LOGIQUE

GROUPES, ANNEAUX ET CORPS

Une loi de composition interne (ou opération) sur un ensemble E
est une application  qui à tout couple  x, y  de E  E associe un
 E,  
groupe
 loi interne
 associative
 élément neutre
 inversible
 E,  
groupe abélien
 commutative
x  y dans E . Une opération peut satisfaire différentes propriétés :
o associativité
o commutativité
o existence d’un élément neutre
o élément inversible (symétrisable)
 E, , 
anneau
 loi interne
 associative
 distributive sur 
L’élément neutre sera noté 0 pour l’addition et 1 pour la
multiplication. De même, l’inverse de x  E sera noté  x et x 1 .
 E, , 
anneau commutatif
 commutative
Propriétés des groupes :
Quand ils existent, l’élément neutre et l’inverse sont uniques.
Tout élément est régulier à gauche et à droite,
c'est-à-dire x  y  x  z  y  z et y  x  z  x  y  z .
 E, , 
anneau unitaire
 élément neutre
 E, , 
corps
 inversible pour x  0
 E, , 
corps commutatif
 commutative
o distributivité de  sur
une autre opération 

x * y  z    x  y   z
x* y  y x
e, x * e  e  x  x
x, x  x  x  x  e
x  y  z   x  y   x  z
 x  y  z   x  z   y  z
Le passage à l’inverse est idempotent, c'est-à-dire ( x 1 )1  x .

Propriétés des anneaux :
Pour un
x    y    x  y    x  y 
x 0  0 x  0
anneau commutatif, la formule du binôme de Newton est vérifiée.
x  0 est un diviseur de zéro s’il existe y  0 tel que x  y  0 .
Un anneau ne possédant pas de diviseur de zéro est dit intègre.

Propriété des corps :
x  y  0   x  0 ou y  0
ALGEBRE MA2

 K , ,  est un corps :
o  K ,   est un groupe commutatif
 K  0 ,  est un groupe
 est distributive sur 
o anneau unitaire avec 1  0
tout élément différent de 0 est inversible pour 
o anneau unitaire et intègre
1/7

ESPACES VECTORIELS

dits linéairement indépendants lorsque
Une espace vectoriel sur K est un ensemble E munis de deux lois :
o une addition interne notée  qui fait de E un groupe abélien
o une multiplication externe par des scalaires vérifiant :
   x  y  x   y



    x   x   x
   x      x
Propriétés :
 x
iI
i i
 0  i  I , i  0 .

Si la famille n’est pas libre on dit qu’elle est liée et que les vecteurs
xi sont linéairement indépendants.

Tous les éléments d’une famille libre sont distincts et non nuls.
Toute sous-famille d’une famille libre est libre. Toute famille qui
contient une famille liée est liée. Une famille  xi iI est liée si et
1x  x
seulement si un des éléments est combinaison linéaire des autres.
Les éléments de K sont appelés des scalaires.
Les éléments de E sont appelés des vecteurs.

Une famille de vecteurs  xi iI est dite libre et les vecteurs xi sont
0  0
   x     x      x 
0x  0
 x  0   =0 ou x  0
Une sous-ensemble E’ de E est un sous-espace vectoriel si et
seulement s’il est stable par combinaison linéaire (  x   y  E’) et
si l’élément nul lui appartient (c'est-à-dire qu’il est non vide).

L’intersection d’un nombre fini de sev de E est un sev de E.

Soit A une famille de vecteurs de E. L’ensemble des combinaisons
linéaires de A forment le plus petit sev contenant A, on le note <A>
 tout élément de <A> s’écrit comme combinaisons linéaires de A
 <A> est le sev engendré par A
 A est une famille génératrice de <A>

Un ev est de type fini si et seulement s’il est engendré par un
nombre fini de vecteurs.

Une famille de vecteurs de E qui est à la fois génératrice et libre
est appelée base de E.

Soit E un ev de type fini et non réduit à {0}. Alors E a une base
finie et toutes les bases de E sont finies et ont le même cardinal.
Ce nombre s’appelle dimension de E et on le note dim E.
Convention : si E={0} alors dim E = 0 et E est engendré par .

Soit  bi iI une base de E. Tout élément x de E s’écrit de manière
unique comme combinaison linéaire de  bi iI et les coefficients
sont les coordonnées de x dans la base  bi iI .


E=E1+E2  xE, x1E1, x2E2, x=x1+x2
(somme)

E=E1  E2  xE, !x1E1, !x2E2, x=x1+x2
 E=E1+E2 et E1E2={0}
(somme directe)
Soit dim E = n et soit (b1,…,bp) une famille de vecteurs de E :
o (b1,…,bp) est libre  p  n
o (b1,…,bp) est génératrice  p  n
o (b1,…,bp) est libre maximale (p=n)  c’est une base
o (b1,…,bp) est génératrice minimale (p=n)  c’est une base
On dit que E1 et E2 sont supplémentaires. Le supplémentaire
d’un sev existe toujours mais il n’est pas forcément unique.
ALGEBRE MA2
2/7

Théorème de la base incomplète : soit E un espace vectoriel de
dimension n et soient (y1,…, yp) une famille de p vecteurs libres de
E avec p<n. Alors il existe n-p vecteurs (yp+1, …, yn) de E tels que
la famille (y1, …, yp, yp+1,…, yn) forme une base de E.

Soit E un ev de dimension n, et soit E’ un sev alors E’ est de type
fini et de dimension inférieure ou égale à n. E’=E  dim E’ = dim E

Soit F’ et F’’ deux sev de types finies alors on a
dim (F’+F’’) = dim F’ + dim F’’ – dim (F’F’’)

Soient E1…Ep des sev supplémentaires de dimensions finis de E
alors dim E = dim E1 + … + dim Ep.

Soient E, F des ev de types finis. Alors EF est de type fini et on a
dim EF = dim E + dim F.

On appelle algèbre sur K un ensemble A munis de deux lois
internes + et  sur A, une loi externe  ( K  A  A ) :
o  A, ,  est un ev
o
 A, , 
o
x, y  A,   K ,   x   y    x  y   x    y 
ALGEBRE MA2
est un anneau
APPLICATIONS LINEAIRES

Rappels :
f : E  F est injective  g : F  E, x  E, g f  x   x
f : E  F est surjective  h : F  E, y  F , f h  y   y
f : E  F est bijective  g : F  E, g f  id E et f g  id F

Soient E, F deux ev sur K et u une application de E dans F. On dit
que u est une application linéaire si et seulement si
x, y  E, u  x  y   u  x   u  y  et x  E,   K , u   x   u  x  .

Une AL d’un ev dans lui-même est appelé endomorphisme. On
appelle isomorphisme une AL bijective. Une AL qui est à la fois un
endomorphisme et un isomorphisme est appelé automorphisme.

Soit u une AL, alors u(0) est toujours égale à 0.

u est une AL  x, y  E, ,   K , u   x   y   u  x   u  y 

La composée, la somme, le produit de deux AL sont des AL.
La composée de deux isomorphismes est un isomorphisme.

Soient E, F deux ev et u : EF une AL (pas forcément bijective) :
o Si E’ est un sev de E, alors u(E’) est un sev de F
o Si F’ est un sev de F, alors u-1(F’) est un sev de E

Le sev u(E) de F est appelé l’image de u et est noté Im(u).
Le sev u 1 0 de E est appelé le noyau de u et noté Ker(u).

u est injective  Ker(u) = {0}
 l’image d’une famille libre de E est une famille libre de F
3/7

u est surjective  Im(u) = F
 l’image d’un générateur de E est un générateur de F

u est bijective  l’image d’une base de E est une base de F
APPLICATIONS LINEAIRES ET MATRICES

Soient u : E  F une AL et  ei iI une famille des vecteurs de E :
o

Soit u : E F, si E est de type fini alors la dimension de l’image de
u est aussi appelé rang de u et on note Rg(u).
o

dim E = dim Ker(u) + Rg(u) = dim Ker(u) + dim Im(u)
o

Soient deux AL u : EF et v : FG alors :
o Rg(v u)  inf(Rg(u), Rg(v))
o u est surjective  Rg(v u) = Rg(v)
o u est injective  Rg(v u) = Rg(u)
o

 ei iI engendre E  u  ei iI engendre u(E)
u  ei iI est libre   ei iI est libre
 ei iI est libre et u est injective  u  ei iI est libre
u bijective    ei iI base de E  u  ei iI base de u(E) 
Soient  bi iI une base de E et
 fi iI
une famille de vecteurs de F.
Il existe une unique AL u : EF telle que u(bi)=fi pour tout i dans I.
o u est injective   fi iI est libre
 fi iI est génératrice
u est bijective   fi iI est une base
o u est surjective 





Soit u : EF une AL, E et F étant de types finis :
o u est injective  Rg(u) = dim E
o u est surjective  Rg(u) = dim F
o dim E = dim F  (u est injective  u est surjective)
Soit p un endomorphisme de E :
p est un projecteur  p p = p (ou p²=p).
Soit p un projecteur sur un ev E. On a :
o E = Im(p)  Im(idE-p)
o Ker(p) = Im(idE-p)
o Im(p) = Ker(idE-p)
L’ensemble des automorphismes de E est un groupe par rapport à
la composition des applications linéaires. Il est noté Aut(E) ou
GL(E) et on parle de groupe linéaire.
L’ensemble L (E,F) des AL de E dans F est un sous-espace
vectoriel de FE = {f : EF}. Lorsque E = F, L (E) est muni d’une
addition, multiplication avec scalaire et, en plus, une multiplication
interne donnée par la composition des AL (algèbre).
ALGEBRE MA2
o

Soit E et F deux ev et  bi iI un base de E. L’application qui à tout
u dans L (E,F) associe u  bi iI dans FI est un isomorphisme.

L’addition et la multiplication par un scalaire donne à Mm,n(K) une
structure d’ev/K. L’élément neutre est la matrice nulle notée 0.
L’application Mm,n(K)  (Km)n qui à toute matrice A associe
 c1  A , , cn  A est un isomorphisme d’ev/K.
L’application Mm,n(K)  (Kn)m qui à toute matrice A associe
l1  A , , lm  A est un isomorphisme d’ev/K.
La famille des matrices Er,s (tous les éléments sont nuls, sauf celui
à l’intersection de la ligne r et de la colonne s qui vaut 1) est une
base de Mm,n(K). La famille de matrices Er,s où 1≤r≤m et 1≤s≤n est
appelé base canonique (standard) de Mm,n(K).
4/7

Soient u : E  F une AL et   e1 ,
en  ,   f1 , f m  des bases
respectives de E, F. La matrice de u par rapport aux bases  et 
est donnée par :
1n 
 11


M  ,  u   
  M m,n  K 

 mn 
 m1

M ,  v u   M ,  v   M , u 

La matrice de passage de la base   e1 ,

  e1 ,
où les coefficients de la colonne j sont les coordonnées du vecteur
u(ej) dans la base  . Les  ij (1  i  m et 1  j  n) sont uniquement
déterminés, de sorte que soit vérifié :
u  e j     ij f i
Soient E, F, G des ev munis de bases  ,  ,  .
Soient u : E  F et v : F  G des AL alors :
en
 est la matrice
en  vers la base
P ,   M ,   id  . Les coefficients de la
colonne j sont les coordonnées du vecteur ej’ dans la base  .
Remarque : P ,  est inversible et P ,    P ,  .
1
m

i 1


X  P ,  X 
Soient u un endomorphisme de E et  une base de E :
u est un isomorphisme  M  ,  u  est inversible
 M  ,  u 1    M  ,  u  
Soient u une AL qui à tout  x1 ,
1
, xn   E associe  y1 ,
 ,  deux bases respectives de E, F. Alors on a :
, ym   F et
 x1   y1 
   
M  ,  u       
x  y 
 n  m

Soient X, X’ les coordonnées de x dans les bases  et   alors :

Soient u une AL de E dans F,  et   deux bases de E,  et  
deux bases de F. Alors on a M,   u   P, M ,  u  P , 

A, A’  Mm,n(K) sont équivalentes (notation A A’)
  P  GLn(K),  Q  GLm(K), A’=QAP
Remarque : M  , et M  ,  sont équivalentes.

réflexivité
symétrie
transitivité

Soit E un ensemble et R une partie de E². On dit que R est une
relation d’équivalence si et seulement si :
(notation e e’)
Soient E, F deux ev/K et  ,  deux bases respectives de E, F :
u1 , u2  L  E, F  , ,  K, M ,  u1  u2    M , u1    M , u2 
A A
A A’  A’ A
A A’ et A’ A’’  A A’’
R



ALGEBRE MA2
réflexivité
symétrie
transitivité
 eE, (e,e)R
(e,e’)R  (e’,e)R
(e,e’)R et (e’,e’’)R  (e,e’’)R
5/7




On appelle classe d’équivalence d’un élément xE l’ensemble des
éléments {eE / e x}. On la note x .
Le rang de AMm,n(K) noté rg A est la dimension du sous-espace
vectoriel de Km qui est engendré par les vecteurs colonnes de A.
Si u : E  F
(dim E = n, dim F = m)
est une AL alors :
rg u  rg M ,  u  où  ,  sont deux bases de E, F.
Soient AMm,n(K), BMn,p(K) alors :
o rg A ≤ inf (m,n)
o rg (AB) ≤ inf (rg A, rg B)
o P  GLn(K), Q  GLm(K), rg (QAP)=rg A
o m=n  (rg A = n  A  GLn(K))

A A’  rg A = rg A’

A, A’  Mn(K) sont semblables (notation A A’)

Le rang d’une matrice A est le plus grand entier r pour lequel il
existe une matrice carrée d’ordre rr extraite de A qui est
inversible.

Les ensembles des matrices symétriques et antisymétriques de
Mn(K) sont deux sous espaces vectoriels.

Si K est un corps, 02, alors Mn(K) = An(K)  Sn(K).

Si NMn(K) est triangulaire avec 0 sur la diagonale, alors Nn=0 et
donc, N est nilpotente d’indice inférieur ou égal à n.

Soit NMn(K). Si Nk=0 alors In-N est inversible et
 In  N 

Remarque : c’est une relation d’équivalence

A
A

S
S
A’  Ak A’k
A’  (A inversible  A’ inversible  A-1 A’-1
La trace d’une matrice carrée A, notée tr A, est la somme des
coefficients diagonaux. L’application qui associe une matrice
carrée à sa trace est linéaire et donc tr (aA+bB) = a tr A + b tr B.

Si AMm,n(K), BMn,m(K) alors tr(AB) = tr(BA).

Soient A et A’ deux matrices carrées. Si A

L’application qui associe une matrice à sa transposée est linéaire.
ALGEBRE MA2
S
A’ alors tr A = tr A’.
i 0
Soit E un ev/K. On appelle sous-espace affine de E toute partie A
de E de la forme F+a où F est un sev/K de E et a appartient à E.
càd : A = { x+a / xF}
Convention : on considère la partie vide comme un sea.
S
S
k 1
  Ni .
NOTIONS AFFINES
S
  P  GLn(K), A’=P’AP
1

Soient F, F’ deux sev de E, a et a’ deux éléments de E alors
F+a = F’+a’  F=F’ et a-a’ est dans F (ou F’).

Soit A un sea non vide, A=F+a. On appelle F la direction de A. La
dimension de F s’appelle dimension de A. Deux sea de même
direction sont dits parrallèles.
Les sea de dimension 0 (resp. 1, 2, n-1) sont appelés les points
(resp. droites, plans, hyperplans) de E.
6/7

Soient A1,…,An des sea de E, de direction F1,…,Fn alors
l’intersection des Ai est un sea et si A0 sa direction est
l’intersection des direction.

Soient RMn-p,n(K) avec rg R = n-p, et bKn-p.
{xKn / Rx=b} est un sea de dimension p.

Soit A un sea non vide de
de dimension p, alors il existe
RMn-p,n(K) avec rg R = n-p et bKn-p tel que A={xKn / Rx=b}.

Soit A un sea non vide de Kn et de dimension p, de direction F, et
soit b dans A, alors il existe RMn,p(K) telle que rg R=p et
A={Rx+b / xKp}.

Soient RMn,p(K) avec rg R = p, et soit bKn alors {Rx+b / xKp}
est un sea de dimension p et de direction F où F est le sev de K n
engendré par les vecteurs colonnes de R.

Soient E, F deux ev/K. Une application u : E  F est appelée
application affine si u = t v avec v : E  F une AL et t une
translation de F, càd qu’il existe a dans F tel que pour tout x de F,
t(x) = x+a.
Kn,

Soit u : E  F un AA et A dans E un sea de direction D. Alors u(A)
est un sea de F de direction v(D) avec v l’AL associée à u.

Soit u : E  F une AA et v l’AL associée alors :
u injective/surjective/bijective  v injective/surjective/bijective

Soit E un ev/K. Les AA bijectives de E dans lui-même forment un
groupe (pour la composition des applications) appelé le groupe
affine de E. Ce groupe est noté Aff(E).
Remarque : u(x)=v(x)+a

Soit u une AA de E dans F, u = t1 v1 et u = t2 v2, où v1, v2 sont
des AL de E dans F, et t1, t2 sont des translations de F. Alors v1=v2
et t1=t2.

Soit u : E  F une AA et u= t v. On appelle v l’AL associée à u.

Soient E, F, G des ev/K. u1 : E  F et u2 : F  G des AA. Alors :
o u2 u1 : E  G est une AA
o l’AL associée à u2 u1 est v2 v1 avec vi l’AL associée à ui
(i=1,2).
ALGEBRE MA2
7/7