CH5_Mini_Test_SN_Chap5_corrige

Nom: ___________________________________
Mini-Test 1
Groupe ______
Chapitre 5
Répondre aux questions suivantes :
1) Soit le triangle isocèle ABC. Démontrez que les triangles CEF et BDF sont isométriques si les
segments CD et BE sont les bissectrices des angles ABC et ACB respectivement.
A
Hypothèse :
Le triangle ABC est isocèle.
Les segments CD et BE sont les bissectrices
des angles ABC et ACB respectivement.
D
Conclusion :
BDF  CEF
F
E
B
Affirmations
1- mABC  mACB
1
mABC
2
1
mECF  mFCB  mACB
2
3- mDBF  mECF
mFBC  mFCB
4- BFC est isocèle
5- mBFD  mCFE
6- m BF = m CF
2- mDBF  mFBC 
7- BDF  CEF
C
Justifications
1- Les angles opposés aux côtés isométriques d’un
triangle isocèle sont isométriques.
2- Par hypothèse, les segments BE et CD sont des
bissectrices.
3- Par transitivité de l’égalité avec les affirmations 1 et 2.
4- Un triangle isoangle est aussi isocèle.
5- Les angles opposés par le sommet sont isométriques.
6- Les côtés opposés aux angles isométriques d’un triangle
isoangle sont isométriques.
7- Par la condition minimale ACA des triangles isométriques.
Deux triangles qui ont un côté isométrique compris entre
des angles homologues isométriques sont isométriques.
2) Quelle justification permet de dire que les triangles suivants sont isométriques ?
a)
8
8
Par la condition minimale ACA des triangles isométriques.
Deux triangles ayant un côté isométrique compris entre des angles homologues isométriques sont
isométriques.
b)
m  A = 43o
B
m  C = 80o
mAB  6
C
A
E
D
m  F = 43o
m  E = 80o
mDF  6
F
1- m  B = 57o
2- m  D = 57o
3- m  B = m  D
4-m AB = m DF
5- m  A = m  F
6- ABC  DEF
La somme des angles intérieurs d’un triangle est de 180o.
La somme des angles intérieurs d’un triangle est de 180o.
Par la transitivité de l’égalité, affirmations 1 et 2.
Par hypothèse, même mesure
Par hypothèse, même mesure
Par la condition minimale ACA.
Deux triangles ayant un côté isométrique compris entre des angles homologues
isométriques sont isométriques.
3) Quelle justification permet de dire que les triangles suivants sont semblables ?
a)
Par la condition minimale AA des triangles semblables.
Deux triangles ayant deux angles homologues isométriques sont semblables.
b)
2
700
420
6
3
680
4
Le 3e angle du 2e triangle est de 680. La somme des angles intérieurs d’un triangle rectangle est de
1080.
Par la condition minimale CAC des triangles semblables.
Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues de longueurs
proportionnelles sont semblables.
4) Trouve la mesure des côtés manquants. (Donne aussi les justifications.)
D
a)
Le triangle ABC est rectangle en D.
Le triangle BCD est rectangle en B.
m AB = 8 et m BC = 2
A
B
C
h2  m * n
h 2  8* 2
h 2  16
m BD = 4
h 2  16
h4
Dans un triangle rectangle, la mesure de la hauteur issue de l’angle droit est moyenne
proportionnelle entre les mesures des deux segments qu’elle détermine sur l’hypoténuse.
c2  a 2  b2
c2  a 2  b2
c 2  82  4 2
c 2  22  42
c 2  64  16
c 2  4  16
c 2  80
c 2  20
c  80
c  20
c  4 * 4 *5
c  2 * 2 *5
m AD  4 5 et m CD  2 5
c4 5
c2 5
c  8,94
c  4, 47
Dans un triangle rectangle, le carré de la mesure de l’hypoténuse est égal à la somme du carré des
mesures des cathètes. (Relation de Pythagore)
b)
D
Le triangle ABC est rectangle en D.
Le triangle BCD est rectangle en B.
m AD = 6 et m BC = 5
A
B
C
On pose m AB = x
a2  m * c
62  x *( x  5)
36  x 2  5 x
36  36  x 2  5 x  36
x 2  5 x  36  0
Une longueur est positive donc x = 4.
x  9 x  4 x  36  0
2
x( x  9)  4( x  9)  0
( x  4)( x  9)  0
x  4  0 ou x  9  0
x  4 ou x  9
Dans un triangle rectangle, la mesure de chaque côté de l’angle droit est moyenne proportionnelle
entre la mesure de sa projection sur l’hypoténuse et l’hypoténuse entière.
mAC  mAB  mBC
mAC  4  5
mAC  9
a 2  b2  c2
b2  c2  a 2
b 2  92  62
b 2  81  36
b 2  45
m CD  3 5
b 2  45
b  3*3*5
b3 5
b  6, 71
Dans un triangle rectangle, le carré de la mesure de l’hypoténuse est égal à la somme du carré des
mesures des cathètes. (Relation de Pythagore)
h2  m * n
h 2  4 *5
h 2  20
h 2  20
m BD  2 5
h  2 * 2 *5
h2 5
h  4, 47
Dans un triangle rectangle, la mesure de la hauteur issue de l’angle droit est moyenne
proportionnelle entre les mesures des deux segments qu’elle détermine sur l’hypoténuse.
5) Trouve la valeur de x dans les situations suivantes.
a)
12
14
x
18
x 12

18 14
18*12
x
14
x  15, 43
Des sécantes coupées par des parallèles sont partagées en segments de longueurs proportionnelles.
(Théorème de Thalès)
b)
x 4

2 5
2*4
x
5
8
x
5
x  1, 6
2
5
4
x
Des sécantes coupées par des parallèles sont partagées en segments de longueurs proportionnelles.
(Théorème de Thalès)