ARITHMETIQUE

Pierre SAUREL
IUFM de PARIS
COURS D’ARITHMETIQUE
Activité 1 (Lyon 1993)
Un enfant range toutes les petites voitures dont il dispose. S’il les met par rangées de
6, il lui en reste 3. S’il les met par rangées de 5, il n’en reste pas.
1) S’il les range par 3, en reste-t-il ? Justifier cette réponse.
2) S’il les range par 2, en reste-t-il ? Justifier cette réponse.
3) Quel peut être le nombre de voitures de cet enfant, sachant qu’il en a moins de
100 ?
I Vocabulaire : Multiples et diviseurs
1) Notion de multiple
Définition : Le nombre entier naturel a est multiple du nombre entier naturel b si et
seulement s’il existe un nombre entier naturel k tel que a = b x k.
Exemple : 15 est un multiple de 5.
Théorème : Si les entiers naturels a et b sont chacun des multiples de l’entier naturel c
alors l’entier naturel a + b est aussi un multiple de l’entier naturel c. (à démontrer)
Exemple d’applications : La somme de deux nombres pairs est paire, la somme de deux
nombres multiples de 5 est un multiple de 5.
Rq : savoir le démontrer, idem pour b - a quand c’est un entier naturel (i.e. b > a) (à
démontrer en entraînement)
Théorème (transitivité de la propriété être multiple de) : Si l’entier naturels a est
un multiple de l’entier naturel b et si l’entier naturel b est un multiple de l’entier
naturel c, alors l’entier naturel a est aussi un multiple de l’entier naturel c. (à
démontrer)
Exemple : 715 est un multiple de 5 et de 143. 143 est un multiple de 11 (et de 13) donc 715
est un multiple de 11.
Rq : la maîtrise de la factorisation est un prérequis de tout ces exercices sur lequel je ne
reviendrai pas.
2) Notion de diviseur
Définition : Le nombre entier naturel b est un diviseur du nombre entier naturel a si et
seulement s’il existe un nombre entier naturel k tel que a = b x k.
On a les phrases équivalentes suivantes : a est un multiple de b, a est divisible par b, b est un
diviseur de a.
On en déduit donc deux théorèmes équivalents à ceux énoncés pour les multiples :
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Théorème : Si les entiers naturels a et b on chacun l’entier naturel c comme diviseur
alors l’entier naturel a + b a aussi l’entier naturel c comme diviseur.
Théorème (transitivité de la propriété être diviseur de) : Si l’entier naturels c est un
diviseur de l’entier naturel b et si l’entier naturel b est un diviseur de l’entier naturel a,
alors l’entier naturel c est aussi un diviseur de l’entier naturel a.
Exercice : Trouver une méthode pour écrire tous les diviseurs de 48, puis de 150.
II Critères de divisibilité
On suppose que tous les nombres sont écrits en base 10.
Propriété : Un entier naturel est pair (ou divisible par 2) si et seulement si le nombre
formé par son chiffre des unités est pair.
Propriété : Un entier naturel est divisible par 3 si et seulement si le nombre formé par
la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Propriété : Un entier naturel est divisible par 4 si et seulement si le nombre formé par
ses deux derniers chiffres est divisible par 4.
Propriété : Un entier naturel est divisible par 5 si et seulement si son chiffre des
unités est 0 ou 5. (définition en extension / définition en compréhension).
Propriété : Un entier naturel est divisible par 9 si et seulement si le nombre formé par
la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Propriété : Un entier naturel est divisible par 10 si et seulement si son chiffre des
unités est 0.
III PGCD, PPCM
Activité (T1P80 Charnay et Mante) :
Pierre a plusieurs petits cubes de 72 mm d’arêtes. Paul en a d’autres de 90 mm
d’arêtes. Chacun veut, en superposant ses cubes, réaliser une tour exactement aussi haute que
celle de l’autre.
Quelle peut bien être la hauteur de cette tour ?
1) Plus Grand Commun Diviseur
Définition : On appelle PGCD (ou Plus Grand Commun Diviseur) des nombres
entiers naturels a et b le plus grand diviseur commun aux nombres a et b.
Méthode 1 : pour obtenir le PGCD des nombres a et b, il suffit d’écrire la liste croissante de
tous les diviseurs de a et de b. Le plus grand nombre commun à ces deux listes est le PGCD
de a et de b.
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Exemple : le PGCD de 18 et 24 est 6.
Propriété : Les diviseurs communs aux deux nombres entiers naturels a et b sont tous
les diviseurs du PGCD des nombres a et b.
Exemple : Donner un diviseur commun à 45 et 54. Quel est le plus grand diviseur commun à
45 et 54. Donner la liste de tous les diviseurs de 45 et 54.
Définition : On dit que deux nombres entiers naturels sont premiers entre eux si et
seulement si leur PGCD est égal à 1, c’est-à-dire s’ils n’ont pas de diviseur commun
autre que 1.
2) Plus Petit Commun Multiple
Définition : On appelle PPCM (ou Plus Petit Commun Multiple) des nombres entiers
naturels a et b le plus petit multiple commun aux nombres a et b.
Méthode 1 : pour obtenir le PPCM des nombres a et b, il suffit d’écrire le début de la liste
croissante de tous les multiples de a et de b. Le plus petit nombre commun à ces deux listes
est le PPCM de a et de b.
Exemple : le PPCM de 18 et 24 est 72.
Propriété : Les multiples communs aux deux nombres entiers naturels a et b sont tous
les multiples du PPCM des nombres a et b.
Exemple : Donner la liste des multiples communs à 15 et 18.
IV Nombres premiers
Définition : Un nombre entier naturel est dit premier si ses seuls diviseurs distincts
sont 1 et lui-même.
Exemple : 17, 91, 143 sont-ils premiers ?
Propriété pour tester si un nombre est premier : Un nombre entier naturel n est
premier dès qu’il ne possède aucun diviseur plus petit que sa racine.
Propriété équivalente : Si un nombre entier naturel n n’est pas premier alors il
possède au moins un diviseur plus petit que sa racine.
Recherche de tous les nombres premiers plus petits que n : utilisation du crible
d’Eratosthène (exemple : donner la liste des nombres premiers plus petits que 100 ;
expliciter la procédure).
Propriété (unicité de la décomposition en produit de facteurs) : Tout nombre entier
naturel peut s’écrire comme un produit de facteurs premiers (nombres premiers avec
un exposant). Cette écriture est unique, à l’ordre près.
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Exemple : 45 = 3 x 3 x 5 = 32 x 5
Méthode 2 pour la recherche d’un PGCD : on écrit la décomposition des nombres a et b en
produit de facteurs premiers. Le PGCD de a et b est le nombre dont la décomposition en
produit de facteurs premiers s’écrit en affectant chaque facteur de l’exposant le plus petit
entre celui obtenu dans la décomposition de a et celui obtenu dans la décomposition de b
(respectivement pour chaque facteur premier).
Exemple : PGCD de 16 et 40. 16 = 24, alors que 40 = 23x5. On en déduit que le PGCD de 16
et 40 est le nombre dont la décomposition en produit de facteurs premiers s’écrit 23 soit 8.
Méthode 2 pour la recherche d’un PPCM : on écrit la décomposition des nombres a et b en
produit de facteurs premiers. Le PPCM de a et b est le nombre dont la décomposition en
produit de facteurs premiers s’écrit en affectant chaque facteur de l’exposant le plus grand
entre celui obtenu dans la décomposition de a et celui obtenu dans la décomposition de b
(respectivement pour chaque facteur premier).
Exemple : PPCM de 16 et 40. 16 = 24, alors que 40 = 23x5. On en déduit que le PGCD de 16
et 40 est le nombre dont la décomposition en produit de facteurs premiers s’écrit 24x5 soit 80.
Remarque : A partir de la décomposition d’un nombre entier naturel en produit de facteurs
premiers, on peut facilement trouver tous les diviseurs de ce nombre.
Exemple : Trouver tous les diviseurs de 45.
Propriété (nombre de diviseurs) : Un nombre entier naturel possède un nombre de
diviseurs égal au produit des exposants auxquels on a ajouté un, exposants dans la
décomposition de ce nombre en produit de facteurs premiers.
Exemple : 40 = 23x5 possède (3+1) x 2 = 8 diviseurs.
Exercice : Trouver le nombre de diviseurs de l’entier naturel égal à 40 x 76.
V Division euclidienne
Activité (T1P80 Charnay et Mante) :
Sophie compte « à l’envers », de 24 en 24 à partir de 9806, 9806 ; 9782 ; 9758 ; 9734 ; …
Quel sera le dernier naturel qu’elle annoncera ?
1) Vocabulaire
Propriété : Soient a et b deux entiers naturels, alors il existe deux entiers naturels
uniques q et r tels que a = b x q + r, avec r < b.
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Définition : On appelle division euclidienne de a par b la recherche des nombres q et
r. a s’appelle le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste dans la division
euclidienne de a par b.
2) Propriétés
a) propriétés associées à la divisibilité
Propriété : Un entier naturel a même reste dans la division par 2 que le nombre formé
par son chiffre des unités.
Propriété : Un entier naturel a même reste dans la division par 3 que le nombre formé
par la somme de ses chiffres.
Propriété : Un entier naturel a même reste dans la division par 4 que le nombre formé
par ses deux derniers chiffres.
Propriété : Un entier naturel a même reste dans la division par 5 que le nombre formé
par son chiffre des unités.
Propriété : Un entier naturel a même reste dans la division par 9 que le nombre formé
par la somme de ses chiffres.
Propriété : Un entier naturel a pour reste dans la division par 10 son chiffre des
unités.
b) algorithme d’Euclide
Pour obtenir le PGCD de deux nombres a et b (a>b), on effectue la division euclidienne de a
par b, puis de b par le reste de la division précédente, puis du reste par le reste suivant jusqu’à
obtenir un reste nul. Le PGCD de a et b est le dernier reste non nul dans cette procédure.
Exercice : utiliser l’algorithme d’Euclide pour obtenir le PGCD de 53 et 89.
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