ensembles de nombres, calculs dans q et r

ENSEMBLES DE NOMBRES, CALCULS DANS Q ET R
1- L’ensemble N des nombres naturels
N : { 0, 1, 2, 3, 4…n, n+1}
1-1.
Caractérisation
Une définition du nombre comme cardinal qui implique de préciser la notion
d’ensembles équipotents. 2 ensembles sont équipotents si on peut établir une bijection
(correspondance terme à terme) entre eux. Le nombre cardinal est le représentant de tous
les ensembles qui sont équipotents entre eux ; ainsi le nombre « 2 » est le représentant de
toutes les collections qui sont constituées par une paire d’éléments. Dans le cadre de
collections finies le cardinal est synonyme du nombre d’éléments…
Une définition du nombre comme un élément d’une suite organisée qui possède les
propriétés suivantes (aspect ordinal) :
- chaque élément a un successeur unique appartenant à cet ensemble ( le
successeur de n peut être noté n+1) ;
- deux éléments différents ont des successeurs différents ;
- 0, appartenant à cet ensemble, n’est le successeur d’aucun nombre ;
- toute partie de N vérifiant ces propriétés et contenant 0 est égale à N.
1-2. Propriétés dans N
L’ensemble N peut être muni de lois de composition interne qui permettent à tout couple de
naturels d’associer un autre naturel ; c’est le cas notamment de l’addition et de la
multiplication.
 L’addition fait correspondre à tout couple (a, b) de N x N le nombre noté a + b
appartenant à N :
- du point de vue cardinal, la somme a + b
est associé à la réunion de 2 ensembles
disjoints qui ont respectivement a et b
éléments.
- Du point de vue ordinal, la somme a + b représente le nombre qui se situe b
après a
L’addition dans N est :
- associative (a + b) + c = a + (b + c)
- commutative : a + b = b + a
- régulière : si a + c = b + c, alors a = b
- elle possède 0 comme éléments neutre : a + 0 = 0 + a = a.

la multiplication fait correspondre à tout couple (a, b) de N x N le nombre noté a x b
appartenant à N :
- du point de vue cardinal, le produit a x b est associé au cardinal du point
cartésien de 2 ensembles
- du point de vue ordinal, le produit a x b est associé au b-ième terme de la suite
de a en a à partir de 0.
La multiplication dans N est :
- associative : ( a x b ) x c = a x ( b x c )
- commutative : a x b = b x a
- régulière : si c ≠ 0 : a x c = b x c => a = b
- distributive par rapport à l’addition : a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c )
-
le nombre 1 est élément neutre : a x 1 = 1 x a = a
0 est élément absorbant : a x 0 = 0 x a = 0.
 L’ensemble N est ordonné par une relation qui permet de comparer les nombres :
a < b si et seulement s’il existe c appartenant à N, tel que b = a + c
Cet ordre correspond :
- du point de vue cardinal, au fait que l’ensemble A (de cardinal a) a moins
d’éléments que l’ensemble B (de cardinal b) ;
- du point du vue ordinal au fait que « a est situé avant b dans la suite de
nombres. »
Cet ordre est compatible avec l’addition et la multiplication par un naturel non nul :
Si a > b, alors a + c > b + c et si c ≠ 0, alors a x c > b x c. L’ordre est total : tous les nombres
entiers naturels peuvent être comparés 2 à 2 avec cette relation.
Ces propriétés sont aussi vérifiées dans les autres ensembles Z, Q, D, R.
 N est un ensemble infini
Un ensemble infini est dit dénombrable s’il peut être mis en bijection avec N L’ensemble
des nombres pairs est dénombrable : il est infini et a «autant » d’éléments que N.
1-2.
Les insuffisances de N
la soustraction n’est pas toujours possible : x = a – b (défini par b + x = a) n’a de solution
dans N que si a > b ; certaines équations du type b + x = a n’ont donc pas de solution
dans N.
2- l’ensemble Z des nombres entiers.
Cet ensemble permet de pallier en partie ces insuffisances : les entiers peuvent permettre de
graduer la droite et l’équation b + x = a a toujours une solution dans cet ensemble.
2-1. Caractérisation
L’ensemble des nombres entiers relatifs complète l’ensemble des nombres naturels.
Z : {…,-n,…, -2, -1, 0, 1, 2, …, n, …}
Les nombres relatifs sont étudiés dans différents contextes : températures, altitudes ou
profondeurs, dates, ascenseurs, gains ou pertes, repérage d’une droite…
0 est à la fois positif et négatif.
L’ensemble des nombres différents de 0 est noté Z* ;
L’ensemble des nombres relatifs positifs est noté Z+ ;
L’ensemble des nombres relatifs négatifs est noté Z.
Si x appartient à Z un seul des 2 éléments de { x, -x } est dans N, il est appelé valeur absolue
de x et noté │x│ ; │x│ = x si x > 0 et │x│ = - x si x < 0.
2-2. Propriétés dans Z

l’addition dans Z (qui est associative et commutative) possède un élément neutre 0
et tout élément x a un opposé x’, qui vérifie x + x’ = x’ + x = 0 et est noté – x.
Ex : l’opposé de 3 et –3 ; l’opposé de –2 est (-2), cad 2 ; l’opposé de x est –(- x), cad x.
La multiplication des entiers relatifs vérifie les propriétés déjà établies dans N.
 La multiplication des entiers relatifs vérifie les propriétés déjà établies dans N.
La règle des signes :
Le produit de 2 relatifs s’obtient à partir du produit de leur valeur absolue et en utilisant
la règle des signes :
-
le produit de 2 nombres positifs est positif ;
le produit de 2 nombres négatifs est positif ;
le produit d’un nombre positif par un nombre négatif est négatif.

L’ordre de Z prolonge celui de N : il est compatible avec l’addition, la multiplication
par un entier est strictement positif.
Si c > 0 et a < b, alors a x c < b x c
Si c < 0 et a < b, alors a x c > b x c
D’autre part si a < b et c < d , alors a + c < b + d
Ex : -7 < -3 donc 2 x (-7) < 2 x (-3), donc –14 < -6
Contrairement à N, Z n’a pas de plus petit élément.

Comparaison des nombres relatifs : l’ensemble des relatifs est muni d’un ordre
total.
- si 2 nombres relatifs sont de signe opposé, le nombre positif est plus grand
( 5 > -8)
- si les 2 nombres sont négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite
valeur absolue ( -2 > -5) ;
- si les 2 nombres sont positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande
valeur absolue.

Les nombres relatifs peuvent être représenté sur une droite numérique :
 L’ensemble des nombres relatifs est dénombrable
On peut établir une bijection entre Z et N : il y a donc « autant » d’éléments dans Z que
dans N :
2-2. les insuffisances dans Z


certaines équations a x x = b n’ont pas de solution dans Z, comme par exemple 2 x
x = 5.
Les nombres entiers relatifs, sauf 1 et –1 n’ont pas d’inverse pour la multiplication.
3- L’ensemble Q des nombres rationnels
Cet ensemble permet de pallier en partie les insuffisances constatées deans les ensembles
précédents.
3-1. Caractérisation
Un rationnel est un nombre x qui est solution d’une équation b x x = a, avec a et b entiers et
b ≠ 0.
Ce nombre x peut s’écrire sous la forme a/b, le nombre a étant le numérateur de la fraction,
le nombre b le dénominateur et a/b le quotient de a par b.


Fractions égales : 2 fractions a/b et c/d sont égales si elles représentent le même
rationnel ; on a alors a x d = b x c ( on dit qu’on a fait le produit en croix).
Simplification de fraction : une fraction peut être simplifiée en divisant son
numérateur et son dénominateur par un diviseur commun. Une fraction est
irréductible si le numérateur et le dénominateurs sont premiers entre eux. En
divisant le numérateur et le dénominateur par le PGCD, la fraction obtenue est
irréductible.
Un nombre rationnel peut être représenté par une infinité de fractions égales. Si a/b est
une fraction irréductible, les autres fractions égales sont de la forme (k x a) / (k x b) avec k
entier relatif différent de 0.
Par ex : 14/4 = 35/10 = 77/22. La fraction « irréductible » ou « réduite » égale à 14/4 est 7/2.
Les fractions égales seront sous la forme (7 x k) / (2 x k) avec k appartenant à Z*.
La décomposition en facteurs premiers du numérateur et du dénominateur peut faciliter la
simplification des fractions.
Par ex : 440 = 23 x 5 x 11 = 5 x 11 = 55
336 24 x 3 x 7 2 x 3 x 7 42
3-2. Propriétés dans Q
 Tout élément non nul a un inverse pour la multiplication.
L’inverse de a est b , car a x b = 1 donc 1 = b
b
a
b a
a a
b
 La somme et le produit de 2 rationnels a et b sont des rationnels, ainsi que leur
différences avec le quotient. On dit que l’ensemble des rationnels est clos pour
l’addition et la multiplication et leurs opérations réciproques ; Q est le plus petit entier
qui vérifie cette propriété.
- Pour additionner ou soustraire des fractions :
- si les dénominateurs sont égaux, on additionne les numérateurs :
a/b + c/b = (a+c)/b
- si les dénominateurs sont différents, on cherche d’abord un dénominateur
commun; pour cela on recherche un multiple commun aux dénominateurs, le
PPCM
ex : 1/14 – 9/16
le PPCM de 14 et 16 et 112 (14=2x 7 et 16 = 2^4 ; le ppcm de 14 et 16 est 2^4 x 7 =
112) ; 1/14 + 9/16 = 8/112 – 63/112 = (8-63)/112 = -55/112
Pour multiplier une fraction par un entier, on multiplie le numérateur par cet entier.
Pour multiplier 2 fractions entre elles, on multiplie les numérateurs entre eux et les
dénominateurs entre eux ; on peut être amené à simplifier la fraction, au cours du calcul
ou à son terme.
- Pour diviser une fraction par une autre, on multiplie la première par l’inverse de la
deuxième.
axc = axc
a xc =axc
a /c=a xd
b
b
b d bxd
b d b c
-

-
L’ensemble des nombres rationnels est totalement ordonné : si a et b sont 2
rationnels, on a : a > b ou b > a.
si les dénominateurs sont égaux, on compare les numérateurs : la fraction la plus
grande est celle qui a le plus grand numérateur.
Si les numérateurs sont égaux, on compare les dénominateurs : la fraction la plus
grande est celle qui a le plus petit dénominateur.
Dans certains cas il est préférable de procéder par majoration ou minoration de
certaines expressions
On peut procéder par un encadrement des entiers, par des fractions
En général , la méthode de comparaison de 2 rationnels exprimés par des fractions
consiste à réduire les fractions au même dénominateur.
-




3-2.


L’intervalle ]a, b[ (ensemble des rationnels q tels que a < q < b) possède une infinité
d’éléments.
Il y a autant d’éléments dans Q que dans N
Tout rationnel est approchable par un décimal avec une précision aussi grande que
l’on veut.
Les rationnels permettent de compléter la graduation d’une droite.
Insuffisances de Q
La mesure d’une longueur, en utilisant une autre longueur qui sert d’unité ne
s’exprime pas toujours avec un nombre rationnel.
Certains rapports, comme celui entre les mesures et de la circonférence d’un cercle,
ne peuvent s’exprimer à partir de nombres rationnels.
4- L’ensemble D des nombres décimaux
La comparaison ou le calcul avec les rationnels écrits sous forme fractionnaire sont souvent
longs. Mais ils sont plus simples pour certains types de fractions, notamment celles dont les
dénominateurs sont écrits avec les puissances de 10
4-1. Caractérisation
un nombre a est décimal s’il existe un entier naturel n
tel que a x 10n soit un entier relatif à b.
a x 10n = b ; donc a = b / 10n
4-2 Propriétés
 L’ensemble des décimaux est stable par l’addition et la multiplication
L’ensemble ou le produit de 2 nbres décimaux sont des nombres décimaux. L’opposé -x
d’un nombre décimal x est un nbre décimal. Mais l’inverse 1/x d’un nb décimal x non nul
n’est pas toujours un nb décimal : 0,3 (ou 1/10) est un nb décimal, mais son inverse
10/3=3.3333…(avec une infinité de 3 ne l’est pas.
 Comparaison des décimaux : pour comparer 2 nb décimaux, on comparer les parties
entières, puis respectivement chaque chiffre des parties décimales, à partir des
dixièmes.
 Densité : entre 2 décimaux on peut toujours trouver un nb décimal.
5- L’ensemble R des nombres réels
5-1. Caractérisation
l’ensemble R des nb réels est un ensemble « continu », cad qu’on peut établir une bijection
entre les pts des la droite et les nb réels. Les nb réels permettent de graduer parfaitement,
sans trou, la droite.
Ex pi, racine de 2…
5-2.
Propriétés
Les propriétés vérifiées dans Q e sont aussi dans R ; en particulier tout élément non nul a un
inverse pour la multiplication.
Tout réel peut être approché d’aussi près que l’on veut à l’aide des nb décimaux.
5-3.
Puissances dans R
Qques rappels concernant les puissances entières
5-4.
Calculs sur les radicaux
Conclusion :
N est inclus dans Z ; Z est inclus dans D ; D est inclus dans Q ; Q est inclus dans R ;
N
Z
D
Q
R
6- Ecritures décimales
6-1. Fraction décimale
Les seuls rationnels qui sont des décimaux sont donc ceux qui peuvent s’écrire à
l’aide d’une fraction irréductible dont le dénominateur est composé par le produit
d’une puissance de 2 par une puissance de 5.
6-2. Ecritures décimales
Une écriture décimale peut désigner : un entier (3.00), un décimal (3.2), un rationnel
non décimal (0.3333…) avec une infinité de 3 est égal à 1/3), ou irrationnel (racine
carrée de 2= 10414…). Il ne faut donc pas confondre « nb décimal » et « écriture
décimale ».

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
L’écriture décimale de x est finie : elle comporte un nb fini n de chiffres non
nul après la virgule : x x 10^n est un entier, le nb x est décimal par déf.
x est un rationnel non décimal
Réciproquement si une suite est périodique et illimitée, elle est l’écriture d’un
nb rationnel.
Cas particulier
Une écriture décimale illimitée mais non périodique sera l’écriture d’un nb
irrationnel et non pas d’un rationnel.
Ex : 0.100011000111000011110000011111…
En conclusion
A tout rationnel correspond une écriture décimale ou une suie décimale illimitée
périodique et à toute suite décimale illimitée périodique correspond un nb
rationnel.