APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE 1 ) RELATIONS METRIQUES DANS LE TRIANGLE A A ) NOTATIONS USELLES Soit ABC un triangle quelconque. L’usage est de noter : BC = a , AC = b , AB = c S l’aire du triangle A = BAC , B = CBA , C = BCA H I B B ) THEOREME D’AL KASHI a ² = b ² + c ² – 2 b c cos A On a : b c C a Ce théorème est aussi appelé théorème de Pythagore généralisé … Preuve : On a Error! = Error! + Error! = Error! – Error! Ainsi a ² = (Error! ) ² = (Error! – Error! ) ² = AC ² + AB ² – 2 Error! . Error! = b ² + c ² – 2 b c cos Error! Rem : De la même façon ( par permutation circulaire ) , on montre que : b ² = a ² + c² – 2 a c cos B et c ² = a ² + b ² – 2 a b cos C Si le triangle est rectangle en A , alors A = , cos A = 0 et … a ² = b² + c² ( On retrouve le théorème de Pythagore ) 2 C ) LE THEOREME DE LA MEDIANE Soit I le milieu de [ AB ]. On a : AB ² + AC ² = 2 AI ² + BC ² 2 Ona aussi : Error! . Error! = AI ² – Error! BC ² et AB ² – AC ² = 2 Error! . Error! Preuve : On a AB ² = ( Error!) ² = ( Error!+Error!) ² = AI ²+ IB ² + Error!. Error! Et AC² = ( Error!) ² = ( Error! –Error!) ² = AI ²+ IB ² – Error!. Error! En additionnant membres à membres on obtient : BC ² AB ² + AC ² = 2 AI ² + 2 IB ² = 2 AI ² + 2 D ) AIRE D’UN TRIANGLE On a : S = 1 b c sin A 2 Preuve : L’aire du triangle ABC est donnée par S = 1 AB CH 2 Deux cas se présentent : si l’angle A est aigu, CH = AC sin A si l’angle  est obtus, CH = AC sin CAH Or CAH = –  , donc sin CAH = sin ( – A ) = sin A Dans les deux cas, on S = 1 AB AC sin A = 1 b c sin A 2 2 Rem : De la même façon ( par permutation circulaire ) , on montre que S = 1 a c sin B et 2 S = 1 a b sin C 2 E ) FORMULE DES SINUS On a : a sin A = b sin B = c sin C Preuve : On a S = 1 b c sin A = 1 a c sin B = 1 a b sin C 2 2 2 En multipliant par 2 , on obtient 2 S = sin A = sin B = sin C abc abc a b c En passant aux inverses ( les sinus des angles d’un triangle sont différents de zéro ) , on obtient a sin A = b sin B = c sin C Rem : 1 ) TRIANGLES ISOMETRIQUES Dire que deux triangles ABC et A’B’C’ sont isométriques signifie que AB = A’B’ , AC = A’C’ et BC = B’C’ . Grâce au théorème d’Al Kashi, on montre facilement que : Si deux triangles ABC et A’B’C’ sont isométriques, alors A = A ’ , B =B’ et C = C ’ Si A = A ’ , B= B’ et BC = B’C’ , alors les triangles sont isométriques . Si AB = A’B’ , AC = A’C’ et A = A ’ , alors les triangles sont isométriques . 2 ) TRIANGLES SEMBLABLES Dire que deux triangles ABC et A’B’C’ sont semblables signifie que A = A ’ , B = B’ et C = C ’ En appliquant la formule des sinus aux deux triangles, on montre facilement la proportionnalité des côtés : a = b = c a' b' c' 2 ) DROITE A) CARACTERISATION D’UNE DROITE Un vecteur normal à une droite d est un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de d . d Error! Error! A Soit d une droite, A un point de d et Error! un vecteur normal à d . M d La droite d est l’ensemble des point M du plan tels que Error!. Error!= 0. La droite d est l’ensemble des points M du plan tels que C'est à dire Error! et Error! sont orthogonaux … M d Error!. Error!= 0 Rem : Pour montrer que deux droites sont perpendiculaires on peut utiliser le produit scalaire et les vecteurs directeurs . B ) APPLICATION : EQUATION D’UNE DROITE DONT ON CONNAIT UN POINT ET UN VECTEUR NORMAL Soit (O; Error!, Error!) un repère orthonormal et Error! ( a ; b ) un vecteur non nul. Si le vecteur Error! est normal à une droite d , alors d a une équation de la forme a x + b y + c = 0 ( où c est un réel ) Réciproquement, toute droite ayant une équation de la forme a x + b y + c = 0 ( avec a 0 et b 0 ) admet le vecteur Error! ( a ; b ) comme vecteur normal. Preuve : Soit A ( x 0 ; y 0 ) un point de d et M ( x ; y ) un point du plan , alors : M d Error!. Error!= 0 On a Error! ( a ; b ) et Error! ( x – x 0 ; y – y 0 ) Ainsi Md a (x – x 0 ) + b (y – y 0 ) = 0 a x + b y – ( a x 0 + b y 0) = 0 ax+by+c=0 , en posant c = – ( a x 0 + b y 0 ) Si la droite d a pour équation a x + b y + c = 0 , alors le vecteur Error! ( – b , a ) est un vecteur directeur de d . ( facile à montrer ) Or Error! . Error! = a ( – b ) + b a = 0 Ainsi Error! et Error! sont orthogonaux et Error! est normal à d . 3 ) CERCLE A ) CARACTERISATION D’UN CERCLE DE CENTRE ET DE RAYON DONNES Preuve : Soit A un point du plan et r un réel positif . Le cercle C de centre A et de rayon r est l’ensemble des points M du plan tels que Error! 2 = r 2 APPLICATION : EQUATION D’UN CERCLE DE CENTRE ET DE RAYON DONNES On se place dans un repère orthonormal (O; Error!, Error!) . Soit A un point de coordonnées ( x 0 ; y 0 ) , un réel positif r et C le cercle de centre A et de rayon r . Soit M un point du plan . M C AM = r AM 2 = r 2 … Pour tout point M ( x ; y ) du plan , Error! a pour coordonnées ( x – x 0 ; y – y 0 ) et Error! 2 = ( x – x 0 ) 2 + ( y – y 0 ) 2 Le cercle C est donc l’ensemble des points M ( x ; y ) du plan tels que ( x – x 0 ) 2 + ( y – y 0 ) 2 = r 2 M B ) CARACTERISATION D’UN CERCLE DE DIAMETRE DONNE Soit A et B deux points distincts du plan. A B O La cercle C de diamètre [ AB ] est l’ensemble des points M du plan tels que Error! . Error! = 0 . Preuve : C Comme vous le savez depuis longtemps ( ! ! ! ) , le cercle C , privé des points A et B ,est l’ensemble des points M du plan tels que le triangle MAB est rectangle en M , c'est à dire l’ensemble des points M tels que Error! . Error! = 0 . D’autre part, si M = A ou M = B , alors Error!= Error! ou Error! = Error! et on a encore Error! . Error! = 0 APPLICATION : EQUATION D’UN CERCLE DE DIAMETRE DONNE Etude d’un exemple : On se place dans un repère orthonormal : Déterminons une équation du cercle C de diamètre [ AB ] avec A ( – 1 ; 3 ) et B ( 2 ; 2 ) . Soit M ( x ; y ) un point du plan . On a M C Error! . Error! = 0 Or Error! ( – 1 – x ; 3 – y ) et Error! ( 2 – x ; 2 – y ) Ainsi M C ( – 1 – x ) ( 2 – x ) + ( 3 – y ) ( 2 – y ) = 0 x ² + y ² – x – 5 y + 4 = 0 Rem : En développant ( x – x 0 ) 2 + ( y – y 0 ) 2 = r 2 ( trouvé en A ) ) on obtient une équation de la forme x ² + y ² + 2 a x + 2 b y + c = 0 ( où a , b et c sont des réels ) , mais réciproquement une équation de cette forme ne représente pas toujours un cercle . Ex : x²+y²–x–3y+3=0 (x²–x)+(y²–3y)+3=0 ( x – 1 ) ² – 1 + ( y – 3) ² – 9 + 3 = 0 2 4 2 4 1 3 1 (x– )²+(y– )² =– 2 2 2 Ce qui est impossible ; l’ensemble des points vérifiant cette relation est donc l’ensemble vide . 4 ) TRIGONOMETRIE A ) FORMULES D’ADDITION Pour tout réel a et b : cos ( a – b ) = cos a cos b + sin a sin b ; cos ( a + b ) = cos a cos b – sin a sin b sin ( a – b ) = sin a cos b – sin b cos a ; sin ( a + b ) = sin a cos b + sin b cos a Preuve : + Montrons que cos ( a – b ) = cos a cos b + sin a sin b On considère le cercle trigonométrique C de centre O muni du repère orthonormal direct (O ; Error!, Error!) . On note A et B les points de C , définis par ( Error! , Error! ) = a et ( Error!, Error! ) = b . Les coordonnées de A et de B sont respectivement ( cos a ; sin a ) et ( cos b ; sin b ) . B Error! O D’autre part, d’après la relation de Chasles, on a : A b a Error! (Error! , Error! ) = (Error! , Error! ) + ( Error! , Error! ) = – ( Error! , Error! ) + ( Error! , Error! ) = b – a Calculons alors de deux manières le produit scalaire Error! . Error! : avec les coordonnées : Error! . Error!= cos a cos b + sin a sin b en utilisant cos ( Error! , Error! ) : Error! . Error! = OA OB cos ( Error! , Error! ) = cos ( b – a ) Ainsi cos ( a – b ) = cos a cos b + sin a sin b Montrons que cos ( a + b ) = cos a cos b – sin a sin b Il suffit d’écrire cos ( a + b ) = cos ( a – ( – b ) ) … Montrons que sin ( a + b ) = sin a cos b – sin b cos a Il suffit d’écrire sin ( a + b ) = cos ( – ( a + b ) ) = cos ( ( – a ) – b ) = … 2 2 Montrons que sin ( a – b ) = sin a cos b + sin b cos a Il suffit d’écrire sin ( a – b ) = sin ( a + ( – b ) ) = … Ex : En remarquant que = – , on peut calculer les valeurs exactes de cos et sin . 12 3 4 12 12 cos = cos cos + sin sin = … = 6 + 2 12 3 4 3 4 2 sin = sin cos – sin cos = … = 6 – 2 12 3 4 4 3 2 B ) FORMULES DE DUPLICATION ET DE LINEARISATION FORMULES DE DUPLICATION FORMULES DE LINEARISATION sin 2 a = 2 sin a cos a cos ² a = 1 + cos 2 a 2 cos 2a = cos ² a – sin ² a = 2 cos ² a – 1 = 1 – 2 sin ² a sin ² a = 1 - cos 2 a 2 Preuve : En prenant b = a , dans les formules précédentes on obtient sin 2 a = 2 sin a cos a et cos 2a = cos ² a – sin ² a . En utilisant la relation cos ² a + sin ² a = 1 , on obtient cos 2 a = 2 cos ² a – 1 et cos 2a = 1 – 2 sin ² a . On en déduit les deux dernières formules.