2 - Enseignons.be

SAVOIR
S1
Enoncer, en français et en mathématique, la définition de a , a étant un réel positif
S2
Enoncer en français les propriétés des radicaux et les coder en mathématique
S3
 
S4
les formules de produits remarquables
(a  b)2  a2  2ab  b2
(a  b)2  a2  2ab  b2
(racine carrée d'un produit, racine carrée d'un quotient et racine carrée d'une somme)
a
2
 a q.q.s. a IR 
a  b  a  b  a2  b2
S5
Ecrire la formule qui permet de calculer la distance entre deux points étant donnés leurs
coordonnées
SAVOIR-FAIRE
SF1
Estimer à l'unité près la valeur d'une racine carrée.
SF2
utiliser la calculatrice pour donner un encadrement d'une racine carrée, ou encore une
valeur approchée par défaut et par excès avec la précision indiquée
SF3
Comparer et classer des réels (rationnels et irrationnels)
SF4
Simplifier une racine carrée
SF5
Additionner, soustraire des radicaux semblables
SF6
Multiplier et diviser des expressions contenant des racines carrées
SF7
Rendre rationnel le dénominateur d'une fraction
SF8
SF9
.
calculer le périmètre, l'aire, la diagonale d'un carré dont la mesure est une expression
contenant un radical
calculer le périmètre, l'aire, la diagonale d'un rectangle dont la mesure est une
expression contenant un radical
1
A. Définition de la racine carrée d'un nombre positif
ACTIVITE 1
dessiner un carré dont l'aire vaut 2
Voici un carré dont l'aire vaut 1 cm2.
Dessine maintenant un carré dont l'aire vaut 2 cm2 , c'est-à-dire un carré qui renferme deux fois la
surface du carré 1.
Le carré dont l’aire vaut 2 existe ! Si je désigne par x la longueur de son côté, quelle condition
vérifie le nombre x ?
x est tel que x2 = 2.
La longueur de son côté est donc un nombre positif dont le carré vaut 2.
Or, aucun nombre entier positif élevé au carré ne donne 2!
Que vaut ce nombre dont le carré vaut 2?
1 x  2
en effet, 12  1 et
22  4
1,4  x  1,5
en effet, 1,4 2  1,96
et 1,5 2  2,25
1,41 x  1,42
en effet, 1,412  1,9881 et 1,422  2,0164
Le nombre recherché n’est donc pas un entier!
Il n’est pas non plus un décimal limité. En effet, s’il était un
décimal limité, sa dernière décimale non nulle serait soit 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9 et son carré se terminerait
respectivement ou par 1, ou par 4, ou par 9, ou par 6 ou par
5 et ne serait dès lors pas le nombre 2!.
Ce nombre est donc un décimal illimité. On le note 2
Est-il périodique? Si oui, il peut alors s’écrire sous la forme d’une fraction à termes entiers. Or,
a
aucune fraction à termes entiers n’est égale à 2 (Nous l’admettrons sans démonstration).
b
La calculette donne, comme valeur,
2  1,414213562...
2 est donc un DECIMAL ILLIMITE NON PERIODIQUE.
Un tel nombre réel est appelé IRRATIONNEL.
2 est le nombre positif tel que
.
 2
2
2
2
ACTIVITE 2
d'autres carrés
Détermine la longueur du côté de chaque carré dont l’aire est donnée. Tu ne peux pas utiliser une
calculatrice !
Côté = ……..
Aire = 9 m2
……………………………………………
......................................................................................................
Aire = 100 m2
Côté = ……..
……………………………………………
......................................................................................................
Aire = 3 600 m2
Côté = ……..
……………………………………………
......................................................................................................
Aire = 0,09 m2
Côté = ……..
……………………………………………
......................................................................................................
ACTIVITE 3
approche de la définition de racine carrée d'un nombre
Complète par le nombre qui convient
a) 152  225 donc .....  .....
d)
.....  6 car 6 est le nombre positif tel que ....2  .....
b) 82  ...... donc .....  8
e)
16  ..... car .... est le nombre positif tel que ....2  ....
c) ....2  144 donc 144  .....
f)
.....  ..... car .... est le nombre positif tel que 112  .....
Complète la définition
a étant un réel positif,
a =x
 x est le nombre positif tel que .... = a
La racine carrée du nombre positif a est le nombre positif x dont le …………………………
ACTIVITE 4
racine carrée exacte
Décompose les nombres suivants en un produit de facteurs premiers, vérifie que les exposants
des facteurs premiers sont pairs et calcule la racine carrée de chacun d'eux.
441
3025
441 = ………………
3025 = …………………..
441 ………..
3025  ……………
.
On dit que ces nombres admettent une racine carrée exacte.
Un nombre admet une racine carrée exacte s'il se décompose en un produit de facteurs
premiers dont les exposants sont ……….…
.
3
ACTIVITE 5
racine carrée non exacte
Décompose les nombres suivants en un produit de facteurs premiers, vérifie que certains
exposants ne sont pas pairs et encadre le nombre par les valeurs approchées demandées.
12
72
12 = ………………
72 = …………………..
On remarque que tous les
exposants ne sont pas …....
On remarque que tous les
exposants ne sont pas ..…..
12  ………..
72
……………
Encadrement au centième près
Encadrement au dixième près
.........  12  .........
.........  72  .........
Réalise les exercices 1 à 6 , page EX1 et EX2
.
4
B. Propriétés des racines carrées des nombres positifs
1) Racine carrée d'un produit
a
b
4
9
ab
25 100
Observe le tableau et complète par = ou  :
a b
49 
4 9 
............... =
......  ...... =
a  b ……..
a b
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
Applique:
a)
2 2 
b)
12  3  .... x ....  = … ..... = .........................................
.....  ..... = ..... =
.........................................
2) Racine carrée d'un quotient
a
4
a
b
9
4

9
b
4
9
a
……..
b

........
........
=
........
25 100
Observe le tableau et complète par = ou  :
a
b
........
a
b

...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
Applique:
a)
b)
50
2
20
5


....
=
....
...... = ……………….
c)
52.3
3
 = ……………………
....
............. ……………….
....
3) Racine carrée d'une somme
a
b
ab
a b
ab
a b
4
9
4  9  ...........
4  9  .........
4  9  ……....
4  9  ........
Complète par = ou  :
a  b …..
a b
et
a  b …..
a b
...........................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.
5
4) Racine carrée d'une puissance paire.
36
35
34
33
32
3
1
3
3
3
3
3
3
 
3 6  33
2
36 
donc
3 
3
2
 33
la base est conservée, l’exposant est divisé par 2
Pour extraire la racine carrée d'une puissance à exposant pair,
 on conserve la base
 on divise l'exposant par 2
o Applique cette règle calculer les radicaux suivants.
a)
28  2....  ..........
c) 1018  10.... = …………..
b)
5 4  5.... = …….
d)
412 = 4.... = ………….…
C. Simplification des radicaux
Pour simplifier
75
75 = 52  3
1°) On écrit la factorisation première de 75:
2°) On applique la propriété racine carrée d'un produit:
75  52  3  52  3  5 3
o Simplifie les radicaux suivants, après avoir décomposé les nombres en facteurs premiers.
a)
20  4  5  .....  ..... = .…. ...
e)
22  ....................................................
b)
99  .....  .....  .....  ..... = ....
f)
23  22  .....  .....  ..... ...................
c)
12  ...........................................
g)
25 
.
2.....  2.....  .....  ..... ...............
6
D. Opérations sur les radicaux
ACTIVITE 8
1) Connaissant la longueur et la largeur d'un rectangle, détermine, sans calculatrice, son
périmètre, son aire et la longueur d'une diagonale.
Longueur
Largeur
6
L=
c= 3 5
l=
3
l=
5
Périmètre
Aire
2) Connaissant la longueur du côté d'un carré, détermine, sans calculatrice, son périmètre, son
aire et la longueur d'une diagonale.
Côté
Périmètre
Longueur d'une
diagonale
Aire
3
c=
c= 2 5
E. L'ensemble des réels
ACTIVITE 9
1) Classe les réels suivants dans le tableau
1
3
;
5 3
3
20
;

;
;
22
7
;
 3
ENTIERS
.
8
2
;
0
;
 13
11
2
;
;
;
3,14
;
17
17
-1,58557612…
NOMBRES RELS
NON ENTIERS
Limités
illimités
Périodiques
Non Périodiques
7
THEME 2
LES RADICAUX
(algèbre)
A. Notion
1. Définition
a étant un réel positif, la racine carrée de a est le nombre réel positif dont le carré vaut a
a IR , a  x  x  IR et x2  a

0  0 car 0 2  0
16  4 car 4  IR  et 42  16
Exemples:
1,21  1,1 car 1,1 IR  et 1,12  1,21
 52

1  1 car 12  1
 25  5 c'est-à-dire la valeur absolue de –5.
Conséquences : 1)
 a 2  a
exemple:
 3
2
3
2) Un nombre négatif n'admet pas de racine carrée! En effet, le carré de
tout nombre est toujours positif.
 4 n'existe pas car qqs x  IR  , x 2  4
2. Vocabulaire
a se lit racine carrée de a
Dans l'expression a , a est appelé le radicand et le symbole
Le radical doit couvrir tout le radicand. Exemple:
est appelé le radical.
b 2  4ac
3. Calcul d'une racine carrée
a) Dans certain cas, on peut connaître la valeur exacte de
Exemples:
625  152  15
4

9
 32 
2

2
3
b) Dans d'autres cas, connaître la valeur exacte de
qu'une valeur approchée.
Exemple:
a.
a est impossible; on ne peut en donner
1 2  2
1,4  2  1,5
1,41  2  1,42
1,414  2  1,415
1 1,4 1,41 1,414 sont des valeurs approchées par défaut de
2.
2 1,5 1,42 1,415 sont des valeurs approchées par excès de 2 .
.
8
B. Propriétés
1)
a, bIR  , a  b  a  b
La racine carrée d'un produit est égal au produit des racines carrées
Hypothèses (=données) : a,b sont des réels positifs
ab  a  b
Thèse :
Démonstration :

ab
 
2
a b

2
2
ab  a  b
2
ab  ab
a  b est la racine carrée de a . b
Dès lors,
2)
a
a
a  IR  et b  IR  ,

0 b
b
La racine carrée d'un quotient est égal au quotient des racines carrées
La démonstration est comparable à ce qui a été fait à la propriété "1".
a, b IR  , a  b  a  b
3) ATTENTION!
La racine carrée d'une somme n'est pas égale à la somme des racines carrées
Ainsi,
16  9  16  9
5  43
4)
a IR, a2  a
a2  a  a  a  a 
 a
2
a
Conséquence: a  IR  , a 2n   a n 
 
Exemples :
a6 
a 3.2 
2
 an
a 3 2  a 3
a 12 
a 6 2
 a6
C. Simplification
On essaie de faire apparaître dans le radicand des facteurs carrés parfaits afin de pouvoir les
extraire du radical.
92  9 2  3 2
2) 192  26  3  23 3  8 3
Exemples: 1)
3)
.
18 
0,75 
75

100
3

4
(en effet,
2 6  (2 3 ) 2 )
3
3

4 2
9
D. Opérations sur les radicaux
1) Addition et soustraction
Il faut veiller à
- simplifier les radicaux, si cela est possible.
- additionner les radicaux ayant même radicand (on additionne leurs
coefficients)
48  12  4 3  2 3  4  2 3  6 3
Exemples: 1)
2) 3 5 
3  5  7 3  3  1 5   1  7 3  4 5  8 3
2) Multiplication
Il faut veiller à:
- simplifier les radicaux, puis calculer le produit.
- ou bien calculer le produit, puis simplifier le résultat.
Exemples: 1)
2)


18  48  3 2  4 3  3  4 2  3  12 6
2  8  2  8  16  4
3) Multiplication et addition
Appliquer la règle de la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition.
Utiliser les formules quand il s'agit de produits remarquables.



2

3 5 3 35 3
3  1   3  1  3  1  2
2
2
2  3  2  2  2  3  32  2  6
35  3 
2  9  11  6 2
4) Rendre rationnel le dénominateur d'une fraction
1) Si le dénominateur de la fraction est un monôme contenant une racine carrée,
on multiplie les deux termes de la fraction par la racine carrée figurant au
dénominateur.
5
5 3
5 3


3
3
3 3
2) Si le dénominateur de la fraction est un binôme contenant au moins une racine carrée,
on multiplie les deux termes de la fraction par le binôme conjugué du dénominateur.
6
2 5
.

 2  5 
 2  5   2  5 
6
12  5 6
2 35 6

2  25
 23
10
.
11