Deux gaz parfaits, constitus du mme nombre de moles n, sont

Thermodynamique
Année 1999/2000
Deuxième interrogation écrite
Sujet A
Deux gaz parfaits, constitués du même nombre de
moles n, sont enfermés dans un récipient aux parois
n
n
adiabatiques et séparés par une paroi amovible,
V1 T1
V2 T2
elle-même adiabatique. Dans l'état initial, les deux
(1)
gaz sont à la même pression P et à des températures
P
P
T1 et T2 différentes. Les volumes occupés par les
Etat initial
deux gaz sont notés V1 et V2 . Une fois la paroi séparatrice supprimée, à l'équilibre thermodynamique,
calculer:
a) la température finale T' du mélange en fonction de T1 et T2
b) la pression finale P' en fonction de P.
(2)
Sujet B
Une mole de gaz parfait est enfermée dans un récipient
fermé dans sa partie supérieure par un piston libre de se
déplacer sans frottements. La pression extérieure est
constante et égale à P0 . Le volume occupé par le gaz
P0
V2 T2
Cu
T0
P0
V1 T1
Cu
Etat initial
Etat final
est égal à V1 et la température régnant dans l'enceinte
est T1 . On introduit rapidement dans l'enceinte un bloc
de cuivre de capacité thermique massique C, de masse m et de température T0 . La transformation
est supposée irréversible. Calculer, en fonction de m, C, C p , T0 et T1 , la température finale T2
du système.
Corrigé
Sujet A
a) La variation d'énergie interne du gaz parfait dans le compartiment (1) s'écrit:
∆U1 = n C v (T'−T1 ) .
De même, pour le gaz parfait dans le compartiment (2), on a:
∆U 2 = n C v (T'−T2 ) .
21
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Au cours de la transformation, le système formé par les deux compartiments ne reçoit ni travail, ni
chaleur. Le premier principe donne :
∆U = ∆U1 + ∆U 2 = W + Q = 0,
ou encore
n C v (T'−T1 ) + n C v (T'−T2 ) = 0 ,
d'où
T + T2
T' = 1
.
2
b) La pression finale est donnée par l'équation d'état du gaz parfait
P' =
2 n R T'
,
V1 + V2
soit, en remplaçant T' par son expression, on obtient :
P' =
n R (T1 + T2 )
.
V1 + V2
Or
P V1 = n R T1 et P V2 = n R T2 ,
d'où
P' = P .
Sujet B
D’après le premier principe, la variation d'énergie interne ∆U du gaz est :
∆U = W + Q .
Or, pour un gaz parfait, on sait que l'énergie interne ne dépend que de la température et que la
variation ∆U s'écrit:
∆U = C v (T2 − T1 ) .
On a donc
C v (T2 − T1 ) = W + Q .
(1)
Le travail élémentaire échangé par le gaz est :
δW = −P0 dV ,
en intégrant, on obtient le travail total fourni par le gaz :
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W = −P0
V2
∫ dV = −P0 (V2 − V1 ) .
V1
Par ailleurs, La quantité de chaleur Q reçu par le gaz de la part du bloc de cuivre s’écrit :
Q = −Q' = −m C (T2 − T0 ) .
En remplaçant les expressions de W et Q dans l’équation (1), il vient :
C v (T2 − T1 ) = −P0 (V2 − V1 ) − m C (T2 − T0 ) .
Or
P0 V1 = R T1 et P0 V2 = R T2 ,
donc
C v (T2 − T1 ) + R (T2 − T1 ) = m C (T0 − T2 ) .
D’autre part, C v = C p − R ; on en déduit alors la température T2 :
T2 =
m C T0 + C p T1
m C + Cp
23
.