chap-1-introduction-a-la

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Chap. 1
INTRODUCTION A LA THERMODYNAMIQUE
I. Généralités : ............................................................................................................................ 2
I.1. Système : .......................................................................................................................... 3
I.1.1. Définition : ................................................................................................................. 3
I.1.2. Systèmes particuliers :............................................................................................... 3
I.2. Paramètres ou variables d'état : ...................................................................................... 3
I.3. Equation d’état : ............................................................................................................... 4
I.4. Etat d'équilibre : ............................................................................................................... 4
I.4.1. Définition : ................................................................................................................. 4
I.4.2. Remarques :............................................................................................................... 4
I.5. Pression : .......................................................................................................................... 5
II. Le gaz parfait : ........................................................................................................................ 5
II.1. Définition : ....................................................................................................................... 5
II.2. Commentaires et remarques : ........................................................................................ 5
II.3. Equation d'état du gaz parfait : ....................................................................................... 7
II.3.1. Principe du calcul :.................................................................................................... 7
II.3.2. Pression exercée sur une paroi : .............................................................................. 7
II.4. Energie interne : ............................................................................................................ 10
II.5. Lois de Gay – Lussac, de Charles, et de Mariotte : ........................................................ 10
III. La température absolue – les thermomètres : ................................................................... 10
III.1. Echelles de températures :........................................................................................... 10
III.2. Echelle de température absolue : ................................................................................ 12
III.3. Quelques thermomètres : ............................................................................................ 12
III.3.1. Quelques types de thermomètres : ...................................................................... 12
III.3.2. Qualités d'un thermomètre : ................................................................................ 13
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Chap. 1
INTRODUCTION A LA THERMODYNAMIQUE
I. Brève histoire de la thermodynamique :
Science véritablement apparue au début du 19ème siècle.
Née en 1924 avec Sadi Carnot : toutes
Essor
de
la
machine
à
vapeur,
les notions fondamentales sur les deux constructions des premières lignes de
principes, le cycle fermé bitherme, les chemin de fer.
concepts de réversibilité et d'irréversibilité,
la température, la chaleur. Publication d'un
traité, mais pas accepté, parce que pas
compris, ni par les scientifiques, ni par les
ingénieurs.
Emile Clapeyron découvrit le document
de Carnot et le modifia (1834)
William
Thomson
(Lord
Kelvin),
universitaire dès 14 ans, travaille et publie
trois articles sur la théorie de la chaleur.
(1849 – 1852). Il met au point l'échelle
thermodynamique de température.
Rudolf Clausius introduit U, l'énergie
interne, et S, l'entropie. (1864). Il énonce les
deux principes sous la forme :
l'énergie de l'univers est constante.
l'entropie de l'univers tend vers un
maximum.
II. Généralités :
3
II.1. Système :
II.1.1. Définition :
En thermodynamique, le système désigne l'objet à étudier. Ce qui est à l'extérieur, en
dehors du système, est appelé milieu extérieur.
II.1.2. Systèmes particuliers :
Un système est isolé s'il n'échange rien avec le milieu extérieur. Nous distinguerons
plusieurs types d'échange :
L'échange de matière
Choc de deux galaxies
L'échange d'énergie
Locomotive à vapeur "Pacific"
L'échange de volume.
Un système est fermé s'il n'échange pas de matière avec l'extérieur. Dans le cas
contraire, il est ouvert.
II.2. Paramètres ou variables d'état :
Pour décrire un système et son évolution dans le temps, il faut un certain nombre de
paramètres. Ces paramètres sont la position, la vitesse pour des systèmes microscopiques,
4
ou encore la température, le volume, la pression, le champ électrique ou le champ
magnétique, … pour des systèmes macroscopiques.
II.3. Equation d’état :
L’état d’un système à l’équilibre peut être décrit par une fonction mathématique faisant
intervenir un certain nombre de variables d’état. Cette fonction est appelée équation d’état.
II.4. Etat d'équilibre :
II.4.1. Définition :
Un système a atteint un état d'équilibre lorsque toutes les variables d'état qui décrivent
le système sont constantes au cours du temps, et s’il n'y a échange d'aucune sorte (matière,
énergie, charge électrique, …).
II.4.2. Remarques :
Cette définition est, selon les auteurs, à relativiser car elle diffère selon les livres. Ce qui
est important à retenir, c'est qu'il y a équilibre à la fois mécanique, chimique, électrique,
thermodynamique… L'équilibre thermodynamique, cas particulier d'équilibre, requiert
l'absence de transfert d'énergie sous forme de chaleur (équilibre thermique).
Il ne faut pas confondre état d'équilibre et état stationnaire. Pour un système en état
stationnaire, les variables ne dépendent pas du temps. Par contre les échanges d'énergie
sont permanents. C'est le cas par exemple d'une lampe à incandescence, qui reçoit de
l'énergie électrique et la retransmet sous forme de lumière.
5
II.5. Pression :
La pression est directement liée au contact des particules
sur une paroi. Son origine est donc mécanique. Soit un
élément de surface S de cette paroi, soumis à une force F .
F
Cette force peut être décomposée en deux : une composante
parallèle à la surface et une autre perpendiculaire (Figure ci-
S
dessous). Seule la composante perpendiculaire a une action
sur la paroi. La pression exercée sur la paroi est définie par
P  F S . L’unité dans le système international est le Pa : 1
2
5
Pa = 1N/m . Les dérivés du Pa sont le bar (1 bar = 10 Pa), le
Torr (1 Torr = 0,75 mbar), et le mm de mercure.
III. Le gaz parfait :
III.1. Définition :
Un gaz parfait monoatomique est constitué d'atomes et possède les propriétés
suivantes :
 Les atomes sont supposés ponctuels, identiques et sans interaction entre eux.
 Ils ne subissent de chocs que sur les parois du récipient qui les contient.
 La distribution (ou répartition) des vitesses des atomes du gaz est stationnaire,
homogène et isotrope.
III.2. Commentaires et remarques :
Les conditions pour qu'un gaz soit parfait sont suffisamment contraignantes pour
comprendre qu'un gaz n'est en réalité jamais parfait. Par contre, un gaz réel peut
s'approcher du gaz parfait.
Il faut d'abord exclure les molécules diatomiques (N2, O2, ...) et polyatomiques. Les
atomes non identiques sont aussi à exclure. Prenons par exemple deux atomes H et O. S'ils
se rencontrent, ils auront tendance à s'apparier. Mais des atomes identiques tels que N, O,
auront aussi tendance à s'associer pour former des molécules. Au final, seuls les gaz rares
(He, Ne, Ar, Kr, Xe) peuvent être assimilés à des gaz parfaits.
6
Dans la réalité, par définition, un gaz est constitué de particules sans cesse en
interaction. Il n'existe donc pas de gaz parfaits purs. Pour s'approcher de la définition, il est
nécessaire que la densité de gaz soit suffisamment faible pour que les collisions soient rares.
9
8x10
9
9
7x10
9
6x10
8x10
9
6x10
Nombre d'atomes
Nombre d'atomes
7x10
9
5x10
9
4x10
9
9
5x10
9
4x10
9
3x10
9
9
2x10
9
1x10
3x10
9
2x10
9
1x10
0
0
0
500
1000
1500
2000
2500
0
500
1000
1500
2000
2500
Vitesse (m/s)
Vitesse (m/s)
Distribution des vitesses à t = t1.
Distribution des vitesses à t = t2.
Figure 1 : Répartition de vitesses dans un élément de volume fixé à deux instants.
Pour comprendre les propriétés de la distribution de vitesses, prenons un récipient et
isolons des éléments de volume d i . Dans ce volume infinitésimal, il y a quand même un
grand nombre d'atomes, pour que l'on puisse parler de distribution statistique. Par exemple,
dans 1 m de gaz, il y a environ 10
10
11
– 10
atomes. Imaginons que dans d , il y ait dN
atomes, répartis comme suit : à l'instant t = t1, dn1 atomes ont la vitesse v 1 , dn2 atomes la
vitesse v 2 , ..., dnN atomes la vitesse v N . Dire que la répartition de vitesses est stationnaire
signifie qu'à un autre instant, nous retrouverons la même distribution (Figure 1). Cela ne
veut pas dire qu'un atome garde la même vitesse, mais que l'échange de vitesses entre
atomes est équitable.
Tout se passe comme si rien ne se passait dans le gaz. Le gaz est en équilibre
thermodynamique.
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De la même manière, dire que la répartition de vitesses est homogène signifie qu'à un
instant donné et pour deux volumes différents, les répartitions sont identiques.
Finalement, une répartition de vitesses isotrope se caractérise par une vitesse moyenne
nulle. Cela implique en particulier qu'il y a autant de particules allant dans un sens que de
particules allant dans le sens opposé. Globalement, le gaz est au repos.
III.3. Equation d'état du gaz parfait :
III.3.1. Principe du calcul :
L'équation d'état relie la pression, le volume et la température. Or la température est la
signature du mouvement des particules et de leur interaction plus ou moins forte. Elle est
donc reliée étroitement à l'énergie cinétique moyenne donc à la vitesse des particules
composant le gaz.
La pression étant une force par unité de surface, et la force étant reliée à la quantité de
mouvement des atomes par le principe fondamental de la dynamique, nous allons partir de
cette quantité de mouvement.
III.3.2. Pression exercée sur une paroi :
Un récipient de volume V contient N
atomes
d'un
particulaire
dS
est
gaz
parfait.
définie
par
La
densité
nd  N V .
Considérons un élément de paroi de surface
dS (Figure 2). A tout instant des particules
arrivent sur cette surface, alors que d'autres
en repartent.
Figure 2
Parmi tous ces atomes de vitesses a priori très différentes, certains ont la même vitesse.
Déterminons le nombre d 3 n de ces atomes ayant la vitesse v et qui arrivent sur d 2 S entre
t et t + dt. Ces atomes sont dans un cylindre de surface de base d 2 S cos (en pointillés) et
de génératrices de longueur vdt (Figure 3).
8
La densité particulaire est nd 
donc d 3 n 
N 1
d 3n

V 2 vdtd 2 S cos
1N
1N
vdtd 2 S cos  
v . d 2S
2V
2V
Le facteur 1/2 est là pour éviter de compter les particules qui repartent de la paroi et qui
ont une vitesse  v .
vdt
v
dS

x
Figure 3
La quantité de mouvement d'une particule est p  mv . La quantité de mouvement des
3
d n particules est : d 3 p  d 3 n mv
d3p 
1N
v . d 2 S mdtv .
2V
Selon l'axe (Ox), la projection de d 3 p est d 3 p x 
1N
1N 2 2
v x d 2 S mdtv x 
v x d Smdt
2V
2V
Il est impossible de mener le calcul plus loin, dans la mesure où nous n'avons pas
introduit la distribution de vitesses, car les particules qui atteignent la surface peuvent avoir
une vitesse de 1 m/s ou 2000 m/s par exemple. Ce que l'on peut dire, c'est qu'en moyenne,
elles auront une certaine vitesse. La quantité de mouvement totale s'écrira donc :
px  
N 2 2
v x d Smdt ou  est un coefficient de proportionnalité.
V
9
1
Comme la distribution de vitesses est isotrope, v x2  v y2  v z2  v 2 . Finalement, nous
3
obtenons une quantité de mouvement proportionnelle à
N 2 2
v d Smdt . La quantité
V
v 2 est
appelée vitesse quadratique moyenne.
La Force qui s'exerce sur la paroi est F 
dp N 2 2
 v d Sm
dt V
La pression qui s'exerce sur la paroi est P 
F
N
 mv 2
2
d S V
PV  Nmv 2 . On montre que le coefficient de proportionnalité est 1/3.
1
PV  Nmv 2
3
Comme nous l'avons dit plus haut, l'énergie cinétique, qui apparaît avec le terme mv 2 ,
définit la température T. Si nous supposons que l'énergie cinétique moyenne est
proportionnelle à la température, nous pouvons poser :
ec 
-23
k = 1.38 10
1
3
mv 2  kT
2
2
SI est la constante de Boltzmann.
Finalement, nous obtenons l'équation des gaz parfaits :
PV  NkT
23
Le nombre total N est aussi égal à nNA, où n est le nombre de moles et N = 6.02 10 est
le nombre d'Avogadro. En utilisant ces notations, l'équation des gaz parfaits devient :
PV  nN A kT
10
Posons N A k  R  8.31 , il vient :
PV  nRT
III.4. Energie interne :
Un gaz dans un volume V est constitué de N particules ayant chacune une énergie
cinétique ec 
1
1
3
mv 2 . Pour tout le gaz, l'énergie cinétique totale est Ec  Nmv 2  NkT .
2
2
2
Cette énergie cinétique est pour un gaz parfait, son énergie interne, notée U.
U
3
3
NkT  nRT
2
2
Pour un gaz parfait, l'énergie interne ne dépend que de la température.
III.5. Lois de Gay – Lussac, de Charles, et de Mariotte :
Un gaz obéit à la loi de Gay – Lussac si, à pression constante, son volume est
proportionnel à la température.
Un gaz obéit à la loi de Charles si, à volume constant, son pression est proportionnel à la
température.
Un gaz obéit à la loi de Mariotte si, à température constante, le produit de la pression
par le volume est constant.
Il est aisé de vérifier que le gaz parfait obéit à ces trois lois.
IV. La température absolue – les thermomètres :
IV.1. Echelles de températures :
L’échelle de température la plus courante est l’échelle Celsius. Elle est basée sur l’eau.
Le 0°C est la température de la glace en équilibre avec l’eau, à pression atmosphérique. La
température 100°C est la température de la vapeur d’eau en équilibre avec l’eau liquide. La
température en chaque point est une fonction linéaire de la position (Figure 4). Soit xo et
x100 les positions pour des températures  respectives de 0°C et 100°C. La température
s’écrit :
 x  ax  b
11
0  ax0  b  0
100  ax100  b  100
La différence entre les deux équations
donne :
a
100
100
x100  xo
Température
 x  
0
0
100 x0
b
x100  xo
b
x0
x
Figure 4
x100
100 x
b
x100  xo
100 x0
x100  xo
 x  
100 x  xo 
x100  xo
Les anglo saxons utilisent l’échelle Fahrenheit. Le 0°F est pris pour le mélange NaC
NH4C eau glacée (– 32°C). Le 100°F est la température du corps humain en bonne santé (!).
12
IV.2. Echelle de température absolue :
Comme nous l’avons vu, la température
1,40
dans le cas d’un gaz parfait est donné par la
100°C
1,35
relation PV = nRT. Ceci est vrai dans la mesure
1,30
où les pressions sont faibles. Nous pouvons
1,25
PV
écrire une définition de la température :
1,20
1,15
T
1
lim PV 
nR P 0
1,10
1,05
Regardons expérimentalement ce que donne la
0°C
1,00
variation du produit PV avec P¸ par exemple
0,95
0,0
0,5
1,0
1,5 2,0
P (atm)
2,5
3,0
Figure 5
pour du CO, à température constante. La Figure
5 montre le résultat pour deux valeurs de la
température, 0°C et 100°C.
A une pression nulle, le rapport entre les produits PV à 100°C et 0°C est égal à 1,36608.
Ce rapport est par ailleurs indépendant de la nature du gaz.
Choisissons une échelle linéaire pour la température absolue T :
T = a +.
Alors
T100 a  100

 1,36608
T0
a0
a  1,36608  100  a
a = 273,15 K
IV.3. Quelques thermomètres :
IV.3.1. Quelques types de thermomètres :
 Thermomètre à résistance : lorsqu'un métal est chauffé, sa résistance augmente


R  Ro 1  at  bt 2  ...
ex : le platine est utilisé de 13,8 K (point triple de H) à 904 K (point de solidification de
l'antimoine).
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 Thermocouple :
Le thermocouple comporte trois fils métalliques de deux matériaux différents. Une des
jonctions est plongée dans un bain à température connue. L'autre est en contact avec un
matériau dont on veut déterminer la température. A une température donnée correspond
une différence de potentiel. En mesurant la différence de potentiel, la température peut
être connue.
 Thermomètre à dilatation de liquide :
thermomètres usuels, (alcool, mercure,…)
 Thermomètre à dilatation de solide :
Une tige métallique de longueur Lo à 0°C voit sa longueur L augmenter quand la
température augmente : L  Lo 1    . La quantité  est le coefficient de dilatation linéaire
-6
-5
du métal (platine : 9 10 ; zinc : 3 10 )
 Pyromètre optique :
utilisé pour mesurer des températures par exemple d'un four, émettant de la lumière
dont la couleur dépend justement de la température.
IV.3.2. Qualités d'un thermomètre :
Les qualités que nous allons développer ici ne sont pas propres au thermomètre. Elles
sont définies pour tout appareil de mesure.
Un thermomètre est caractérisé principalement par sa sensibilité, sa résolution, sa
fidélité, sa justesse, sa précision.
 Sensibilité :
Soit  la température à mesurer, et x une grandeur associée (ex : longueur). A une
valeur de  correspond une valeur de x. On définit la sensibilité S 
dx
, qui est la
d
pente de la courbe   f x  . La sensibilité est d'autant meilleure de S est grand.
 Résolution :
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La résolution est le plus petit intervalle de température mesurable.
 Justesse :
Un thermomètre est d'autant plus juste que la valeur mesurée est proche de la valeur
vraie.
 Fidélité :
La fidélité d'un thermomètre est d'autant meilleure que la mesure est reproductible.
 Précision :
Si la température  est mesurée à  près, sa précision est  / .