Chapitre 4 : Systèmes d’équations et d’inéquations I Systèmes d’équations A] Vocabulaire 1) Equations linéaires Définition : x et y désignant deux inconnues, toute relation entre x et y qui peut s’écrire sous la forme ax+by+c= 0, où a, b et c sont trois réels, est appelée équation linéaire. Exemple : 2x + 3y = 5. Définition : Résoudre l’équation linéaire ax + by + c = 0, c’est trouver tous les couples (x0 ; y0) qui vérifient ax0 + by0 = c. Exemple : 2x + 3y = 5. Les couples solutions sont les coordonnées des points de la droite D d’équation 2x + 3y = 5. Tracer la droite. Définition : x, y et z désignant trois inconnues, toute relation entre x, y et z qui peut s’écrire sous la forme ax+by+cz = d, où a, b, c et d sont des réels donnés, est appelée équation linéaire à trois inconnues d’inconnues x, y et z. Exemple : 2x + 5y + 6z = 1. 2) Systèmes linéaires Définition : Un système linéaire de deux équations à deux inconnues est un système de la forme { ax + by = c ; a’x + b’y = c’où a, b, c, a’, b’ et c’ sont six réels. Exemple : { 2x + 3y = 5 ; 4x + 5y = –1 Définition : Résoudre un tel système, c’est trouver tous les couples (x ; y) vérifiant en même temps les deux équations. B] Résolution de système d’équations linéaires 1) Interprétation graphique Lorsque a et b ne sont pas simultanément nuls et quand il en est de même pour a’ et b’, résoudre un tel système revient à déterminer l’intersection des deux droites D et D’ où : D : ax + by = c D’ : a’x + b’y = c’ Il y a alors trois cas qui apparaissent : -1- Chapitre 4 : 1ère E.S. 2) Théorème Théorème : Soit { ax + by = c ; a’x + b’y = c’ où a, b, c, a’, b’ et c’ sont six réels. Si ab’ – ba’ 0 alors le système admet un unique couple solution ; Si ab’ – ba’ = 0 alors le système admet soit une infinité de solutions soit aucune solution. Faire le lien avec le graphe. 3) Exemples Il y a deux méthodes pour résoudre des systèmes linéaires que cela soit à deux ou trois équations : la substitution ou les combinaisons linéaires. Résoudre à l’aide des deux méthodes les systèmes suivants. Faire le premier avec eux avec les deux méthodes. 3x – 25y = 200 ;0 5x + y = –7 ;3x – 2y = –12 2x + 3y = 8 ;3x – y = 1 01x + 0 { { 5y = 3 Exercices 1, 2, 4, 5, 9p112. Exercice 67p115. 4) Systèmes de trois équations à trois inconnues Méthode de Gauss : On transforme le système en un système triangulaire que l’on sait parfaitement résoudre. Exemple : Résoudre le système suivant en utilisant la méthode de Gauss. { x + y + z = 6;2x – y + z = 3 ;x – y + 2z = 5 Exercice : Résoudre le système suivant : { 3x – 2y + z = 9 ;x + 2z = –3 ;x + y – 2z = 0 Exercices 24, 25p112. Les points des exercices 53, 54p114 pour trouver a, b et c tels que : y = ax2 + bx + c. Exercice 80p116. II Système linéaire d’inéquations A] Régionnement du plan par une droite Propriété : La droite D d’équation y = ax + b délimite deux demi-plans : L’ensemble des points du plan tels que y > ax + b qui est l’ensemble des points au-dessus de la droite. (Faire un graphe). L’ensemble des points du plan tels que y < ax + b qui est l’ensemble des points au-dessous de la droite. (Faire un graphe). Une droite horizontale délimite deux demi-plans. (Faire un graphe). Une droite verticale délimite deux demi-plans. (Faire un graphe). Démonstration : ADMIS Exercices 34, 35, 36, 39, 40, 41, 45, 46p113. B] Résolution graphique de systèmes d’inéquations linéaires 1) Vocabulaire Définition : Soient a, b et c trois réels tel que b0, ax + by < c est une inéquation, son inéquation réduite est : -2Chapitre 4 : 1ère E.S. y < Error!. Définition : Un système de deux équations linéaires à deux inconnues est de la forme : { ax + by = c ; a’x + b’y = c’ où a, b, c, a’, b’ et c’ sont six réels. 2) Méthode graphique Mettre le système sous forme réduite. Tracer les droites frontières. Hachurer les demi-plans qui ne nous intéressent pas. L’ensemble des solutions est alors la partie qui est vierge. 3) Exemples Résoudre graphiquement les systèmes suivants : { x + y < 3 ;5x + y > 8 { x > –3 ;3x – y > 2 ;4x + 2y < 2 TD 4p107. Exercice 88p117. -3- Chapitre 4 : 1ère E.S.