NOMBRES ET DEMONSTRATION

NOMBRES ET DEMONSTRATION.
Objectif: Démontrer que tous les éléments d'un ensemble vérifient une certaine propriété.
A COMMENT DEMONTRER QU'UN ENONCE EST VRAI
Si le nombre de vérifications est peu élevé . on teste tous les cas
Montrer que: « pour tout entier naturel n inférieur ou égal à 4, "6 n + 5" est un nombre premier ».
Il n'y a que 5 valeurs de n à tester.
Vers la solution : On calcule : 6  0 + 5 = 5, 6  1 + 5 = 11, 6  2 + 5 = 17, 6  3 + 5 = 23, 6  4 + 5 = 29.
On obtient à chaque fois un nombre premier.
1 Montrer que, si n est un entier naturel tel que 2  n  5, alors 7n – 2n est un multiple de 5.
Si le nombre de vérifications est élevé on peut tester tous les cas en utilisant une calculatrice programmable
ou un logiciel de calcul formel.
1 bis Montrer que, si n est un entier naturel, n inférieur ou égal à 52 alors 7n – 2n est un multiple de 5.
Si le nombre de vérifications est hors de portée on fait une démonstration en utilisant un nombre
quelconque qu'on peut noter n .
1 Ter Montrer que, si n est un entier naturel, alors 7n – 2n est un multiple de 5.
Dans ce cas il faudra attendre un peu avant de pouvoir répondre.
Montrer que, si on retranche 1 au carré d'un entier impair, on obtient un multiple de 4.
Vers la solution : 12 – 1 = 0 multiple de 4, 32 – 1 = 8 multiple de 4, 52 – 1 = 24 multiple de 4 : on a fait 3
vérifications alors qu'on doit en faire une infinité.
La forme générale d'un entier naturel impair quelconque n est n = 2 p + 1 avec p  IN.
Recopier et compléter : (2 p + 1)2 – 1 = 4 p2 + 4 p + 1 – 1 = 4 p2 + 4 p = 4 (p2 + p) = p (p + 1)
avec p2 + p entier naturel, donc c'est un multiple de 4.
2 Montrer que le produit de deux entiers naturels consécutifs est pair et en déduire que, si on retranche 1 au
carré d'un entier impair, on obtient un multiple de 8.
3 Soit a = 8 9  10  ...  100. Montrer que 8 est un diviseur de (a + 8).
Montrer que les nombres a + 8, a + 9, ..., a + 100 sont tous non premiers.
B COMMENT DEMONTRER QU'UN ENONCE UNIVERSEL EST FAUX
Il suffit de mettre en évidence un contre-exemple.
Montrer que l'énoncé « tout réel x est inférieur à son carré » est faux.
Vers la solution : On calcule 0,52 et on conclut.
4 Montrer que les énoncés suivants sont faux
a) Tout entier pair est multiple de 4.
b) L'inverse de la somme de deux nombres non nuls est égal à la somme des inverses de ces nombres.
c) Pour tout réel x, si x < 2, alors x2 < 4.
d) a et b étant réels, a2 + b2 > 0.
e) Si n est un entier naturel premier, alors (n + 1) n'est pas premier.
f) – x n'existe jamais.
C DETERMINER SI UNE CONJECTURE ET VRAIE OU FAUSSE
On commence par faire quelques essais puis, s'ils laissent à penser que la conjecture est vraie, or cherche une
démonstration.
La conjecture « la somme d'un entier et de son carré est égale à la différence du carré de l'entier suivant et de
cet entier suivant. » est-elle vraie ?
1 + 12 = 22 – 2, 2 + 22 = 32 – 3, 32 + 3 = 42 – 4, 42 + 4 = 52 – 5.
Soit n  IN : Il faut comparer n2 + n et (n + 1)2 – (n + 1). (n + 1)2 – (n + 1) = n2 + 2 n + 1 – n – 1 = n2 + n.
On a bien pour tout entier n , n2 + n = (n + 1)2 – (n + 1). La conjecture est vérifiée.
5 Soit E = 2n + 2n+1 + 2n+2 avec n entier naturel, peut-on conjecturer que E est divisible par 7?
6 Peut-on conjecturer que la somme de cinq entiers consécutifs est un multiple de 5
7 les nombres de la forme 6  n + 5 sont-ils toujours premiers.»