1 Équations et inéquations 2 Calcul algébrique élémentaire 3

Mpsi - Programme de colles 2
Semaine du 26 au 30 septembre 2016
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Équations et inéquations
a) Définition en extension ou en compréhension d’un ensemble.
b) Prédicats (propositions dépendant d’une ou plusieurs variables), ensemble de définition (ensemble des valeurs des variables pour lesquelles le prédicat a un sens : vrai ou faux).
c) Résolution d’un problème P (x), ensemble des solutions : résoudre le problème c’est donner
l’ensemble des solutions en extension. Deux problèmes P (x) et Q(x) sont dits équivalents quand
ils ont les mêmes solutions. En pratique, on transforme un problème en un problème équivalent
par une transformation réversible.
Implication entre deux problèmes, candidats-solutions.
Lors des séances d’exercices de résolution d’équations, plusieurs pièges classiques ont été présentés et
comment s’en sortir, particulièrement le passage au carré.
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Calcul algébrique élémentaire
a) Identités remarquables : (a + b)2 , (a + b)3 , (a − b)2 , (a − b)3 , calcul rapide par triangle de Pascal
du développement de (a + b)n pour de petites valeurs de n.
b) Factorisation : a2 − b2 , a3 − b3 , plus généralement an − bn (formule de Bernoulli).
c) Lien entre racines et polynômes : si on connaît une racine a, alors on peut factoriser par x − a.
Cas particuliers des trinômes du second degré, somme et produit des racines.
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Systèmes linéaires
a) Équations linéaires, systèmes linéaires, systèmes linéaires homogènes.
b) Résolution d’un système linéaire par l’algorithme du pivot de Gauss, système échelonné par
lignes équivalent, système échelonné réduit, théorème : tout système linéaire est équivalent à
un unique système échelonné réduit (démonstration ultérieure). Conditions de compatibilité.
Inconnues principales, inconnues secondaires : les inconnues principales s’écrivent en fonction
des inconnues secondaires.
c) Types de solutions possibles : aucune solution, une seule solution, une infinité de solutions.
Note : l’algorithme a été présenté de façon formelle par un algorithme, après avoir été mis en œuvre sur
des exemples, l’important ici étant de le pratiquer ; l’algorithme présenté ne permet que des opérations
sur les lignes donc on ne permute jamais les inconnues, ceci pour garantir l’unicité du système échelonné
réduit équivalent
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Équations différentielles linéaires à coeff. constants
a) Premier ordre : solution de l’équation homogène, solution particulière dans le cas de seconds
membres simples (polynômes, exponentielles, fonctions circulaires).
b) Second ordre : idem.
Note : aucune preuve n’a été présentée, l’important encore étant de savoir résoudre des équations.
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