chap-3-systemes-spheriques

Systèmes sphériques
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Chap. 3
Systèmes sphériques
I. Dioptres sphériques : .......................................................................................................................... 2
I.1. Définition et notations : .............................................................................................................. 2
I.2. Image d'un point : ........................................................................................................................ 2
I.3. Relation de conjugaison avec origine au sommet : ................................................................ 3
I.4. Foyers d'un dioptre sphérique : ............................................................................................... 5
I.5. Construction de l'image d'un objet transversal : ................................................................. 6
I.6. Grandissement transverse :....................................................................................................... 7
II. Miroirs sphériques : .......................................................................................................................... 7
II.1. Définition et notations :............................................................................................................ 7
II.2. Relation de conjugaison avec origine au sommet : .............................................................. 8
II.3. Foyers d'un miroir sphérique : ................................................................................................ 8
II.3. Construction de l'image d'un objet transversal : ............................................................... 8
III. Les lentilles :..................................................................................................................................... 9
III.1. Les lentilles épaisses : ............................................................................................................. 9
III.1.1. Définition : .......................................................................................................................... 9
III.1.2. Position des foyers : ...................................................................................................... 10
III.1.3. Application à une sphère transparente : ................................................................... 11
III.2. Les lentilles minces : ............................................................................................................. 12
III.2.1. Définition et caractéristiques : .................................................................................. 12
III.2.2. Exemples de lentilles minces : .................................................................................... 12
III.2.3. Relation de conjugaison avec origine au centre : .................................................... 13
III.4. Foyers d'une lentille mince : ............................................................................................... 14
III.5. Construction d'une image : .................................................................................................. 14
IV. Quelques applications des lentilles: ............................................................................................ 15
IV.3.1. Loupe de Coddington : ..................................................................................................... 15
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Chap. 3
SYSTEMES SPHERIQUES
Dioptres sphériques – Miroirs sphériques – Lentilles
I. Dioptres sphériques :
I.1. Définition et notations :
Un dioptre sphérique sépare deux milieux d'indice différents n1 et n2, et possède un rayon de
courbure R (Figure 1). Remarquons que le dioptre plan est un dioptre sphérique dont le rayon de
courbure est infini.
C centre du dioptre
S sommet du dioptre
R = rayon de courbure. R, compte tenu de
sa définition, peut être positif ou négatif.
(Cx) axe principal ou axe optique
Figure 1
I.2. Image d'un point :
Figure 2
Soit un point A de l'axe principal. Pour construire l'image A' de A, prenons un rayon issu de
A, frappant le dioptre en I (Figure 2). Dans l'exemple donné, n1 < n2. Si l'on considère un élément
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infinitésimal du dioptre autour de I, cet élément peut être considéré comme plan. La loi de
Descartes indique que le rayon réfracté se rapprochera de la normale. Le rayon réfracté semble
provenir d'un point A' de l'axe (Cx). A' est l'image de A par le dioptre, puisqu'un rayon provenant
de A et passant par S émerge sans être dévié. Notons que A' est plus proche de S que A.
Figure 3
Dans le cas présenté ci-dessus, n1 > n2. L'image A' de A, toujours virtuelle, est repoussée vers
l'avant.
I.3. Relation de conjugaison avec origine au sommet :
I
A
c
b
B
a
C
Figure 4
Dans ce paragraphe, nous allons déterminer une relation entre la position de l'objet et de
l'image par rapport au point S. En préliminaire, nous allons démontrer une relation utile dans un
triangle quelconque (Figure 4) :


IC
sin   Aˆ 
 sin Aˆ
b
IC
sin Bˆ 
a
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4
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donc
a
sin Aˆ

b
sin Bˆ
De même, en appliquant cette méthode à l'angle Ĉ , nous obtenons la relation générale
suivante :
a
sin Aˆ

b
c

sin Bˆ sin Cˆ
Dans le triangle (CIA1) (Figure 5) :
A1 I
AI
AC
 1  1
sin     sin  sin i1
Dans le triangle (CIA1) :
A2 I
AI
AC
 2  2
sin     sin  sin i2
Figure 5
sin  
A1 I
AI
sin i1  2 sin i2
A1C
A2 C
de plus n1 sin i1  n2 sin i2
d'où :
A1 I
A2 I

n1 A1C n2 A2 C
Cette relation, qui a été démontrée en utilisant les distances est à appliquer en fait sur les
mesures algébriques :
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5
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A1 I
A2 I

n1 A1C n2 A2 C
Dans les conditions de Gauss, c'est à dire pour des angles incidents très inférieurs à 1, I est
proche de S :
A1 S
AS
 2
n1 A1C n2 A2 C
CA1  CS  SA1
de même
CA2  CS  SA2



n1 CA1 n1 CA2
n CS  SA1 n2 CS  SA2

 1

SA1
SA2
SA1
SA2

 SC 

SC 
  n2 1 

n1 1 

 SA 
SA
1
2 


n1  n1
SC
SC
 n2  n2
SA1
SA2
soit, en divisant les deux membres par SC :
n1
n
n n
 2  1 2
SA1 SA2
SC
Cette relation est appelée relation de conjugaison avec origine au sommet.
I.4. Foyers d'un dioptre sphérique :
Le foyer image F' d'un système optique quelconque est l'image d'un objet situé à l'infini. De
la même manière, le foyer objet F est le lieu d'occupation d'un objet dont l'image est à l'infini.
A1 à l'infini donc A2 en F'. La relation de conjugaison devient :

n2 n1  n2

SF '
SC
d'où
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SF ' 
n2
SC
n2  n1
A2 à l'infini donc A1 en F. La relation de conjugaison devient :
n1 n1  n2

SF
SC
d'où
SF 
n1
SC
n1  n2
Il est clair que ces deux relations n'ont pas à être apprises par cœur, mais doivent être
retrouvées à partir de la relation de conjugaison.
I.5. Construction de l'image d'un objet transversal :
Pour déterminer l'image d'un objet AB, il faut au moins deux rayons. Il existe, pour les
dioptres sphériques, trois rayons particuliers :
 Un rayon qui passe par C n'est pas dévié.
 Un rayon qui passe par F (si F est en avant du dioptre) ou qui passerait par F (si F est
en arrière du dioptre) ressort parallèlement à l'axe optique (Figures 6 et 7).
 Un rayon parallèle à l'axe optique ressort en convergeant vers F' (si F' est en arrière du
dioptre) ou en divergeant, le rayon semblant provenir de F' (si F' est en avant du
dioptre).
Selon les valeurs des indices, ou la nature du dioptre (convexe ou concave), l'image peut
être :
 réelle ou virtuelle.
 droite ( > 0) ou renversée ( < 0).
 agrandie ou réduite.
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Figure 6
Figure 7
I.6. Grandissement transverse :
Considérons les triangles (CAB) et (CA'B') de la figure 7 :
 
A' B' CA'

AB CA
II. Miroirs sphériques :
II.1. Définition et notations :
Un miroir sphérique a une surface réfléchissante et, comme le dioptre sphérique, un rayon
de courbure (Figure 8).
Figure 8
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II.2. Relation de conjugaison avec origine au sommet :
Contrairement au dioptre sphérique, un seul milieu intervient, d'indice n (Figure 8). Il n'est
pas besoin de redémontrer la relation. Il suffit de remarquer que le miroir est un dioptre dont le
deuxième milieu aurait pour indice –n, le signe "moins" assurant le retour des rayons après
réflexion. La relation établie au § I.3. devient :
1
1
2


SA1 SA2 SC
II.3. Foyers d'un miroir sphérique :
Comme dans le § I.4., il faut faire tendre et vers l'infini pour trouver la position des foyers
objet F et image F'. Il vient (Figure 9) :
SF  SF ' 
SC
2
Comme le montre la relation ci-dessus, le résultat est beaucoup plus simple que dans le cas
d'un dioptre sphérique.
Figure 9
II.3. Construction de l'image d'un objet transversal :
Le principe de construction est bien entendu le même que celui adopté pour le dioptre
sphérique (Figure 10).
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Figure 10
III. Les lentilles :
III.1. Les lentilles épaisses :
III.1.1. Définition :
Une lentille épaisse est formée par l'association de deux dioptres sphériques dont les
sommets S1 et S2 sont distincts l’un de l’autre. Il n’existe pas de relation particulière pour les
lentilles épaisses, contrairement aux lentilles minces (cf § III.2.). Il faut utiliser la relation de
conjugaison pour les dioptres sphériques et l’utiliser pour chacun des dioptres.
La Figure 11 montre un exemple de lentille épaisse, comportant un dioptre convexe, puis un
dioptre concave, et d’indice n.
Figure 11
Les relations de conjugaison s’écrivent :
1
n
1 n


S1 A S1 A1 S1C1
n
1
n 1


S 2 A1 S 2 A' S 2 C2
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III.1.2. Position des foyers :
A partir de ces relations, la position des foyers objet et image de ces deux dioptres sont
faciles à déterminer (Figure 12).
Figure 12
La Figure 13 indique le tracé des rayons issus du foyer objet F1 du dioptre (1). Les rayons
ressortent parallèlement à l’axe optique dans le milieu d’indice n et convergent, à la sortie du
dioptre (2), au foyer image F’2 de ce dioptre.
Figure 13
Nous pouvons aussi définir les foyers F et F’ du système composé des deux dioptres. F est
le point dont l’image par le système est à l’infini (Figure 14), alors que F’ est l’image d’un point
situé à l’infini (Figure 15).
Figure 14
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Figure 15
III.1.3. Application à une sphère transparente :
Soit une sphère transparente d’indice n = 1,5, de centre C et de rayon de courbure
S1C  CS2  20 cm (Figure 16).
Figure 16
L’application des relations de conjugaison donne :
S1F1   S 2 F '2 = –20 cm, S1F '1   S 2 F2 = 30 cm, et S1F   S 2 F ' = –10 cm.
Les Figures 17 et 18 montrent le tracé des rayons issus de F et venant de l’infini, donc
convergent vers F’. Nous vérifions bien à travers ces figures que les foyers F et F’ sont bien à
une distance des sommets deux fois plus petite que le rayon de la sphère.
Figure 17
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Figure 18
III.2. Les lentilles minces :
III.2.1. Définition et caractéristiques :
Une lentille mince est formée par l'association de deux dioptres sphériques dont les sommets
S1 et S2 sont pratiquement confondus en un même point O (Figure 19). Le point O est appelé
centre de la lentille. L'axe passant par O, et est appelé axe principal de la lentille. Le plan
perpendiculaire à cet axe est appelé plan de la lentille.
Figure 19
III.2.2. Exemples de lentilles minces :
La Figure 20 présente quelques types de lentilles minces, convergentes et divergentes.
Remarquons qu'une lentille convergente a des bords minces, alors qu'une lentille divergente a
des bords épais.
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Figure 20
III.2.3. Relation de conjugaison avec origine au centre :
Une lentille mince étant composée de deux dioptres, nous allons évidemment utiliser les
relations de conjugaison pour les dioptres. Supposons que la lentille soit dans l'air, d'indice 1, et
que la lentille soit composée d'un matériau d'indice N. Appelons A1 l'image de A par le 1er dioptre
et A' l'image de A1 par le 2ème dioptre.
1 N
1
N


S1C1 S1 A S1 A1
N 1
N
1


S2C2 S2 A1 S2 A'
La lentille étant mince, les deux sommets sont proches de O. Les deux relations ci-dessus
deviennent :
1 N
1
N


OC1 OA OA1
N 1 N
1


OC 2 OA1 OA'
En éliminant le quotient faisant intervenir l'image intermédiaire, nous obtenons :
1 N
1 N 1 1



OC1 OA OC 2 OA'
N 1 N 1
1
1



OC1 OC 2 OA' OA
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 1
1
1
1 


  N  1 


OA' OA
 OC1 OC 2 
Cette relation constitue la relation de conjugaison avec origine au centre pour les lentilles
minces.
III.4. Foyers d'une lentille mince :
Pour déterminer les foyers objet F et image F', il faut faire tendre respectivement l'objet et
l'image vers l'infini. Nous obtenons :
 1
1
1
1 


 N  1 


OF '
OF
 OC1 OC 2 
La relation de conjugaison peut donc se mettre sous la forme suivante :
1
1
1


OA' OA OF '
III.5. Construction d'une image :
Figure 21a
Figure 21b
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Figure 21c
La Figure 21 ci-dessus schématise un exemple de construction d'images d'un objet réel ou
virtuel dans le cas d'une lentille convergente. Lorsque l'objet est réel et en amont de F, l'image
est réelle. Si l'objet réel est en aval de F, l'image est virtuelle (principe de la loupe). Si l'objet est
virtuel, l'image est réelle.
IV. Quelques applications des lentilles:
IV.3.1. Loupe de Coddington :
La loupe (ou microscope) de Coddington est constituée d'une sphère au centre de laquelle
est inséré un diaphragme afin d'avoir un stigmatisme approché et de l'utiliser en orthoscopie
(Figure 22).
Figure 22
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