chapitre 2 : fonctions polynômes

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CHAPITRE 2 : FONCTIONS POLYNÔMES
I) Définitions :
1) Une fonction, définie sur l’ensemble des réels, de la forme :
f(x)=a1xn + a2xn –1 + ……….. + ap-1x + ap est appelée fonction
polynôme.
2) La fonction f définie sur ℝ par f(x) = x admet une fonction dérivée
f ’(x)=1.
3) La fonction f définie sur ℝ par f(x) = xn admet une fonction dérivée
f ’(x)= n x n – 1
4) Opérations sur les dérivées :
a) Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I de ℝ alors la
fonction f définie sur I par f(x)=ku(x) est dérivable et f ’(x)=ku ’(x)
b) Soit u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I de
ℝ alors la fonction f définie sur I par f(x)=u(x)+ v(x) est dérivable sur
I et ( u(x) + v(x)) ’ = u ’(x) + v ’(x) .
5) Les propriétés 2) ; 3) ; et 4) permettent de dériver les fonctions
polynômes.
Exemples : Déterminer la fonction dérivée des fonctions suivantes :
f(x)=3x3 + 5x² – 10x + 7 : ___________________________________
g(x)=–x5 + 3x4 – x + 5 : ______________________________________
h(x)=3x(x² + 5) : __________________________________________
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II) Dérivée et sens de variation :
1) Propriété : f est une fonction polynôme définie sur un intervalle I
a) Si f’(x) ≥ 0 alors f est ___________________sur I .
b) Si f’(x) ≤ 0 alors f est ___________________sur I.
2) Tangente à la courbe en un point
Définition : Soit f une fonction polynôme définie sur un intervalle I , Cf sa
courbe représentative dans un repère et A un point de la courbe
d’abscisse xA .
On appelle tangente à la courbe Cf au point A , la droite passant par A et
de coefficient directeur f ’(xA).
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Exemple :
On a représenté Cf la courbe
représentative de la fonction
f(x)=x3–5x² +x +1 .
1. Calculer f’(x).
2. Placer le point A de la courbe
d’abscisse –1.
3. Calculer f’(1).
4. Représenter T la tangente à Cf au
point A.
5. Déterminer complétement l’équation
de T.
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___________________________________
___________________________________
___________________________________
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III) Etude d’une fonction polynôme et résolution graphique d’équations
Pour étudier une fonction polynôme définie sur un intervalle I on doit :

Calculer la fonction dérivée f’(x).


Etudier le signe de cette fonction dérivée.
En déduire le tableau de variation de f.



Déterminer maximum ou minimum de cette fonction.
Déterminer une équation de la tangente en un point.
Savoir tracer la courbe de f, en respectant l’unité demandée

Savoir résoudre graphiquement une équation de la forme f(x)=k.
Exemple d’exercice pouvant être demandé au bac :
Etude d’une fonction f :
La fonction f est définie sur [ –2 ; 5 ] par f(x)=0,25x4– x3 –2x².
1) Montrer que pour tout réel de [ –2 ; 5 ] : f’(x)=x(x²–3x – 4) .
2) Résoudre x² –3x – 4 = 0.
3) Etablir le tableau de variation de f sur [ –2 ; 5 ] et en déduire le maximum
et le minimum de f sur [ –2 ; 5 ].
4) Déterminer une équation de T, la tangente à Cf au point A d’abscisse 2.
5) Représenter Cf et T dans un repère d’unité 0,5 cm en abscisses et 1mm en
ordonnées.