi / j sur le point j et le point j une


force F j / i   Fi / j sur le point i, en vertu du principe de l’action et de la réaction nous
avons


 
d 2 OM i
mi

m
F
i
i  Fj /i
dt 2

mj
d 2 OM j
dt 2


 
 m j Fi  Fi / j





d 2 OM j
d 2 OM i
mi
 mj
 mi Fi  m j Fi
2
2
dt
dt
On réécrit, ce qui est le résultat attendu
N


mT     mi Fi
i 1
Tout simplement.
12
3.5 Comment traiter un problème à l’aide du PFD. Exemples
La méthodologie est toujours la même. Ecrire le problème physique puis le résoudre.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Choisir un référentiel galiléen.
Choisir un système de coordonnées adaptés au problème.
Connaître l’expression de l’accélération dans ce système
Faire le bilan des forces sans en oublier et sans en inventer
Projeter ces forces (ou les exprimer) dans le système de coordonnées
Ecrire le PFD
La physique s’arrête là. Après, ce sont des mathématiques (résolution d’équations
différentielles par exemple). Si le problème physique est mal posé, les mathématiques ne
vous sauveront pas.
Remarque : Parmi les forces que l’on invente il y a, Dieu seul sait peut-être pourquoi, la
« force due à la vitesse ». Cette expression est particulièrement stupide, et je pèse mes
mots, car elle n’a aucun sens.
Un exemple
On considère un pendule simple constitué d’une masse m fixée au bout d’un fil de masse
négligeable et de longueur R. Le pendule oscille dans le champ de pesanteur (plan vertical).
Quelle est la tension du fil ?



Choix d’un référentiel : le laboratoire, supposé Galiléen.
Choix d’une origine : le point de fixation O
Coordonnées polaires. On suppose que le pendule (figure) remonte vers la
droite.
R


T

ur

u

P
D’où le système de vecteurs de base.

Bilan des forces : Le poids et la tension du fil. Rien d’autre.

Projection des forces sur les axes :
13



 P  mg cos   ur  mg sin   u



T  T  ur


Accélération en coordonnées polaires :
  r  r 2 ur  2r  ru



PFD :

 

P  T  m
Soit en identifiant :
mg cos  T  m(r  r 2 )

 
  mg sin   m(2r  r )
Le rayon est constant égal à R
mg cos   T  mR 2


  mg sin   mR
La partie « physique »est terminée. On résout en fonction de ce que l’on cherche mais c’est
un problème de résolution d’équation différentielle. Par exemple, on multiplie la seconde
équation par la vitesse angulaire et on intègre :
1
 mg sin   mR  C  mg cos   mR 2  R 2  K  2 g cos 
2
Où K est une constante arbitraire dépendant des conditions initiales.
Exemple de condition initiale : on suppose la vitesse nulle quand le pendule est horizontal
(=90 degrés).
Dans ce cas :
0  K  2 g cos

2
 K  0  R 2  2 g cos 
On reporte dans la première équation ce qui donne :
mg cos   T  mR 2  2mg cos   T  3mg cos 
T est toujours négatif, ce qui est logique, et il est maximal en position basse. Dans ce cas, en
bas, la tension du fil est de 3 fois le poids.
Question : doit on mettre T ou –T (la force est centrifuge) quand on projette la tension?
Réponse : on met T et pour plusieurs raisons :
 Pourquoi s’encombrer d’un signe « moins » et supposer T positif ? Un signe
« moins » devant un nombre n’exprime d’ailleurs pas que l’ensemble soit négatif !
14

Mettre T et trouver que celui-ci est négatif après calcul permet de vérifier que le calcul
donne un résultat physiquement correct (il prédit l’orientation) avec des notations plus
simple et une facilité à se vérifier.
Autre remarque : la résolution du problème demande de maîtriser parfaitement l’intégration
et la manipulation des dérivées ou équations différentielles, afin de se consacrer au
problème physique. La maîtrise des mathématiques de base du semestre 1 est donc
indispensable.
Autre exemple : quelle est la réaction du siège sur le pilote d’un avion qui effectue un cercle
dans le plan vertical ? Réponse : c’est le même problème, la tension étant remplacée par la
réaction du siège.
15