L`opérateur Nabla - Site du projet Mécaflotte

SOMMAIRE
L’opérateur Nabla ............................................................................................................ 1
1.1. Le laplacien ............................................................................................................... 1
1.2. Le gradient ................................................................................................................ 1
1.3. La divergence ............................................................................................................ 1
1.4. Le rotationnel............................................................................................................ 1
2. Notation ............................................................................................................................. 1
3. Le laplacien ....................................................................................................................... 2
3.1. Définition ................................................................................................................... 2
3.2. Coordonnée cartésienne ........................................................................................... 2
3.3. Coordonnée cylindrique .......................................................................................... 3
3.4. Coordonnée sphérique ............................................................................................. 4
3.5. Interprétation du laplacien ...................................................................................... 4
3.6. Relations entre opérateurs....................................................................................... 6
3.7. Autres sites à visiter ................................................................................................. 6
4. Le gradient ........................................................................................................................ 7
4.1. Définition ................................................................................................................... 7
4.2. Coordonnée cartésienne ........................................................................................... 7
4.3. Coordonnée cylindrique .......................................................................................... 7
4.4. Coordonnée sphérique ............................................................................................. 8
4.5. Exemple de calcul ..................................................................................................... 8
4.6. Interprétation du gradient....................................................................................... 9
5. La divergence .................................................................................................................. 10
5.1. Définition ................................................................................................................. 10
5.2. Coordonnée cartésienne ......................................................................................... 10
5.3. Coordonnée cylindrique ........................................................................................ 10
5.4. Coordonnée sphérique ........................................................................................... 10
5.5. Interprétation de la divergence ............................................................................. 11
6. Le rotationnel.................................................................................................................. 13
6.1. Définition ................................................................................................................. 13
6.2. Coordonnée cartésienne ......................................................................................... 13
6.3. Coordonnée cylindrique ........................................................................................ 13
6.4. Coordonnée sphérique ........................................................................................... 14
6.5. Interprétation du rotationnel ................................................................................ 14
7. Relation entre les opérateurs ......................................................................................... 17
1.
Projet de mécanique des fluides – ENSAM Angers
1.
L’opérateur Nabla
Le nabla  tire son nom d'une lyre antique qui avait la même forme de triangle
pointant vers le bas. Il s'agit d'un opérateur formel de
défini en coordonnées cartésiennes
par :
 
 
 x 

 
 y 
 
 
 z 

 pour souligner que formellement, l'opérateur nabla est un vecteur. La
On écrit aussi
notation nabla fournit un moyen commode pour exprimer les opérateurs vectoriels en
coordonnées cartésiennes (uniquement en coordonnée cartésienne).
1.1.
Le laplacien
Cette écriture est valable pour le laplacien scalaire et vectoriel
V  (V )   ²V
1.2.
et
 A  ( A)  ² A
Le gradient
grad (V )  .V
2.
1.3.
La divergence

 
div ( A)  . A
1.4.
Le rotationnel

 
rot ( A)    A
Notation
On considérera le champs scalaire V(x,y,z)
On considérera également le champ vectoriel :
 Ax ( x, y, z ) ex


A   Ay ( x, y, z ) e y
 A ( x, y, z ) e
 z
 z
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1
3.
Le laplacien
3.1.
Définition
Le laplacien, du nom de Pierre-Simon de Laplace, est le plus utilisé des opérateurs
d'ordre deux.
L'opérateur laplacien mesure les irrégularités dans les valeurs d'une fonction : une
fonction "assez régulière" est de laplacien nul. L'importance de l'équation de Laplace
(annulation du laplacien) a été remarquée dès le départ par Laplace dans l'étude de problèmes
de gravitation. Il a également utilisé le laplacien pour des problèmes de diffusion de la chaleur
et de propagation des ondes. Il intervient aujourd'hui en imagerie. Il permet également de
définir la courbure d'une surface et d'étudier les surfaces minimales.
Le laplacien d'un champ s'obtient en appliquant deux fois l'opérateur nabla, et il est noté.
 A  ( A)  ² A
3.2.
Coordonnée cartésienne
z
dz
M

ez

ex
x
dy
dx
O
y

ey
Le laplacien d'un champ est égal à la somme des dérivées
secondes de ce champ par rapport à chacune des variables. Cette
définition a un sens aussi bien pour un champ de scalaires que
pour un champ de vecteurs. On parle respectivement de laplacien
scalaire et de laplacien vectoriel. Le laplacien scalaire d'un champ
de scalaires est un champ de scalaires, alors que le laplacien
vectoriel d'un champ de vecteurs est un champ de vecteurs.
Laplacien scalaire :
V 
 2V  2V  2V


x 2 y 2 z 2
Laplacien vectoriel :
Le Laplacien vectoriel est tout simplement pour chaque composante le Laplacien
scalaire appliquée à chacune des composantes (Ax(x,y,z), Ay(x,y,z), et Az(x,y,z)) du champ
vectoriel A
 A  Ax e x  Ay e y  Az e z
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2
Soit en développant, on obtient :

 ² Ax  ² Ax  ² Ax 
 Ax 



x ²
y ²
z ² 

ex

 ² Ay  ² Ay  ² Ay 
 A  ² A   Ay 


 ey
x ²
y ²
z ² 

e

 ² Az  ² Az  ² Az  z

A



 z
x ²
y ²
z ² 

3.3.
Coordonnée cylindrique
z
dz
M
O
x


ez
r M'
OM' = r
dr
rd
y

e


er
Laplacien scalaire :
V 
1   V  1  ²V  ²V

r

r r  r  r ²  ² z ²
Laplacien vectoriel :
Le laplacien vectoriel a une expression complexe dans ces coordonnées.

A
1
 Ar   Ar  2 
r² 



A
1
 A   A   A  2 r
r² 



A

z




  er

  e

e
 z


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3
3.4.
Coordonnée sphérique
z
 M
r
O
x


er

e

e
y

e

u
Le laplacien scalaire:
 (sin  V )
V  1  (rV) 1 ²V  1
r r²
r²sin ² ² r²sin ² 

Le laplacien vectoriel :

A  

2

 Ar 
 Ar  sin   
 A sin      
r ² sin ²  

  

e

A   r
 A
Ar
2

  e
 A   A 
 sin ²  
 cos  
r ² sin ²   2

  

e

A   
 A
Ar
2
 A 


 sin ²  
 cos  

r ² sin ²   2

  

3.5.
Interprétation du laplacien
Le Laplacien ou comment détourer une image.
Sur une photographie noir et blanc, chaque point est d'un gris plus ou moins foncé. C'est
sur les contours, là où la lumière varie brusquement que l'œil repère les formes : un choucas
sur un tas de charbon est aussi difficile à repérer qu'un ours blanc sur la neige, mais l'inverse
attire l'œil, car l'animal se découpe sur le fond.
L'opérateur de Laplace (ou laplacien) associe à tout point d'une image la "quantité de
variation de lumière" autour de ce point. Il n'y a pas de variation sur le choucas, ni sur la
neige, mais une grande variation aux points frontières, là où le choucas rencontre la neige.
A l'aide de l'ordinateur, on peut calculer pour chaque point cette variation (c'est une affaire
de dérivées, ou de différences finies), et la représenter sur une nouvelle image qui fait
apparaître ainsi uniquement les contours, et non les zones uniformes, qu'elles soient claires ou
foncées. C'est un principe utilisé aujourd'hui par les logiciels de retouche d'image ainsi que
ceux de reconnaissance en robotique.
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4
Exemple :
Ci-dessous : le portrait de Laplace a été modifié par ordinateur de plusieurs façons
différentes. Retrouvez lesquelles utilisent l'opérateur Laplacien.
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5
3.6.
Relations entre opérateurs
Définition intrinsèque du laplacien scalaire. V  div( grad V )
  
  
Définition intrinsèque du laplacien vectoriel.  A  grad div A  rot rot A
Remarque :
Le rotationnel d'un Laplacien scalaire n'existe pas puisque l'opérateur rotationnel
s'applique à un champ vectoriel alors que par construction le Laplacien scalaire est un scalaire
3.7.
Autres sites à visiter
http://www.tsi.enst.fr/tsi/enseignement/ressources/mti/zero_max_grad/projet.html
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6
4.
Le gradient
4.1.
Définition
Le gradient est un opérateur mathématique de
dans
. Le gradient caractérise une
variation, orientée dans l'espace, d'une grandeur physique. Un gradient de champ magnétique,
par exemple, est un accroissement de l'intensité du champ magnétique dans une direction
donnée. Il peut être appliqué à un champ scalaire, ou à un vecteur. S’il est simplement
appliqué à un champ scalaire V(x,y,z), le gradient de ce champ donne un vecteur. Le gradient
obtenu est lui un champ vectoriel.
Remarque : Le gradient augmente l'ordre de la relation de 1. En effet le gradient d'un
scalaire est un vecteur, et le gradient d'un vecteur est un tenseur d'ordre 2. Ceci est général.
4.2.
Coordonnée cartésienne
z
dz
M

ez
dy
dx
Les coordonnées cartésiennes s’expriment dans la base
  
repérée par les vecteurs unitaire e x , e y , e z 
M est repéré par ses coordonnées x, y et z dans la base
orthonormée directe (x,y,z).
O

ex
x
grad (V ) 
y

ey
V  V  V 
ex 
ey 
ez
x
y
z
Mais on peut simplement écrire le gradient grâce à l’opérateur nabla, en effet :
grad (V )  .V
4.3.
Coordonnée cylindrique
z
dz
M
O
x


ez
r M'
OM' = r
dr
rd
y

e


er
M est repéré par ses coordonnées r (distance à l'axe
Oz),  (angle entre Ox et OM’) et z dans la base orthonormée
directe (x,y ,z ).
grad (V ) 
V  1 V  V 
er 
e 
ez
r
r 
z
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7
4.4.
Coordonnée sphérique
z
 M
r
O
x

4.5.

er
En Physique, on repère M par ses coordonnées r (r =
OM), 
(colatitude) et  (longitude) dans la base
orthonormée directe (x,y ,z ).

e

e
y

e
grad (V ) 
V  1 V 
1
V 
er 
e 
e
r
r 
r. sin(  ) 

u
Exemple de calcul
Soit une fonction f, définie par f=3x²+7y+2z3+3xy en coordonnée cartésienne.
Calculer la formule littérale du gradient, puis sa valeur au point (3,-2,5).
On applique donc la formule du gradient en coordonnée cartésienne pour les
différentes directions:
f
f
f
 6z 2
 7  3x ;
 6x  3y ;
z
x
y
On somme ensuite ces différents membres pour avoir l’expression littérale :



grad ( f )  (6 x  3 y)ex  (3x  7)ey  6 z 2ez
Pour avoir la valeur de ce gradient au point (3,-2,5), il suffit de calculer la fonction
ainsi obtenue en ce point :



grad ( f (3,2,5))  12ex  16ey  150ez
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8
4.6.
Interprétation du gradient
Le gradient horizontal est la variation horizontale d’une grandeur. Il s’exprime pour
une variable dont on connaît la valeur dans toute une zone comme par exemple la
température, la pression, l’altitude.
Plus la variation est rapide, plus le gradient est fort.
Exemple simple de gradient pente de la surface de la terre :
prenons une carte topographique comportant des lignes de niveaux. Les lignes de niveaux
représentent l’altitude. Le gradient de l’altitude sera la variation d’altitude par unité de
longueur, soit la pente. Plus les lignes de niveaux sont rapprochées plus la pente est raide, et
plus le gradient est fort.
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9
5.
La divergence
5.1.
Définition
Soit A un champs de vecteur dans le repère (x,y,z) la divergence de ce vecteur se définit
par div(A), la divergence est un « micro-flux ».
5.2.
Coordonnée cartésienne
z
dz
M

ez
dy
 A Ay Az
div A  x 

x
y
z

dx
O

ex
y

ey
x
5.3.
Coordonnée cylindrique
z
dz
M
O
x

dr

ez
Coordonnée sphérique
z
 M
r
x



er
OM' = r
O
 1  rAr  1 A Az
div A 


r r
r 
z

r M'
5.4.
rd
y

e

er

e

e



A
sin   A 
1  r 2 Ar
1
1
div A  2


r
r
r  sin 

r  sin  

y

e

u
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10
5.5.
Interprétation de la divergence
La divergence d'un champ vectoriel peut être interprétée concrètement de la manière
suivante :
En prenant comme champ vectoriel la vitesse d'un gaz réel (compressible), la
divergence de ce champ peut être interprétée comme une mesure de l'accroissement de la
matière en un point donné. Ce phénomène se traduit concrètement par le fait que toutes les
vitesses sont localement dirigées vers ce point. Lorsqu’un champ converge (les directions des
vecteurs convergent), la divergence est négative.
Ce phénomène de compression peut aussi se produire dans des cas où il n’y a pas de
variation de direction ; par exemple, dans un champ où tous les vecteurs sont parallèles,
lorsqu’un vecteur est plus petit que celui qu’il précède : variation (ici diminution) des
modules des vecteurs (par exemple dans un cours d’eau ou chaque volume élémentaire d’eau
irait plus vite que celui devant lui). Dans ce cas, il y a divergence négative. De même, si celui
devant est plus grand, il y a divergence positive.
Champ de vecteurs ayant une divergence négative :
Il y a donc deux paramètres à l’origine de l’existence d’une divergence dans un champ
de vecteurs : une variation de direction (divergence directionnelle), une variation de module
(divergence modulaire).
A1
A2
A3
Ici il y a divergence modulaire et directionnelle car respectivement le module de A1
est plus important que A2 et A3 n’a pas la même direction que A1
Divergence directionnelle et divergence modulaire peuvent se compenser dans un
champ de vecteurs de telle sorte que la divergence de celui-ci soit nulle (bien que les modules
des vecteurs ne soient pas tous égaux et que leurs directions soient différentes). Par exemple
dans champ électrique correspondant à une charge libre, div E est nul.
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11
Champ électrique rayonnant d'une charge ponctuelle. Il y a divergence directionnelle
et convergence modulaire :
En fait, dans un espace à deux dimensions, pour un champ de vecteur radial dirigé vers
l'extérieur, la divergence n'est identiquement nulle en tout point du plan que si le module
décroît exactement comme l'inverse du rayon. S'il décroît plus vite, la convergence modulaire
l'emportera sur la divergence directionnelle. S'il décroît moins vite, l'inverse se produira. Dans
les deux cas, la divergence totale ne sera plus identiquement nulle.
Exercice :
Ci dessus divers champs de vecteurs où il est possible de trouver la divergence totale à
l'oeil nu. Essayez de déterminer lesquels ont une divergence totale nulle (0), négative (-),
positive (+) ou indéterminée.
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12
6.
Le rotationnel
6.1.
Définition
Le rotationnel est un opérateur permettant de mesurer localement un tourbillonnement. On

l’applique généralement à un champs de vecteur noté A . Le rotationnel peut-être de nature
modulaire ou dimensionnelle, il est noté rot A et peut s’exprimé dans les trois systèmes de
coordonnées.

6.2.
Coordonnée cartésienne
z
dz

ex

 A Ay    Ax Az    Ay Ax  
rot A   z 

ey  

 ex  
 ez
z 
x 
y 
 z
 y
 x
M

ez
dx
dy
O
y

ey
x
6.3.
Coordonnée cylindrique
z
dz
M
O
x


ez
r M'
OM' = r
dr
rd
y

e

1  A A
rot A   z  
r  
z
Ar  
   Ar Az   1  
 er   z  r  e  r  r (r. A )    ez







er
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13
6.4.
Coordonnée sphérique
z
 M
O

6.5.
y

e

rot A 

e

e
r
x

er

u
1
r.sin 

A   1  1 Ar 
 1 
Ar  
  (sin  . A    er  r  sin    r (r. A ) e  r  r (r. A )    e






Interprétation du rotationnel
Le rotationnel est une mesure de la tendance à pivoter qu'aurait un petit objet situé à
l'endroit étudié, et sur lequel la grandeur vectorielle aurait un quelconque effet d'entraînement.
Si vos pieds sont déposés chacun sur un patin à roulettes, et que ces derniers possèdent chacun
une vitesse parallèle mais de module différent, vous allez pivoter. Ici, des vecteurs parallèles
possèdent un rotationnel dû à une différence de module: c'est un rotationnel modulaire.
Rotation due à la différence de module entre deux vecteurs adjacents :
Comment des vecteurs de modules constants pourraient-ils faire pivoter? Simplement
si de deux vecteurs, celui qui est devant, pointe dans une autre direction. Le rotationnel
directionnel est relié à la courbure des lignes de force (courbes dont la tangente, en tout point,
est parallèle à la direction des vecteurs). Si vous suivez une ligne de force circulaire par
exemple, vous allez bien parcourir un cercle mais vous allez aussi pivoter, en autant que vous
conserviez en tout moment la même orientation que la tangente. En effet, toute trajectoire
circulaire de ce type peut être considérée comme la superposition d'un mouvement de
translation et d'un mouvement de rotation, et seul ce dernier est considéré ici.
Si deux vecteurs situés l'un au devant l'autre (i.e. deux vecteurs définis en deux points
voisins situés sur une même ligne de force), sont de direction différente, il y aura rotation
directionnelle.
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14
Rotation due à la différence de direction entre deux vecteurs consécutifs sur une même
ligne de force :
Remarquez que curieusement, c'est l'inverse pour la divergence: afin de noter un effet
modulaire, il faut regarder le vecteur devant et pour un effet directionnel, le vecteur de côté.
Imaginons maintenant un champ dans l'espace bidimensionnelle où les deux
contributions seraient égales et opposées, L'électromagnétisme constitue une bonne source
d'exemple: le champ magnétique induit par un fil infiniment long et parcouru d'un courant
constant, sortant de la page, est tout indiqué. En magnétostatique, rot B = uoJ , et ici le
courant (J) est nul partout ailleurs que dans le fil (ou uo représente la perméabilité du vide au
champ magnétique), le rotationnel de ce type de champ doit être identiquement nul. On
constate en effet que les rotations modulaire et directionnelle sont opposées: sens horaire pour
la contribution de module et sens anti-horaire pour la contribution de direction.
Représentation de la rotation due au module et à la direction.
On utilise ici le champ de vecteur magnétique produit par la circulation d'un courant
dans un fil infini (sort de la page). Sur une même ligne de force (circulaire) le vecteur champ
magnétique a en tous points un module identique et une direction tangente au cercle.
On prend deux vecteurs côte à côte, si celui près du centre est plus grand que le second
alors la rotation modulaire est dans le sens horaire. On prend deux autres vecteurs qui se
suivent sur un cercle, si celui qui est devant pointe vers la gauche par rapport au premier alors
la rotation directionnelle est dans le sens anti-horaire.
Projet de mécanique des fluides – ENSAM Angers
15
Une étude quantitative plus poussée montrerait qu'en s'éloignant du fil, la rotation
modulaire décroît comme 1/r2; mais que la rotation directionnelle (proportionnelle à la
courbure) ne décroît que comme 1/r. Il faut cependant pondérer la contribution directionnelle
par un facteur relié au module même du vecteur. Il est ici proportionnel à l'inverse du rayon:
on a donc une décroissance totale comme 1/r2; pour chacune des contributions et le
rotationnel est, en s'éloignant du fil encore égal à zéro.
Représentation de la différence de rotation directionnelle due au module.
On observe (pour un même angle) que la distance entre les extrémités de deux
vecteurs augmente selon le module. Plus le rayon de courbure du cercle est petit plus le
rotationnel du champ de vecteur en ce point est grand.
L'extension à l'espace réel (tridimensionnel) se fait simplement. Le module du vecteur
rotationnel sera proportionnel aux grandeurs discutées précédemment (rotation modulaire et
directionnelle). L'orientation sera donnée par la normale au plan qui contient, au point étudié,
l'arc de cercle défini par la ligne de force.
Finalement, le sens du vecteur rotationnel sera déterminé par la règle de la main droite.
Le rotationnel est donc une mesure locale du tourbillonnement.
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16
7.
Relation entre les opérateurs
Si A et B sont des champs vectorielles différentiables, et si  et  sont des champs
scalaires de ( x, y, z ) différentiables, alors :
 (   )     ou grad (   )  grad   grad 
 .( A  B)  . A  .B ou div ( A  B)  div A  div B
   ( A  B)    A    B ou Rot ( A  B)  Rot A  Rot B
 .( A)  ( ). A   (. A)
   ( A)  ( )  A   (  A)
 .( A  B)  B.(  A)  A.(  B)
   ( A  B)  ( B.) A  B(. A)  ( A.) B  A(.B)
 ( A.B)  ( B.) A  ( A.) B  B  (  A)  A  (  B)
 2  2  2
2
2
2
2
 .( )     2  2  2 où   2  2  2 s ' appelle l ' opérateur Laplacien
x
y
z
x
y
z
2
   ( )  0 Le rotationnel du gradient de  est nul
 .(  A)  0 La divergence du rotationnel de A est nul
   (  A)  (. A)   2 A
Projet de mécanique des fluides – ENSAM Angers
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