représentations graphiques

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REPRESENTATIONS GRAPHIQUES
I) FONCTIONS A UNE VARIABLE
La représentation graphique d'une fonction f (à une variable x) est la courbe d'équation : y = f (x)
1) On peut lire les propriétés d'une fonction à partir de sa représentation graphique :
Ex : Soit f la fonction définie par : x
x2 − 4 x + 2
y
Fonction décroissante
sur [
;
]
Cf
Antécédent
de
j
[
O
1
i
]
x
Intervalle d'étude
[
;
]
Image de
-2
f admet un minimum
de
en
sur [
;
]
2) Avec une courbe, on peut résoudre graphiquement une équation ou une inéquation
Ex : Soit f la fonction définie sur  par x
y
Cf
y=
x+5
3
j
O
i
x
x3 + Error! x2 − Error! x
 Résoudre graphiquement f (x) = Error!:
Les solutions sont les abscisses des points d'intersection de Cf avec
la droite d'équation y = Error!
S = { −2 ;  ; 1} avec   −0,8
 Résoudre graphiquement f (x) > Error! :
Les solutions sont les abscisses des points de Cf situés au dessus de
la droite d'équation y = Error!
S = ]−2 ;  [ U ]1 ; +[
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II) FONCTIONS A DEUX VARIABLES
1) Préliminaire : Repère dans l'espace
Dans la suite du chapitre, nous aurons besoin de placer des points dans un repère de l'espace.
Pour cela, on introduit un 3ème axe appelé "axe des cotes" et les points ont 3 coordonnées : l'abscisse, l'ordonnée
et la cote.
Ex 1: Quelles sont les coordonnées des points ci-dessous ?
O ( ;
;
)
B ( ;
;
)
C ( ;
;
)
D ( ;
;
)
E ( ;
;
)
F ( ;
;
)
G ( ;
;
)
H ( ;
;
)
I ( ;
;
)
Ex 2: Quelles sont les coordonnées des points ci-dessous ?
J ( ;
;
)
K ( ;
;
)
L ( ;
;
)
M( ;
;
)
N ( ;
;
)
z
E
I
F
H
G
k
O
j
i
x
y
D
B
C
10
9
L
8
J
7
M
6
z
5
N
4
3
Remarque :
Le repère n'est pas représenté ici par 3 axes concourants mais par un
cube dont les cotés sont gradués. C'est la façon dont procèdent de
nombreux logiciels 3D
2
1
K
0
6
7
1
2
3
4
5
6
9
7
y
8
9
5
4
0
1
2
3
x
8
10
Ex 3: Placer ci-contre les points : P(7 ; 7 ; 2) ; Q(3 ; 7 ; 7) ; R(5 ; 7 ; 5)
1) Quelles sont les coordonnées de S le milieu de [QR] ?
xS = Error! =
; yS =
; zS =
2) Calculer la distance PQ
PQ = (xQ − xP)2 +
=
3) Quelle est l'équation du plan grisé ?
10
9
8
7
6
z
5
4
3
2
4) Quelle est l'équation du plan (yOz) ?
1
0
5) Griser le plan d'équation z = 2
1
7
2
3
4
5
y
6
7
9
8
9
10
8
6
4
5
0
1
2
3
x
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2) Fonction à deux variables
Il arrive fréquemment qu'une grandeur ne dépende pas d'une seule variable mais de plusieurs.
Ex 1: Le montant f de ma facture
annuelle d'électricité (en €) dépend
de x le nombre de kwh consommés
le jour et de y le nombre de kwh
consommés la nuit :
f (x ; y) = 102 + 0,1028 x + 0,0628 y
Ex 2: La tension u aux bornes d'une
résistance (en V) dépend de x la
valeur de cette résistance (en ) et
de y l'intensité du courant qui la
traverse (en A) :
u (x ; y) = x × y
Ex 3: Le volume v d'une casserole
(en L) dépend de x son rayon (en
cm) et de y la hauteur de ses bords
(en cm) :
v (x ; y) = Error!
30
300
1000
25
900
250
800
200
z
20
700
z
150
z
600
15
500
100
10
400
20
300
50
1
0,8
0,6
200
0
200 400
y
600
800
800
1000
600
400
x
200
0
100
0,4
0,2
0
200
400
600
x
(
;
;
)
(
;
;
800
y
5
15
10
0
10
15
x
0
1000
)
y
5
5
(
;
20
;
0
)
Lire des coordonnées de points sur les surfaces ci-dessus
Remarques :
 A travers ces trois exemples, on voit que la représentation graphique d'une fonction f à deux variables x et y
est une surface d'équation : z = f (x ; y)
 En maths, on est également amené à étudier des fonctions à 3 variables ou plus. Hélas il est difficile de les
représenter graphiquement !!
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3) Courbes de niveaux
Les courbes de niveaux d'une surface sont les courbes obtenues en reliant les points de la surface qui ont la
même cote.
Ex 1: En cartographie par exemple, elles permettent de connaître l'altitude des différents lieux et de mettre en
valeur les dénivelés :
Sur le plan ci-contre, on a tracé des courbes de
niveau tous les 25m de dénivelé.
y
500m
150
B 1) Quelles sont les coordonnées des points
A et B ?
125
200
250
A(
;
;
)
B(
;
;
)
A
x
O
100
250
2) Déterminer ci-contre le profil du terrain
entre A et B
200
150
B
100
A
Ex 2:
On a représenté ci-contre la surface d'équation z = x (5 − y)
1) Préciser sur le graphique quelles graduations correspondent aux
abscisses, aux ordonnées et aux cotes
2) Quelles sont les coordonnées des points ci-dessous ?
A( ;
;
)
B( ;
;
)
C( ;
;
)
D(
;
;
)
E( ;
;
)
50
A
B
C
D
0
0
E
–50
0
C
5
10
5