cinematique des fluides - exercices

PSI 08/09
Lycée CONDORCET Belfort
CINEMATIQUE DES FLUIDES - EXERCICES
1.Liquide de vitesse non uniforme dans une conduite
Un liquide de masse volumique ρ , s’écoule dans une conduite circulaire avec une distribution transversale
des vitesses de la forme : v = v0 [1-(r/r0)2] , r étant la coordonnée radiale et r0 le rayon de la conduite.
Calculer le débit massique Dm en fonction de ρ , v0 et r0.
Quelle est la vitesse moyenne Vm du liquide ?
Quelle est l’expression du débit d’énergie cinétique ? La comparer à celle obtenue en supposant que la
vitesse est uniforme et égale à la vitesse moyenne.
2.Ecoulement à l'intérieur d'un diédre droit :
Soit dans la région x > 0 , y > 0 l'écoulement stationnaire défini en eulérien par :
v = k(− x.u x + y.u y ) , k constante positive.
Déterminer la nature des lignes de courant.
Calculer l'accélération a en utilisant la description eulérienne.
3.Ecoulement d'un fluide :
Un écoulement plan est décrit sous forme lagrangienne par la donnée des coordonnées (x,y) d'une particule
de fluide située en (x0,y0) à t = 0.
x = x0.exp ( -2t/s ) ; y = y0.exp ( t/s )
Calculer les équations de la trajectoire de la particule.
Déterminer la vitesse locale v(M, t) en description eulérienne.
L'écoulement est-il stationnaire ? Incompressible ?
Trouver l'équation des lignes de courant.
4.Ecoulement tourbillonnaire ( d’après CCP PC 99 )
On considère un écoulement orthoradial d'axe polaire Oz appelé tourbillon tel que
pour r < a, rot[v(M)] = γ.e z où γ est une constante algébrique.
pour r >a, rot[v(M )] = O .
Etablir l'expression de v (M ) en coordonnées polaires pour r >a et r<a.
Ce tourbillon est dit ponctuel dans le plan Oxy si l'on considère que si a → 0 et γ → ∞ , le produit πa²γ
demeure égal à la valeur finie Γ que l'on nomme intensité du tourbillon. Donner l'expression de v (M ) en
coordonnées polaires (r >a) avec Γ comme paramètre.
5.Mesure de température par une fusée-sonde :
On considère une fusée-sonde effectuant un vol vertical dans une atmosphère dans laquelle la température
décroît linéairement à partir du sol jusqu'à une altitude de 10000 pieds selon :
T(z) = T0 - bz avec b = 8.10-3 K.m-1
L'engin est muni d'un capteur de température.
Calculer le taux de variation de la température mesuré par ce capteur lorsque la fusée s'élève avec une
vitesse de 360 km.h-1.
Réponses: dT/dt = - 0,8 K.s-1.
6.Ecoulement engendré par une source rectiligne :
Une source rectiligne infinie, confondue avec l'axe Oz et de section négligeable, émet un fluide
incompressible avec un débit volumique par unité de longueur de source λ, réparti uniformémént le long de
Oz et constant.
PSI 08/09
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L'émission étant supposée isotrope dans chaque plan z = cste, les lignes de courant sont des droites radiales
qui divergent à partir de Oz.
En quelle unité s'exprime λ ? Déterminer le champ de vitesse de cet écoulement .
L'écoulement est-il irrotationnel ? Si oui, quel est le potentiel des vitesses ? Quelles sont les surfaces
équipotentielles ?
7.Ecoulement fluide :
Un écoulement fluide est caractérisé par le champ de vitesse :
v = b.u x + a cos(ω t).u y , a et b constantes positives.
Calculer les équations de la trajectoire d'une particule.
Calculer l'équation des lignes de courant.
Montrer que ρ est constante le long d'une trajectoire particulaire.
8.Modèle de la houle :
Le champ des vitesses d’un écoulement bidimensionnel modélisant la houle s’exprime en formalisme
eulérien par :
v = v 0 (cos ωt. u x + sin ωt. u y )
Déterminer les trajectoires et les lignes de courant.
9.Ecoulement d’un fluide autour d’un obstacle en rotation :
On étudie l’écoulement irrotationnel et stationnaire d’un fluide incompressible autour d’un cylindre d’axe
Oz et de rayon R, tournant autour de Oz à la vitesse angulaire Ω = Ωu z .
Le fluide, très loin du cylindre, a la vitesse V = V0 u x de direction perpendiculaire à Oz.
Un point M du fluide sera décrit par ses coordonnées cylindriques r, θ et z .
L’écoulement peut-être considéré comme la superposition de deux écoulements :

R2 
un écoulement E1 de potentiel des vitesses φ1 =  1 + 2  rV0 cosθ correspondant au cylindre fixe dans le
r 

fluide en écoulement uniforme à la vitesse V = V0 u x .
Un écoulement E2 de potentiel des vitesses φ2 = kθ, correspondant au cylindre tournant dans le fluide au
repos très loin du cylindre ( k constante positive ).
Calculer le champ des vitesses.
Vérifier que l’écoulement est potentiel.
Calculer la circulation de l’écoulement E autour du cylindre en fonction de k, puis en fonction de R et Ω.
Déterminer, suivant les valeurs du paramètre α = k / RV0, le nombre de points de vitesse nulle et leur(s)
position(s) dans un plan de section droite du cylindre.
10.Expansion uniforme :
Un fluide remplit tout l’espace. A l’instant t = 0, on communique à des particules de fluide une vitesse
initiale qu’elles conservent ensuite : plus précisément, si τ désigne une constante donnée, la particule de
fluide qui est initialement au point Mo acquiert une vitesse radiale et proportionnelle à sa distance OMo à un
point fixe O :
OM o
v(M 0 ) =
τ
a) Déterminer le champ eulérien des vitesse v(M, t ) à un instant t quelconque.
b) L’écoulement est-il stationnaire, incompressible , irrotationnel ?
c) Obtenir par le calcul le champ des accélérations a ( M, t ) et retrouver le résultat sans calcul.
d) On suppose que le fluide est homogène à tout instant. Déterminer la masse volumique ρ(t) à l’instant t en
fonction de la masse volumique initiale ρ0.Interpréter cette expression en calculant la masse de fluide
contenue à l’instant t dans la sphère de rayon r(t) = r0 ( 1 + t /τ ).