Transferts thermiques. Loi de Fourier.

LOI DE FOURIER.
TRANSFERTS THERMIQUES; LOI DE FOURIER.
Les pré requis mathématiques:
1. L'opérateur gradient: grad f
grad est un opérateur vectoriel du premier ordre agissant sur un
 f

 fx

champ scalaire: f ( x, y, z)  grad f   .
 y
 f
 z
grad f en M est défini par la relation: df  grad M f  d OM . Cette définition
intrinsèque du gradient permet d'expliciter les composantes du gradient
dans les autres systèmes de coordonnées.
Interprétation physique du gradient: grad M f est perpendiculaire à la surface
de niveau f(x,y,z) = Cste au point M, dirigé dans le sens de f .
2. L'opérateur divergence: div
a
div est un opérateur scalaire du premier ordre agissant sur un champ
ax
ay az
a


vectoriel: a  ay  div a  x 
x
y
z
a
 z
Définition intrinsèque de la divergence : div
a est la trace de la matrice ja-
cobienne du champ vectoriel 
a (utile pour expliciter la divergence en coordonnées cylindriques ou sphériques).
3. L'opérateur laplacien scalaire: f
La laplacien scalaire est un opérateur scalaire du deuxième ordre agissant sur un champ scalaire, défini intrinsèquement par: f  div grad f .
Expressions du laplacien scalaire en coordonnées :
2 f 2 f 2 f
Cartésiennes : f  2  2  2 .
x
y
z


Cylindriques :
f 
1   f  1  2 f  2 f

.
r  
r r  r  r 2  2 z 2
Sphériques :
f 
1   2 f 
1
 
f 
1 2 f
r

sin


.




  r 2 sin   2
r 2 r  r  r 2 sin   
Équation de Laplace:
C'est l'équation aux dérivées partielles telle que f = 0.
Avec des conditions aux limites imposées (l'équivalent des conditions initiales pour une équation différentielle ordinaire) et pour une géométrie donnée, la solution de l'équation de Laplace est unique.
De façon générale, les fonctions solution de l'équation de Laplace sont
appelées fonctions harmoniques.
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LOI DE FOURIER.
I : Les différents modes de transferts thermiques.
1°) Transfert par rayonnement; loi de Stefan.





C'est le seul mode à pouvoir se propager dans le vide.
Trouve son origine dans le mouvement des charges électriques présentes dans la matière.
Le spectre émis est continu et d'autant plus décalé vers les fréquences élevées (c'est-à-dire les grandes
énergies) que la température est plus grande. La longueur d'onde (m) du maximum d'énergie rayonnée
dépend de la température T suivant la loi dite du déplacement de Wien: m.T  3 mm.K.
L'étude du rayonnement a conduit le physicien allemand Max Planck au concept de quantum d'énergie
pour interpréter le spectre émis par un corps noir (objet physique défini comme un absorbeur intégral
sur la totalité du spectre électromagnétique). Le rayonnement émis par un corps noir en équilibre
thermodynamique et radiatif ne dépend que de sa température T et en rien de sa nature (des atomes
qui le constituent).
Dès 1879, le physicien autrichien Stefan proposait une loi expérimentale reliant la puissance surfacique
totale (sur toutes les longueurs d'onde du spectre) émise par un corps noir en équilibre thermodynamique et radiatif dans un demi espace (angle solide de 2) en fonction de la seule température du
corps noir. Cette loi trouva sa justification théorique par la suite, à la lumière des travaux de Planck. On
retient la loi de Stefan:
4
P=
.T4
(P en W/m²), avec  = 5.7
10-8 usi.
 T 
2
(ou P  
 W /m )
 64,7 
2°) Transfert par convection; loi de Newton.



Ce mode suppose la présence d'un milieu matériel.
Il se fait avec transfert de matière dans un fluide initialement (ou maintenu) hors équilibre.
Dans de nombreux cas, au transfert de chaleur convectif s'ajoute un transfert conductif (voir 3°) au niveau de la paroi de la canalisation dans laquelle s'écoule le fluide: on parle alors de couplage conductoconvectif. Le flux thermique surfacique, noté jcc (c'est-à-dire la chaleur transférée par unité de temps et
par unité de surface) peut dans de nombreux cas être décrit par la loi dite de Newton:
jcc = h.(Tparoi - Tfluide), où h est un coefficient empirique appelé coefficient de transfert convectif. L'unité
SI de h est W.m-2.K-1.
Le flux thermique est dirigé dans le sens des T .
Type de transfert
Convection naturelle
Convection forcée
h (W.m-2.K-1).
5 - 30
100 - 1000
10 - 300
300 - 12 000
50 - 1700
fluide
gaz
eau
gaz
eau
huile
3°) Transfert par conduction; loi de Fourier.


Le transfert par conduction nécessite la présence d'un milieu matériel.
Contrairement à la convection, la conduction se fait sans mouvement macroscopique de matière: c'est
donc le mode de transfert d'énergie prépondérant dans les solides.
La conduction correspond à un mode de transfert d'énergie interne. Elle se produit
dans un milieu hors équilibre. Le maintien de ce déséquilibre, ou le retour à l'équilibre se
traduit par un flux thermique (ou flux de chaleur) émis des régions chaudes vers les régions froides.

Au flux thermique  (chaleur transférée par unité de temps à travers une surface ), on associe un
vecteur noté 
jth appelé vecteur densité de flux (ou de courant) thermique (ici d'origine conductif), dont
la norme représente le flux thermique surfacique, en W.m-2.
La Puissance thermique transférée par conduction s’écrit :     jth  dS 

 Loi de Fourier:
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LOI DE FOURIER.
La loi de Fourier se traduit par la relation: jth  .grad T .
 ( toujours positif) est la conductivité thermique du matériau. L'unité SI de  est le
W.m-1.K-1.  dépend du matériau et (un peu) de la température.
Le signe moins dans la loi de Fourier traduit l'orientation de 
jth vers les basses températures.

Ce transfert de chaleur caractérise une évolution intrinsèquement irréversible. Rappelons-nous l'énoncé
historique de Clausius du 2nd principe: "la chaleur ne passe pas naturellement des régions froides vers
les régions chaudes".
 Quelques valeurs typiques de  (en W.m-1.K-1):
argent
418
verre
cuivre
390
béton
aluminium
238
brique
laiton
120
eau( à 20 °C)
fer
82 corps humain
plomb
35 plâtre
acier inox
16
ciment, liège
~1
0,9 à 1,75
0,84
0,6
0,5
0,46
0,3
bois
huile minérale
laine de verre
mousse de polyuréthane
polystyrène expansé
air
argon
0,12 à 0,25
0,13
0,04
0,03
0,0039
24.10-3
18.10-3
II : L'équation de diffusion (ou équation de conduction).
1°) Expression la plus générale de l'équation de diffusion.
Soit un solide homogène et isotrope de masse volumique et de capacité calorifique massique c, hors
équilibre (dont la température n'est pas uniforme), à l'intérieur duquel peuvent exister des sources internes
d'énergie (géothermie, radioactivité, source de chaleur, … ) qu'on caractérise par leur puissance volumique pth.
Soit 
j le vecteur densité de courant thermique dans le matériau.
th
Un bilan énergétique établi sur un élément de volume d3 = dxdydz pendant une durée dt conduit à
l'équation aux dérivées partielles appelée équation de conduction (on dit aussi diffusion) dont l'expression la
T
 p th  div jth .
plus générale est:  .c
t
2°) Diffusion sans sources internes: l'équation de Fourier.
 En l'absence de sources internes (pth = 0) , en supposant que le milieu suit la loi de Fourier et si l'on considère  indépendant de la température, on aboutit à l'équation dite "de la chaleur" ou "équation de FouT
 .T .
rier":  .c
t
 On pose a 

, coefficient appelé "diffusivité thermique", dont l'unité SI est le m2/s.
 .c
On retient l'équation de Fourier sous la forme:
 Diffusivités thermiques de quelques matériaux:
Cuivre
114 10-6
acier inox
-6
Aluminium
86 10
verre
Laiton
33 10-6
bois
4 10-6
0,58 10-6
0,45 10-6
T
 a.T .
t
sol
eau à 25 °C
corps humain
6 10-7
1,4 10-7
~ 1 10-7
 Analyse qualitative de l'équation de Fourier.
1. Remarquez les rôles dissemblables joués par les variables spatiales et temporelle.
En particulier, l'inversion du temps (changer t en -t) ne laisse pas l'équation invariante:
cela traduit l'irréversibilité physique du phénomène de conduction thermique ce qui permet de définir une "flèche du temps".
2. L'équation de Fourier est linéaire. Ainsi:
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LOI DE FOURIER.
Toute combinaison linéaire de fonctions solutions de l'équation de Fourier est aussi solution. On peut aussi chercher à résoudre l'équation dans  et prendre pour solution la
partie réelle de la solution complexe trouvée.
Remarque: La résolution de l'équation de Fourier est assez complexe en général et peu de configurations se prêtent à une résolution
numérique.
Si on se limite à un problème à une dimension (T fonction de x et du temps t), et suivant les conditions aux limites imposées,
nous pouvons chercher certains types de solutions particulières:
 T(x,t) = f(x).g(t) (méthode de séparation des variables, pour étudier la réponse forcée à une excitation sinusoïdale par
exemple).
 x2 
A
 (Étude de la diffusion d'un pic de température).
 T ( x, t ) 
exp  

t
 4at 

T ( x, t )  A
 
2
x
2 at
exp( u 2 )du (pour le problème de la température de contact en régime dynamique).
0
3. Analyse dimensionnelle.
Revenons sur la dimension du coefficient de diffusivité: a en m2/s. Soit ainsi  et  une longueur et une
durée caractéristique du phénomène de conduction.
On peut écrire:
T
a  t
 T
2

2

. Cette relation entre  et  montre que la diffusion s'étire en longueur
x 2
dans le temps à mesure qu'on s'éloigne du centre originaire de la diffusion.
Donc, si pour une barre de longueur L0, il faut attendre une durée T0 pour obtenir à peu près le régime
permanent, il faudra attendre 4 fois plus longtemps avec une barre de longueur 2L0.
3°) Cas d’un écoulement unidirectionnel, sans termes de production interne.
a) Diffusion axiale (suivant Ox) à section constante S.
 En l’absence de pertes latérales par rayonnement ou convection, l’équation de Fourier s’écrit dans ce

T
 2T
 . 2 .
cas :  .c
t
x
On suppose maintenant que la surface latérale du conducteur cylindrique (rayon R) n’est pas isolée du
milieu extérieur à la température Te : les échanges thermiques sont régis par la loi de Newton (flux
conducto-convectif) : dP’ = h.( T(x) –Te ).dSlat, où dP’ est la puissance thermique échangée par la surface latérale élémentaire (dSlat = 2R.dx).
(L’échange conducto-convectif est une grandeur algébrique et comptée ici positivement si le flux de
chaleur est dirigé vers l’extérieur, compté donc comme une perte).
Le bilan énergétique conduit alors l’équation suivante :  .c
T
 2T 2h
 . 2  T ( x)  Te  .
t
R
x
b) Diffusion axiale à section variable S(x), sans pertes latérales.
Le bilan énergétique conduit à l’équation :  .c
T
1 
T 
 .
 S ( x)
.
t
S ( x) x 
x 
III : Résolution de l'équation de diffusion thermique.
1°) Réponse en régime permanent, sans termes de production.
En régime permanent et sans sources internes dans le matériau, la température (champ
scalaire des variables d'espace) est solution de l'équation de Laplace:
T = 0. On a aussi div jth  0 .
De plus le flux thermique à travers une surface  est constant:  = Cste.
La solution (qu'on sait unique compte avec des conditions aux limites fixées) dépend de la géométrie du
problème posé.
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LOI DE FOURIER.
 2T
 Cas d'un problème unidimensionnel: T(x).
Dans ce cas: T  2 .
x
La solution est : T(x) = A.x + B.
La loi de Fourier s'écrit alors: jth = -.A = Cste.
1   T 
r
.
r r  r 
La loi de Fourier s'écrit alors: jth = -.A/r.
 Cas d'un problème à symétrie cylindrique: T(r). Dans ce cas: T 
La solution est : T(r) = A.ln(r) + B.
 Notion de résistance thermique:
Soit th le flux de conduction thermique à travers une surface S d'un matériau de conductivité thermique
 La loi de Fourier et la conduction thermique présentent le même formalisme que la loi d'Ohm et la
conduction électrique associée. Précisons ces analogies:
Loi d'Ohm : conduction électrique
Loi de Fourier : conduction thermique.
j   E   grad V
Potentiel électrique V
I (=flux de 
j à travers )

Conductivité électrique (en -1.m-1)
V  V2
Résistance électrique : R  1
I




j th   grad T
Température T
th (= flux de 
jth à travers )
Conductivité thermique (en W.m-1.K-1)
T  T2
Résistance thermique : R th  1
 th
On retient la définition générale de la résistance thermique : R th 
T1  T2
.
 th
Les analogies établies ci-dessus, montrent que les lois d'associations des résistances
thermiques sont les mêmes que celles des résistances électriques.
 Cas d'une propagation unidimensionnelle à travers un matériau de longueur  et de section s:
1
R th 
.
th

 s
s
 Cas d’une propagation radiale à travers un cylindre (problème à symétrie cylindrique).
Le flux conductif est radial, ne dépendant que de la distance r à l’axe
Oz, s’écoulant entre deux cylindres coaxiaux de rayons R1 et R2 (R2 >
R1).
Pour un tronçon de longueur , on établit que :
Rth 
1

ln 

R2
R1
th


R1 
.
2
R2
2°) La sensation de "chaud" ou de "froid" : température de contact.
 Étude statique du problème en régime permanent.
Soit 2 cylindres de même section S et de même longueur , constitués de 2 matériaux différents de conductivités thermiques 1 et 2 et
traversés par un flux thermique th. On suppose un régime permanent
établi. La température de contact Tc à l'interface des deux matériaux
 T  2T2
vaut : Tc  1 1
.
1  2
Exemples: contact main (1 = 0,5) à 37 °C
contact main à 37 °C
sur
sur
t
S
h
bois (2 = 0,2) à 20 °C :
acier inox (2 = 16) à 20 °C :
 Étude dynamique.
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

T1
1


Tc
Tc  32 °C.
Tc  20,5 °C.
2
T2
LOI DE FOURIER.
On affine le modèle précédent: on suppose maintenant que les cylindres sont illimités et emboîtés en x = 0. L'extrémité gauche
(x  - ) du cylindre 1 est maintenue à la température constante T 1, tandis que l'extrémité droite (x  ) du cylindre 2 est maintenue à T2 constante.
On admet qu'à l'interface, il s'établit instantanément une température stationnaire T c. On détermine alors le profil de température, qui fait appel à la fonction erf(y) (fonction error), avec y  x
. En écrivant l'égalité du flux thermique à l'interface à
2 at
tout instant (j1(x = 0, t) = j2(x = 0, t)), on aboutit à :
bT b T
Tc  1 1 2 2 , où b1 et b2 sont les effusivités thermiques des matériaux 1 et 2.
b1  b2
L'effusivité est définie par: b   .c. 
thermique non stationnaire.
Cuivre
b (usi)
36,5 103
aluminium
23,9 103

a
. Elle caractérise la réponse d'un milieu à une perturbation
plomb
7,2 103
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acier inox
14 103
corps humain
1,8 103
bois
0,4 103
LOI DE FOURIER.
3°) Réponse en régime sinusoïdal forcé.
On s’intéresse au profil de température dans le sous-sol, modélisé comme un milieu homogène de diffusivité a (a  6 10-7 m2/s),
localement assimilé à un demi espace infini. Le plan yOz est la surface du sol et l’axe Ox est la verticale descendante.
On cherche la réponse T(x,t) dans le sous sol à une excitation en surface périodique sinusoïdale de la forme :
T(x=0, t) = T0 + 0 cos(.t)
T0 représente la température moyenne au dessus du sol et 0 l'amplitude des variations (journalières ou saisonnières selon le
problème envisagé).
Après un régime transitoire l'évolution de la température au niveau du sol va imposer des variations sinusoïdales de celle du
sous-sol, la réponse se faisant avec la même fréquence que l'excitation (phénomène très général en physique pour les systèmes linéaires).
On pose à priori une solution de la forme: T(x,t) = T 0 + Re((x,t)), en recherchant la solution complexe (x,t) par la méthode de
séparation des variables: (x,t) = f(x).exp(jt) (f à priori à valeur complexe).
f est solution de l'équation différentielle:
d2 f
dx
2
j
2

2
f  0 , avec  
2a

.
 est homogène à une longueur. On l'appelle souvent épaisseur (ou profondeur) de peau.
La résolution de cette équation, en se limitant aux solutions physiquement acceptables compte tenu du problème posé conduit
finalement à l'expression du profil de température dans le sous-sol:
x
 x

T ( x, t )  T0   0 .exp   .cost   .

 

On constate que la fluctuation de température est négligeable au delà d'une profondeur de quelques Pour ce problème particulier,  est appelé épaisseur thermique.
A noter aussi le décalage temporel entre l'excitation et l'effet, décalage d'autant plus important que la profondeur est grande et
x
1
.
x
 .
2.a
Cas des fluctuations journalières :
Cas des fluctuations annuelles :
 petit: t 
jour  73 10-6 rad/s;
an  2 10-7 rad/s;
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  13 cm.
  2,5 m.
t à 25 cm  7 H 20 min
t à 5 m  4 mois.