chap2-satellites_et_planetes_exos_tsbc

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TSBC
Cours Physique
Chap 2 : Mouvements des satellites et des planètes : EXERCICES
Ex1 : GALILEO
Connaître sa position exacte dans l’espace et dans le temps, autant d’informations qu’il sera nécessaire d’obtenir de plus en plus
fréquemment avec une grande fiabilité. Dans quelques années, ce sera possible avec le système de radionavigation par satellite
GALILEO, initiative lancée par l’Union européenne et l’Agence spatiale européenne (ESA). Ce système mondial assurera une
complémentarité avec le système actuel GPS (Global Positioning System).
GALILEO repose sur une constellation de trente satellites et des stations terrestres permettant de fournir des informations
concernant leur positionnement à des usagers de nombreux secteurs (transport, services sociaux, justice, etc…).
Le premier satellite du programme, Giove-A, a été lancé le 28 décembre 2005.
D’après le site http://www.cnes.fr/
DONNEES :
- Constante de gravitation : G = ….oups j’ai oublié…
- La Terre est supposée sphérique et homogène. On appelle O son centre, sa masse MT = 5,98×1024 kg et son rayon RT = 6,38×103 km
- Le satellite Giove-A est assimilé à un point matériel G de masse msat = 700 kg. Il est supposé soumis à la seule interaction
gravitationnelle due à la Terre, et il décrit de façon uniforme un cercle de centre O, à l’altitude h = 23,6×103 km.
I – Mouvement du satellite Giove-A autour de la Terre
1) a - Faire un schéma représentant la Terre, le satellite sur sa trajectoire et la force exercée par la Terre sur le satellite.

b - En utilisant les notations du texte, donner l’expression vectorielle de cette force. On notera u le vecteur unitaire dirigé de O vers G.
2) a - Dans quel référentiel le mouvement du satellite est-il décrit ?
b - Quelle hypothèse concernant ce référentiel faut-il faire pour appliquer la seconde loi de Newton ?

c - En appliquant la seconde loi de Newton au satellite, déterminer l’expression du vecteur-accélération a du point G.

3) a - Donner les caractéristiques du vecteur-accélération a d’un point matériel ayant un mouvement circulaire uniforme.
b – Etablir l’expression de la vitesse v du satellite en fonction de G, MT, RT et h.
4) a - Définir la période de révolution T du satellite. Donner son expression en fonction de G, MT et R = RT + h.
b - Calculer la période T.
II – Comparaison avec d’autres satellites terrestres
Il existe actuellement deux systèmes de positionnement par satellites : le système américain GPS et le système russe GLONASS.
Le tableau fourni rassemble les périodes T et les rayons R des trajectoires des satellites correspondants, ainsi que les données relatives
aux satellites de type Météosat. Ces données permettent de tracer la courbe donnant T² en fonction de R 3.
1) a - Compléter la ligne du tableau relative au satellite Giove-A (GALILEO).
b - Placer le point correspondant dans le système d’axes proposés sur l’annexe et tracer la courbe donnant T2 en fonction de R3.
2) a - Que peut-on déduire du tracé précédent ? Justifier.
b - Montrer que le résultat de la question I-4-a est conforme au tracé obtenu.
c - Comment nomme-t-on la loi ainsi mise en évidence ?
Satellite
Rayon de la trajectoire R (km)
Période de révolution T (s)
R3 (km3)
T² (s²)
GPS
20,2×103
2,88×104
8,24×1012
8,29×108
GLONASS
25,5×103
4,02×104
1,66×1013
1,62×109
42,1×103
8,58×104
7,46×1013
7,36×109
GALILEO
METEOSAT
COURBE DONNANT T2 EN
FONCTION DE R3 :
T2 (108 s²)
60
40
20
1
2
3
4
5
6
7
R3 (1013 km3)
2
Ex2 : SATELLITES DE NEPTUNE
Neptune est le dernier et le plus lointain des mondes géants que la sonde Voyager 2 nous fit découvrir. Cette planète porte le nom du
dieu romain de la mer. Les photographies de la planète, par leur couleur bleu sombre, justifient pleinement cette association avec la
mer. Voyager 2 survola Neptune et ses satellites les 24 et 25 août 1989.
Neptune possède plusieurs satellites : Triton et Néréide figurent parmi les satellites les mieux connus. William Lassel a découvert
Triton un mois après la découverte de la planète. C’est un satellite gros comme la Lune ; il mesure environ 4 200 km de diamètre. II
fait partie des plus gros satellites du système solaire après Ganymède, Titan et Callisto. L’orbite de Triton est circulaire autour du
centre de Neptune.
Découvert en 1949, Néréide est au contraire assez petit (320 km de diamètre) et a une orbite très elliptique, la plus allongée de tous les
satellites. Néréide met 360 jours pour boucler son orbite. Voyager 2 a permis de localiser six nouveaux satellites entre Neptune et
Triton.
D’après un article publié sur le site du Club Astro Antares.
Données :
Neptune : masse : MN = 1,025  1026 kg
Triton :
masse : M1 =2,147  1022 kg
rayon orbital : R1 = 3,547  105 km
période de révolution :Trev = 5,877 jours solaires
période de rotation : Trot = 5,877 jours solaires vitesse orbitale : v0 = 4,0 km.s-1.
Néréide : demi-longueur du grand-axe : a = 5513  103 km
Constante de gravitation : G = ….à connaître !
1 jour solaire = 86 400 s.
Dans tout l’exercice, on considère que la planète Neptune et ses satellites sont des corps dont la répartition des masses est à symétrie
sphérique. Les rayons ou les demi-grands-axes des orbites sont supposés grands devant les dimensions de Neptune ou de ses satellites.
1. Le mouvement des satellites
1.1. D’après le texte, « Néréide est au contraire assez petit (320 km de diamètre) et a une orbite très elliptique ». Choisir parmi les
propositions suivantes le référentiel dans lequel est décrite cette orbite :
a. héliocentrique
b. néreidocentrique
c. neptunocentrique
d. géocentrique
1.2. Énoncer les première et deuxième lois de Képler appliquées au cas étudié ici.
1.3. Placer sur la figure 1 donnée en ANNEXE la demi-longueur a du grand axe de Néréide.
1.4. On considère les aires balayées par le segment reliant Neptune à Néréide pendant une même durée en différents points de l’orbite.
Sur la figure ci-dessous, elles correspondent aux aires des surfaces formées par les points N, P 1 et P2 autour du péricentre P d’une part et
N, A1 et A2 autour de l’apocentre A d’autre part.
1.4.1. Quelle relation relie ces aires ?
1.4.2. Comparer alors les vitesses de
Néréide aux points A et P.
1.5. On souhaite déterminer la période
de révolution Tner de Néréide.
1.5.1. Énoncer la troisième loi de
Képler.
2
1.5.2. Calculer la valeur de Trev
P1
P
A1
N
C
A
A2
P2
R13
1.5.3. À l’aide des questions précédentes, en déduire la période de révolution Tner de Néréide. Puis comparer à la valeur donnée dans le
texte.
2. Le mouvement de Triton
L’orbite de Triton est circulaire. On appelle N le centre d’inertie de Neptune, T le centre

d’inertie de Triton et u vecteur unitaire de direction (NT).
2.1. En utilisant les notations de l’énoncé et de la figure ci-dessus, donner l’expression
vectorielle de la force gravitationnelle F exercée par Neptune sur son satellite Triton et calculer
sa valeur numérique.
2.2. Le mouvement de Triton étant uniforme, établir l’expression littérale de sa vitesse V sur son
orbite en fonction des grandeurs MN, R1 et G.
2.3. Calculer cette vitesse V et la comparer à celle donnée dans l’énoncé.
2.4. Montrer que la période de révolution Trev de Tsriton peut s’exprimer en fonction de MN, R1 et
2.5. Calculer la valeur de Trev et comparer à la valeur donnée par l’énoncé.

u
N
T
G.
Figure 1: Schéma simple et légendé de l’orbite de Néréide Question 1.3. et question 1.4.2.
P
N
C
A
N : centre de Neptune
C : centre de l’ellipse
P : Péricentre de Néréide
A : Apocentre de Néréide
3
Ex3 : KEPLER et les ASTEROIDES
L’objectif de cet exercice est d’étudier le mouvement de quelques planètes du système solaire et de déterminer la masse de l’astéroïde
Rhea Sylvia, récemment découvert par une équipe d’astronomes. Celui-ci a la forme d'une grosse pomme de terre mesurant quelques
centaines de kilomètres.
Par souci de simplification, dans tout l’exercice, les astres étudiés sont considérés à répartition sphérique de masse.
Les représentations vectorielles demandées sont à effectuer sans souci d’échelle.
1. En hommage à Kepler
« Johannes Kepler, né le 27 décembre 1571 à Weil der Stadt, près de Stuttgart (Allemagne), mort le 15 novembre
1630 à Ratisbonne, est un astronome célèbre. Il a étudié et confirmé l'hypothèse héliocentrique (la Terre tourne
autour du Soleil) de Nicolas Copernic. Il a également découvert que les trajectoires des planètes n’étaient pas
des cercles parfaits centrés sur le Soleil mais des ellipses. En outre, il a énoncé les lois (dites lois de Kepler) qui
régissent les mouvements des planètes sur leurs orbites. »
1.1. Planètes en orbite elliptique.
Figure 10
La figure 10 représente la trajectoire elliptique
du centre d’inertie M d’une planète du système
M1’
M1
solaire de masse m dans le référentiel
M2
héliocentrique considéré galiléen. Les deux
A1
foyers F1 et F2 de l’ellipse et son centre O sont
A2
indiqués.
1.1.1. En utilisant une des lois de Kepler,
justifier la position du Soleil indiquée sur la
Soleil
M’2
O
F1
F2
figure 10.
1.1.2. On suppose que les durées de parcours
M3
entre les points M1 et M’1 puis M2 et M’2 sont
égales.
En utilisant une des lois de Kepler, trouver la relation entre les aires hachurées A 1 et A2 sur la figure 10.
1.1.3. La valeur de la vitesse moyenne entre les points M1 et M’1 est-elle inférieure, égale ou supérieure à celle entre les points M 2 et
M’2 ? Justifier.
1.2. Planètes en orbite circulaire.
Dans cette partie, pour simplifier, on modélise les trajectoires des planètes du système solaire dans le référentiel héliocentrique par des
cercles de rayon r dont le centre O est le Soleil de masse MS.
1.2.1. Représenter sur la FIGURE 11 DE L’ANNEXE (page suivante) la force de gravitation F3 exercée par le Soleil sur une planète
quelconque du système solaire de masse m dont le centre d’inertie est situé au point M3.
1.2.2. Donner l’expression vectorielle de cette force au point M 3, en utilisant le vecteur unitaire u .
Pour la suite on considère que les valeurs des autres forces de gravitation s’exerçant sur la planète sont négligeables par rapport à la
valeur de F3 .
1.2.3. En citant la loi de Newton utilisée, déterminer l’expression du vecteur accélération a 3 du centre d’inertie d’une planète
quelconque de masse m du système solaire dont le centre d’inertie est situé au point M 3.
1.2.4. Représenter sur la FIGURE 11 les vecteurs accélérations a 3 et a 4 du centre d’inertie d’une planète quelconque du système
solaire respectivement aux points M3 et M4.
1.2.5. En déduire la nature du mouvement du centre d’inertie d’une planète quelconque de masse m du système solaire.
1.2.6. Le graphe de la FIGURE 12 représente l’évolution du carré de la période de révolution des planètes Terre, Mars et Jupiter en
fonction du cube du rayon de leur orbite. Ce graphe est-il en accord avec la troisième loi de Kepler ?
1.2.7. En utilisant le graphe de la FIGURE 12, montrer que :s
T2
 3,0 * 10 19 ( SI )
3
r
1.2.8.
« Une équipe composée de Franck Marchis (université de Californie à Berkeley) et de trois astronomes de l'Observatoire de Paris,
Pascal Descamps, Daniel Hestroffer et Jérome Berthier, vient de découvrir un astéroïde, nommé Rhea Sylvia, qui gravite à une
distance constante du Soleil avec une période de révolution de 6,521 ans. »
D’après un article paru dans LE MONDE le 13.07.2005
À l’aide des données de l’article précédent et du résultat de la question 1.2.7., calculer la distance séparant les centres respectifs de Rhea
Sylvia et du Soleil.
4
2. La troisième loi de Kepler comme balance cosmique…
« Grâce au Very Large Telescope de l'European Southern Observatory (ESO) au Chili, les astronomes ont également découvert que
Rhea Sylvia était accompagné de deux satellites baptisés Remus et Romulus. Leurs calculs ont montré que les deux satellites décrivent
une orbite circulaire autour de Rhea Sylvia ; Romulus effectue son orbite en 87,6 heures. Les distances entre chaque satellite et Rhea
Sylvia sont respectivement de 710 kilomètres pour Remus et 1360 kilomètres pour Romulus.»
D’après un article paru dans LE MONDE le 13.07.2005
On s'intéresse désormais au mouvement circulaire uniforme du centre d'inertie d'un satellite de Rhéa Sylvia. L'étude est faite dans un
référentiel "Rhéa Sylvia-centrique" muni d’un repère dont l'origine est le centre de Rhéa Sylvia et dont les trois axes sont dirigés vers
des étoiles fixes.
T ² 42
. Dans le cadre de l’étude du mouvement de

r3 GM
Remus et Romulus autour de Rhea Sylvia, donner la signification de chaque grandeur et son unité. En déduire l’unité de G dans le
système international.
2.2. À l’aide des données de l’article précédent et de la troisième loi de Kepler, déterminer la masse de l’astéroïde Rhea Sylvia.
2.1. On rappelle que la troisième loi de Kepler a pour expression littérale :
Figure 12
ANNEXE
Figure 11
Questions 1.2.1 et 1.2.4.
T 2 (en 1017 s2)
1,6
M3
Questions 1.2.6. et 1.2.7.
T 2 = f(r 3)
1,4
1,2
O u
1,0
0,8
0,6
M4
0,4
0,2
r 3 (en 1035 m3)
0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
Ex4 : TSBC, Internet et les satellites
Passionné d'astronomie, un élève de TSBC a collecté sur le réseau Internet de nombreuses informations concernant les satellites
artificiels terrestres. Il met en œuvre ses connaissances de physique pour les vérifier et les approfondir. Ouah…la classe !
Dans tout l'exercice, on notera :
Masse de la Terre: MT (répartition de masse à symétrie sphérique de centre O)
Rayon de la Terre: RT
Masse du satellite étudié: mS
Altitude du satellite étudié: h
Les questions 2 et 3 sont indépendantes.
1. Le premier satellite artificiel.
Si la possibilité théorique de mettre un satellite sur orbite autour de la Terre fut signalée en 1687 par Isaac Newton, il a fallu attendre
le 4 octobre 1957 pour voir le lancement du premier satellite artificiel, Spoutnik 1, par les soviétiques.
1.1. Exprimer vectoriellement la force exercée par la Terre sur Spoutnik 1, supposé ponctuel, et la représenter sur un schéma.
1.2. L’étude se fait dans un référentiel géocentrique considéré comme galiléen. Etablir l'expression vectorielle de l'accélération du
satellite.
2. Les satellites artificiels à orbites circulaires.
Le télescope spatial Hubble, qui a permis de nombreuses découvertes en astronomie depuis son lancement en 1990, est en orbite
circulaire à 600 km d'altitude et il effectue un tour complet de la Terre en 100 minutes.
2.1. Étude du mouvement du satellite Hubble dans un référentiel géocentrique
2.1.1. En reprenant les résultats de la partie 1, montrer sans calcul que le mouvement circulaire de Hubble est uniforme.
2.1.2. Exprimer littéralement sa vitesse en fonction des grandeurs MT, RT, h et G .
2.1.3. Exprimer la période T de son mouvement en fonction des grandeurs précédentes puis retrouver la troisième loi de Kepler
appliquée à ce mouvement circulaire
5
2.2. Cas d'un satellite géostationnaire
Les satellites météorologiques comme Météosat sont des appareils d'observation géostationnaires.
2.2.1. Qu'appelle-t-on satellite géostationnaire ?
2.2.2. On propose trois trajectoires hypothétiques de satellite en mouvement circulaire uniforme autour de la Terre.
a. Montrer que, seule, l'une de ces trajectoires est incompatible avec les lois de la mécanique.
b. Quelle est la seule trajectoire qui peut correspondre au satellite géostationnaire ? Justifier la réponse.
3. Les satellites artificiels à orbites elliptiques.
Les satellites peuvent être placés sur différentes orbites, en fonction de leur mission. Un incident lors de leur satellisation peut modifier
l'orbite initialement prévue. Hipparcos, un satellite d'astrométrie lancé par la fusée Ariane le 8 août 1989, n'a jamais atteint son orbite
prévue. Un moteur n'ayant pas fonctionné, il est resté sur une orbite elliptique entre 36 000 km et 500 km d'altitude.
3.1. Les satellites artificiels obéissent aux lois de Kepler. La deuxième loi de Kepler, dite « loi des aires », précise que « des aires
balayées par le rayon, reliant le satellite à l’astre attracteur, pendant des durées égales, sont égales ».
Énoncer les deux autres lois dans le cas général d'une orbite elliptique.
3.2. Sans souci exagéré d'échelle ni d'exactitude de la courbe mathématique, dessiner l'allure de l'orbite du satellite Hipparcos.
Placer sur ce schéma le centre d'inertie de la Terre et les points A et P correspondant respectivement aux valeurs 36 000 km et 500 km
données dans le texte.
3.3. En appliquant la loi des aires au schéma précédent montrer, sans calcul, que la vitesse d'Hipparcos sur son orbite n'est pas
constante.
3.4. Préciser en quels points de son orbite sa vitesse est maximale, minimale.