RACINE CARREE 1) Racine carrée d`un nombre positif a) Définition

RACINE CARREE
1) Racine carrée d’un nombre positif
a) Définition
Soit a un nombre positif. La racine carrée de a (noté
) est le nombre positif dont le carré est a.
Pour tout nombre « a » positif,
.
Remarque :
 Le symbole
est appelé radical.
 Si a est un nombre strictement négatif alors
n’existe pas.
Exemple :
 Cas où
On sait que :
est un nombre entier
0² = 0
1² = 1
2² = 4
3² = 9
4² = 16
5² = 25
Donc
On dit que : 0, 1, 4, 9, 16, 25, ….sont des carrés parfaits (carré des nombres entiers).
 Cas où
est un nombre rationnel non entier :
 Cas où
est un nombre irrationnel :
approchées de ces nombres avec la calculatrice.
…… On ne peut obtenir que des valeurs
b) Propriétés
Pour tout nombre positif a, on a :
.
Démonstration : Par définition de la racine carrée.
Exemples :
…..
,
Pour tout nombre positif a, on a :
Démonstration : Par définition,
positif et son carré vaut a², donc
.
est le nombre qui élevé au carré donne a². Or a est un nombre
.
Remarque : Si a est un nombre positif, alors
Exemple :
;
existe et on a :
;
…..
EXERCICE 1 : Compléter les pointillés.
Exemple : 2² = 4, 2 est positif donc :
a) …… = 6², ….. est positif donc ….. = 6.
b) 17² = 249, …... est positif donc ….. = ….. .
c) ……² = 16, ….. est positif donc …..= …… . d) ……² = ….., …... est positif donc
= …… .
e) ….² = 81, ….. est positif donc
= ……. .
= ….. .
e) ……² = ….. , …… est positif donc
EXERCICE 2 : Calculer.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
b)
c)
e)
f)
EXERCICE 3 : Calculer.
a)
d)
2) Racines carrées et opérations
a) Multiplication et division
Le produit des racines carrées de deux nombres positifs est égal à la racine carrée de leur produit.
Ainsi, pour tous nombres positifs a et b, on a :
.
Démonstration :
. Or, par définition de la racine carrée,
dont le carré est ab. On obtient donc :
Exemples :

Ecrire un nombre
.
,
sous la forme
Technique :
 On écrit a sous la forme
 On utilise la formule
 On conclut
Exemple : Ecrire
sous la forme
(propriété liée à la définition)
avec c nombre entier positif.
est le seul nombre positif
EXERCICE 4 : Ecrire sous la forme
(a est un entier positif)
a)
b)
c)
d)
e)
f)

Ecrire un nombre
sous la forme
avec b le plus petit possible
Technique :
 On cherche le plus grand carré parfait qui divise c
 On écrit c sous la forme a²b où a² est le plus grand carré parfait trouvé
 On utilise la formule
 On conclut en utilisant la formule liée à la définition :
Exemple : Ecrire
sous la forme a
avec a et b nombres entiers positifs et b le plus petit
possible.
36 est le plus grand carré parfait qui divise 72.
. On obtient alors :
EXERCICE 5 : Ecrire sous la forme
EXERCICE 6 : Ecrire sous la forme
EXERCICE 7 : Ecrire sous la forme
avec a, b, et c trois entiers relatifs.
où a et b sont deux entiers relatifs et b le plus petit possible.
avec a, b, et c trois entiers relatifs.
Le quotient des racines carrées de deux nombres positifs est égal à la racine carrée de leur
quotient. Ainsi, pour tous nombres positifs a et b, b 0 on a :
Exemple :

.
,
Transformer un quotient de racines carrées pour obtenir un dénominateur entier
Technique :
 On transforme le quotient de racines carrées en racine carrée d’un quotient (formule cidessus)
 On simplifie le quotient et on le réécrit comme un quotient de racines carrées
 On multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre se trouvant au
dénominateur
 On conclut en utilisant les formules suivantes :
et
Exemple : Soit l’expression
. Calculer B et donner le résultat sans radical au dénominateur.
b) Addition et soustraction
Attention : Les propriétés précédentes ne s’étendent pas à l’addition et la soustraction.
Exemple :
et
et
donc
donc
EXERCICE 8 : Ecrire les quotients suivants avec un dénominateur entier.