PCSI. 01/02. Durée 4 heures. Physique. Devoir surveillé N°6.

Physique. Devoir surveillé N°6.
PCSI. 01/02. Durée 4 heures.
Ce devoir est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser la
feuille intitulée Grille des réponses. Renseigner dès maintenant sur cette feuille votre nom.
Chaque question comporte au plus deux réponses exactes. Lorsque vous jugez que la question comporte
une bonne réponse vous devez mettre une croix dans l’une des cases a, b, c, d.
Chaque bonne réponse est comptée +2, chaque mauvaise réponse est comptée –1.
L’abstention ne rapporte ni ne retire de point. Il est fortement déconseillé de répondre au
hasard.
Toute rature ou surcharge entraîne l’annulation à la question. Pas de réponse au crayon à papier.
Le circuit de la figure ci-dessous est alimenté entre ses bornes "d'entrée" A et B par un générateur qui
délivre à l'instant t la tension ue (t ) . Cette tension, sinusoïdale, a pour amplitude complexe U e , et pour
pulsation  .
"En sortie", entre les bornes A1 et B1, est placé un dipôle D d'impédance complexe Z .
1. Calculer en fonction de L, C,  et Z l'impédance complexe Z e du circuit vue entre les bornes A et B
(impédance d'entrée). j est le nombre complexe tel que j 2  1 .
LC 2  j (1 LC 2)
a) Z e 
C (2 LC 212 j Z C)
(1 LC 2 ) Z  j L2 2 (12 LC 2)
Z (1 LC 2  2 j Z C)
LC[1  j (1 LC 2)] j Z C
b) Z e 
1 LC 2  j Z C
2
2
c) Z e 
d) Z e 
ZC (1 LC 2) j(2LC 2 1)
C (1  LC 2  jZC)
2. En déduire la valeur de Z pour laquelle Z e Z (appelée alors impédance itérative).
a) Z  L ( j 
1 )
1LC 2
b) Z 2  2 L  21 2
C C
c) Z   j  2L 2
C
2LC 1
d) Z 2 
L2 2
LC 2 1
3. Compte tenu du résultat de la question précédente, indiquer le domaine des pulsations pour lesquelles
Z a un comportement résistif, quelle que soit la pulsation. On donne L = 1mH et C = 0, 2  F.
Dans toutes les questions suivantes, on prend comme valeur de Z celle qui correspond à l'expression de
la question précédente pour les très hautes fréquences (  ). Donner la valeur numérique de la
résistance R ainsi obtenue.
a)  5.10 4 rad .s 1 b) 108 rad .s 1
c) Z  R 100 
d) Z  R  2000 
4. Examiner le comportement du circuit pour  = 0 et  . Indiquer dans ces conditions si le circuit
constitue un filtre :
a) passe haut
b) passe bas
c) passe tout
d) passe bande
Dans le plan horizontal (xOy) d'un référentiel galiléen R, un mobile modélisé par un point matériel P de
masse m est astreint à se déplacer sur le cercle de centre O et de rayon b. L'équation horaire du
mouvement est : s  arc(AP)  b ln( 1 t) où:
• ω est une constante positive,
• A est le point du cercle situé sur le demi-axe positif Ox,
5. Calculer la vitesse v de P à la date t en fonction de la seule variable s .
En déduire la vitesse initiale v0 v(t 0) .
a) v  2b b) v  b es / b c) v0  2b d) v0 b
1s / b
6. Calculer en fonction de s et des seuls paramètres b et vo les composantes tangentielles at et normale an
du vecteur accélération de P par rapport à R exprimées dans la base de Frenet.
v2
v2
vo2
vo2
1
1
a) at   o exp(2s / b) b) at   o
c)
a

d)
a

exp(2 s / b)
n
n
b
b (1  s / b)3
b (1  s / b) 2
b
7. Indiquer si le mouvement est :
a) uniformément décéléré b) uniformément accéléré c) accéléré d) décéléré
8. L'hodographe du mouvement de pôle O est l'ensemble des points N tels que : ON  v(P / R) où
v(P / R) est le vecteur vitesse de P par rapport à R. Soient r et  les coordonnées polaires de N.
Déterminer l'équation polaire de l'hodographe ; identifier celui-ci.

a) r  vo exp( (  )) b) r  vosin
2
c) spirale logarithmique d) cercle centré sur l'axe Oy
9. Donner l'expression en fonction de v de F  F , si F est la résultante des forces appliquées à P .
a) F 
mv 2
b 2
b) F 
mv 2 2
c) F 
b
mv 2
2b
e
v / v0
d) F 
mv 2
2b
ln(1 
v
)
v0
10. Calculer en fonction de s et des paramètres b et v 0 le travail W de F pendant l'intervalle
de temps [0, t].
1
s
a) W   mv02 (1  e  2 s / b )
b) W  mv02 ln(1  )
b
2
2 s / b
1 e
1
c) W  mv02
d) W  mv02 (1  e  s / b )
2s / b
2
1 e
11. En déduire le travail total WT de F au cours du mouvement.
1
a) WT  mv02
2
1
b) WT   mv02
2
c) WT  
d) WT  mv02
Un moteur M équivalent à un résistor de résistance R associé en série avec une bobine de coefficient
d'auto-inductance L est alimenté en courant alternatif sinusoïdal de fréquence 50 Hz. Le moteur
consomme une puissance moyenne PM  4, 4kW et son facteur de puissance est égal à 0,6. On mesure
entre ses bornes A et B une tension de valeur efficace U  220V .
12.Calculer le courant efficace I circulant dans la ligne.
a) I = 12,5A
b) I = 27,2 A c) I = 42,6 A
d) I = 33,3 A
13.Calculer R.
a) R  4 
14. Calculer L.
a) L = 7 mH
b) R  8 
c) R  2 
b) L = 12 mH
d) R  12 
c) L = 17 mH
d) L = 52 mH
15. Pour relever le facteur de puissance de l'installation, on connecte entre les bornes A et B un
condensateur de capacité C. La tension mesurée aux bornes du moteur a toujours la valeur U = 220 V.
Calculer la plus petite valeur de C pour que le nouveau facteur de puissance soit égal à 1.
a) C = 246 F
b) C = 381 F
c) C = 192 F
d) C = 53 F
Une particule chargée M de masse m et de charge q est lancée à l'origine O d'un repère d'espace R (Oxyz )
avec une vitesse initiale v0 contenue dans le plan zOx : v0  v0 x ex  v0 z ez . Cette particule est soumise à
l'action d'un champ magnétique B  Bez uniforme et constant, dirigé suivant l'axe Oz et qui règne dans
tout l'espace. On désigne par H la projection orthogonale de M sur le plan xOy.
On considère un second repère d'espace R (Oxyz ) , de même origine O et de même axe Oz que R . Ce
repère est animé d'un mouvement de rotation autour de l'axe Oz avec une vitesse angulaire   ez
constante.
16. On désigne par v la vitesse de la particule dans R . Donner l'expression de la force magnétique de
Lorentz FL qui s'exerce sur elle dans R .
a) FL  qB  v
b) FL  qv  B
c) FL  2qv0  B
17. Exprimer la vitesse initiale v0 de la particule dans R  .
d) FL  qv0  B
a) v0  v0
b) v0  v0
c) v0  0
d) v0  v0
18. On étudie le mouvement de la particule dans R  . Montrer que la force d'inertie d'entraînement Fie
peut s'écrire :
2
2
2
2
a) Fie  m HM
b) Fie  m HM c) Fie  m OH
d) Fie  m OH
19. Un pendule simple est constitué d'un point matériel M de masse m = 10 g, suspendu à un point A situé
sur l'axe Ox d'un repère galiléen R(Oxyz) par un fil sans masse de longueur l.
On note  l'angle que fait le fil que l'on suppose constamment tendu avec la verticale Oy de R(Oxyz).
Initialement, le point A reste fixe et confondu avec l'origine O du repère R.
Calculer la longueur l du fil pour que la période des petits mouvements du pendule soit To = 1 s. On
prendra pour norme de l'accélération de la pesanteur la valeur g = 9, 81 m.s-2 .
a) l = 0, 196 m
b) l = 0, 248 m
c) l = 0, 333 m
d) l = 1, 225 m
20. Le point de suspension A est maintenant animé d'un mouvement de translation rectiligne sinusoïdal
suivant l'axe Ox de R(Oxyz), d'amplitude xo et de pulsation . On note xA =xosint l'abscisse instantanée
de A. On désigne par RA(A, x',y',z'), le repère d'origine A dont les axes Ax', Ay' et Az' restent
respectivement parallèles aux axes Ox, Oy et Oz de R(Oxyz).
Calculer le moment MA(Fie) par rapport au point A de la force d'inertie d'entraînement qui s'exerce sur M
dans RA.
21. Calculer le moment MA (Fic) par rapport au point A de la force d'inertie de Coriolis qui s'exerce sur M
dans RA.
22. En appliquant le théorème du moment cinétique à la masse m au point A dans RA et en se limitant à
l'étude des mouvements de faibles amplitudes, l'équation différentielle à laquelle obéit l'angle  s'écrit :
 d 
23. A l'instant t = 0, (0) = 0 et 
  0 . On pose o= 2/To. Montrer que la valeur instantanée de
 dt  t 0
l'angle  est donnée par la relation :
Le circuit suivant est soumis à un échelon de courant délivré par un générateur de courant idéal :
 I (t )  0 pour t  0

I (t )  Io  Cte pour t  0
24. L'équation différentielle vérifié par le courant i est :
di R
R
di R  R '
R
a)
 i  Io
b)

i  Io
dt L
L
dt
L
L
di R  R '
R'
di R  R '
R  R'
c)

i  Io
d)

i
Io
dt
L
L
dt
L
L
25. L'intensité i vérifie l'équation suivante :
R
R  R'
R
R  R'
a) i   Io
exp(
t)
b) i  Io
(1  exp( 
t ))
R  R'
L
R  R'
L
R
R  R'
R'
R  R'
c) i  Io
(1  exp(
t )) d) i  Io
(1  exp( 
t ))
R  R'
L
R  R'
L
26. L'intensité i' a pour expression :
R
R'
R  R'
R
R
R  R'
a) i '  Io
(1- exp(
t )) b) i '  Io
(1  exp(
t ))
R  R' R
L
R  R'
R'
L
R  R'
R'
R'
c) i '  Io(1  exp(
t ))
d) i '  Io
(1  exp( t ))
L
R  R'
L
27.La tension u s'écrit :
RR ' R'
R  R'
R'R
R'
R  R'
a) u  Io
(1- exp(
t )) b) u  Io
(1  exp(
t ))
R'
R
L
R  R'
R
L
R  R'
R '2
R'
c) u  R ' Io(1  exp(
t ))
d) u  Io
(1  exp( t ))
L
R  R'
L
28. Sous l'action d'une force centrale constamment dirigée vers un point fixe O, une particule de masse m
décrit une spirale dont l'équation en coordonnées polaires est r = roexp(-a ) où a est une constante
positive. Elle est sollicité par une force F(r) de valeur :
Cte
Cte
Cte
a) F (r )  3 b) F ( r )  2 c) F ( r ) 
d) F ( r )  Cte
r
r
r
29. On considère le circuit suivant :
Toutes les impédances sont complexes.L'impédance Z équivalente de ce réseau vue des points A et B est :
Z ( Z  2Z P )  ZC ( ZC  Z P )
ZS ZP
a) Z  S C
b) Z 
ZC  Z S  Z P
ZC  Z S  Z P
c) Z 
Z S ( Z S  2Z P )  ZC ( Z S  Z P )
ZC  Z S  Z P
d) Z 
Z P ( Z C  2Z S )  Z C ( Z C  Z P )
ZC  Z S  Z P
30. Dans le réseau étudié à la question précédente, ZS est une bobine d'inductance L, ZP un condensateur
de capacité C.
L (2  LC2 )
C
On pose :  
.
et  
2
1  LC
1  LC2
L'impédance Z peut alors se mettre sous la forme :
Z 
Z  j
Z  j
Z  j
a) Z  C
b) Z  C
c) Z  C
d) Z  C
1  j Z C
1  j Z C
1   ZC
1  ZC
31. On considère le circuit représenté sur la figure suivante :
Le générateur de Thévénin pour les points A et B a les caractéristiques suivantes :
ER
ER
RR
ER
ER
a) E  1 1  2 2
R 1 2
b) E  1 1  2 2
R1  r1 R2  r2
R1  R2
R1  r1 R2  r2
c) E 
E1 R2
ER
 2 1
R1  r1 R2  r2
R
R1r1
Rr
 22
R1  r1 R2  r2
d) E 
E1R1
ER
 2 21
R1  r1 R2  r2
R
R1r1
Rr
 22
R1  r1 R2  r2
R
R1r1  R2 r2
R1  r1  R2  r2
32. Le dipôle de bornes A et B représenté est alimenté par deux générateurs idéaux de courant continu
délivrant le même courant électromoteur d'intensité Io.
Déterminer la résistance RN du générateur de Norton équivalent au dipôle.
33.Déterminer l'intensité IN du courant électromoteur du générateur de Norton équivalent au dipôle de la
figure 3 orienté de B vers A.
34.A l'aide d'un fil métallique homogène de section constante, on réalise un circuit constitué de deux
conducteurs : l’un a la forme d'un cercle de centre O ; l’autre est un diamètre AB du cercle.
Le conducteur diamétral possède une résistance 2r. Dans toute la suite, on conservera le nombre  dans
les expressions des différents courants et résistances à calculer. Calculer la résistance équivalente RAB
entre A et B.
35. On ajoute sur le conducteur circulaire AB un générateur de tension continue de f.é.m. E et de
résistance interne négligeable devant celle du conducteur. Calculer l'intensité IAB du courant qui circule
dans le conducteur diamétral AB.
36. La résistance équivalente du réseau dipolaire entre A et B est égale à :
a) 3R
b) R/3
c) 2R
d) 3R/2
37.L'axe Oy du référentiel galiléen R(Oxyz) est la verticale ascendante ; on appelle g l'accélération de la
pesanteur supposée uniforme. Un mobile assimilable à un point matériel P de masse m est astreint à se
déplacer sans frottement dans le plan (xOy) à l'intérieur d'un guide parabolique qui a pour équation
x2
cartésienne : y 
avec p constante positive. A l'instant t = 0, P se trouve au point A d'abscisse p et
2p
possède le vecteur vitesse vo tangent au guide, situé dans le plan de figure et orienté vers le haut (figure
12).
Outre son poids, le mobile est soumis à la réaction N du support, perpendiculaire à son déplacement.
Déterminer l'expression de x 2 en fonction de la seule variable x (il est commode de faire appel à des
considérations énergétiques).
a) x 2  p
p(vo2  gp)  gx 2
p(vo2  gp)  gx 2
2
b
)
x

p
p2  x2
p2  x2
c) x 2 
p 2vo2  gpx 2
p 2vo2  2 gpx 2
2
d
)
x

2
p 2  2 px
 p  x
38.Le plan (xOz) symbolisant le sol, calculer l'altitude maximale y1 atteinte par P.
39.Déduire de la question 10 l'expression en fonction de la seule variable x de la composante x selon Ox
du vecteur accélération de P.
2
v 2  gp
vo2  2 gp
vo2  gp
2
2 pvo  gpx
a) x  2 x o2
b
)
x


p
x
c
)
x

p
d
)
x

x
2
p  x2
( p 2  x 2 )2
p2  x2
 p2  2 px 
40.Déterminer dans ces conditions l'expression en fonction de la seule variable x de la composante
y selon Oy du vecteur accélération de P.
41.Déterminer l'expression en fonction de la seule variable x de la composante Nx selon Ox de la réaction
N.
42.Déterminer l'expression en fonction de la seule variable x de la composante Ny selon Oy de la réaction
N.
mC 2
er
pr 2
où C est la constante des aires et p une constante. L’équation de la trajectoire en coordonnées polaires
peut se mettre sous la forme :
43.Une particule de masse m est soumise à une force centrale, dirigée vers le point fixe O, F  
a)
1
1 1  e cos(   )
 1  e cos(   ) b)

r
r
p
c) r  1  e cos(   ) d ) r 
1  e cos(   )
p
44. On considère un circuit RLC série alimenté par une tension alternative sinusoïdale de pulsation  . Le
L o
1

,Q 
et x 
.
signal de sortie est pris aux bornes du condensateur. On pose o 
R
o
LC
La fonction de transfert du montage s’écrit :
1
1
1
1
a) H 
b) H 
b) H 
d) H 
Q
x
Q
x
1 x2  j
1 x2  j
1 x2  j
1 x2  j
x
Q
x
Q
45. Le montage étudié est :
a) un passe bas b) un passe bande c) un coupe bande d) un passe haut
46. Il y a résonance si :
a) Q  1 2 b) Q  1
2
c) Q  1 2
d) Q  1
47. La bande passante du montage est :
a) x = 1/Q b) x = Q/2 c) x = 2/Q
2
d) x = Q