Exercice n°4

FACULTE DES SCIENCE DE TUNIS
DEPARTEMENT DE PHYSIQUE
LFPH2
2011/2012
Série n°1
TRAVAUX DIRIGES DE MECANIQUE DES FLUIDES
Exercices n°1 :
Soit une grandeur G associée à une particule fluide, représentant une grandeur scalaire
ou vectorielle (température, vitesse, etc.…). Montrer que les variations dans le temps sont
déterminées par l’équation :
DG G

 v.grad (G )
Dt
t
Exercice n°2 :
On considère un fluide en écoulement bidimensionnel dont le champ des vitesses est
donné dans un repère cartésien (Oxyz) par :



v  (u0   t )u x  v0u y ,
avec u0  v0  1m.s 1 et   2m.s 2
1) Cet écoulement est-il stationnaire ? Ce fluide est-il compressible ?
2) Déterminer les lignes de courant à t = t0.
3) Déterminer la trajectoire de la particule qui se trouve à l’origine O à t = 0.
Exercices n°3 :
Le champ de vitesse d’un écoulement fluide, en un point M (OM= r) repéré par ses
 
coordonnées cylindriques (r, ө, z) dans la base (ur , u , k ) est radial :
 k
v  u r où k est une constante positive, fonction du débit volumique de la source.
r
1- Caractériser l’écoulement.
2- Cet écoulement admet-il un potentiel des vitesses ? Si oui, le calculer.
3- Déterminer l’équation des lignes de courant.
4- Tracer l’allure des lignes de courant.

On donne : en coordonnées cylindriques, pour un vecteur A radial, on donne l’expression des

opérateurs : divA 
 A  1 A 
1 (rA)
et rot A 
u 
k
r r
z
r 
Exercice n°4
On considère l’écoulement bidimensionnel d’un fluide défini en coordonnées
Lagrangiennes par :
x =x0ekt
y =y0e-kt
1.
2.
3.
3.
Où k, x0 et y0 sont des constantes positives.
Déterminer l’équation de la trajectoire d’une particule fluide.
Trouver les composantes de la vitesse.
a) Le régime de l’écoulement est-il stationnaire ou instationnaire ?
b) L’écoulement est il compressible ou incompressible ?
4. déterminer le champ des vecteurs accélérations a .
5. Déterminer l’équation des lignes de courant.
Exercice n°5
On étudie deux écoulements plans stationnaires d’un fluide parfait, notés (E1) et (E2),
dont les champs de vitesse locale au point M(x, y, z) sont respectivement :
2
2
et
V2 ( v x  3 x 2 y , v y  3xy2 , v z  0 )
V1 ( v x  3xy , v y  3x y , v z  0 )
1°) Déterminer l’équation cartésienne et la forme des lignes de courant du fluide pour chacun
des deux écoulements (E1) et (E2).
2°) Déterminer les équations paramétriques x(t) et y(t), pour l’écoulement (E1) de la
particule P du fluide de coordonnées ( x0, y0 ,0 ) à l’instant t = 0 et que l’on suit dans son
mouvement (description lagrangienne).
3°) Exprimer la vitesse instantanée v p (t ) de la particule P et l’accélération a(t ) de cette
particule dans l’écoulement (E2), à l’aide des constantes x0 et y0, à partir de la description
lagrangienne.
4°) Retrouver l’accélération a de la particule du fluide de l’écoulement (E2) en utilisant une
description eulérienne : on se place au point d’observation M fixe.
Exercice n°6
L’écoulement plan d’un fluide incompressible autour du point d’arrêt O obéit au
champ des vitesses V (vx =  x, vy =  y) dans le plan (x O y) où  et  sont deux
constantes réelles positives, indépendantes du temps et (x, y) sont les coordonnées
cartésiennes d’un point M.
1°) Déterminer le potentiel des vitesses   x, y  en M(x, y) à l’aide de la seule constante  .
2°) Etablir les équations paramétriques x(t) et y(t) de la particule fluide qui était située en M 0
(x0, y0) à l’instant t = 0.
3°) La fonction courant  ( x, y ) de l’écoulement plan est définie par V = rot ( U z ).
a) Etablir les relations entre les dérivées partielles premières de φ et de .
b) Vérifier que le Laplacien de la fonction courant est nul.
c) Déterminer la fonction courant  ( x, y ) et tracer les lignes de courant après avoir
montré qu’elles se confondent avec les courbes  ( x, y ) = Cte.