Modèle mathématique.

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Rubrique maths/Activité numérique/Correction des exercices de Stef@
Les puissances
Exercice N° 1 : Calculer les puissances :
3
(- 4) = (-4) x (-4) x (-4) = (- 64)
(-4) multiplié 3 fois par lui même
signe du résultat : - car la puissance est impaire - x - = + ; + x - = 4 x 4 = 16
16 x 4 = 64
2
2
(- 2x) = (- 2x) x (- 2x) = 4x
(- 2x) multiplié 2 fois par lui même
signe du résultat : + car la puissance est paire - x - = +
2x x 2x = 2 x 2 x
x
x
x
2
= 4x
(-3)
a
-5
-n
=
1
(-3)
1
5
= n
a
5
(-3) = (-3) x (-3) x (-3) x (-3) x (-3)
(-3) multiplié 5 fois par lui même
signe du résultat : - car la puissance est impaire - x - = + ; + x - = 3 x 3=9
9 x 3 = 27
27 x 3 = 81
81 x 3 = 243
(-3)
-5
= 1/- 243
2
12 1
1
( ) = 2 =
2
4
2
La puissance se distribue sur le numérateur et le dénominateur de la fraction
2
1 = 1 x 1 = 1 (signe + car la puissance est paire)
2
2 = 2 x 2 = 4 (signe + car la puissance est paire)
5
(-3) = (-3) x (-3) x (-3) x (-3) x (-3) = - 243
(-3) multiplié 5 fois par lui même
signe du résultat : - car la puissance est impaire - x - = + ; + x - = 3 x 3=9
9 x 3 = 27
27 x 3 = 81
81 x 3 = 243
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2
(2 5) ; j’ai deux termes différents dans ma parenthèse : la puissance se distribue sur les 2 termes
(2 5) = 2 x
5
2
2
DONC : (2 5) = (2) x ( 5)
2
2
(2) = 2 x 2 = 4
2
( 5) =
5x
2
2
5=5
(2) x ( 5) = 4 x 5 = 20
3
(-2x) = (- 2x) x (- 2x) x (- 2x)
(- 2x) multiplié 3 fois par lui même
signe du résultat : - car la puissance est impaire - x - = + x - = 2x x 2x x 2x = 2 x 2 x 2 x
2 x 2 = 4 x 2= 8
x
x
xx x
x x x = x3
3
3
(-2x) = - 8x
x
x
2
-(-5) = - (- 5) x (- 5)
(- 5) multiplié 2 fois par lui même
signe du résultat : + car la puissance est paire - x - = +
5 x 5 = 25
2
(-5)
= 25
DONC : -(-5)
2
= - 25
2 3 - 23 -8
8
(- ) = 3 =
=3
3
27
27
La puissance se distribue sur le numérateur et le dénominateur de la fraction
3
- 2 = (-2) x (-2) x (-2) = - 8 (signe - car la puissance est impaire)
3
3 = 3 x 3 x 3 = 27
-5 2 (-5)2 25
( ) =
=
-2
(-2) 2 4
La puissance se distribue sur le numérateur et le dénominateur de la fraction
2
(-5) = (-5) x (-5) = 25 (signe + car la puissance est paire)
2
(-2) = (-2) x (-2) = 4 (signe + car la puissance est paire)
4
-3 = (-3) x (-3) x (-3) x (-3)
(- 3) multiplié 4 fois par lui même
signe du résultat : + car la puissance est paire - x - = + x - = - x - = +
3 x 3 = 9 x 3 = 27 x 3 = 81
4
DONC : -3 = 81
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1
- 10 = (-10)
(- 10) multiplié 1 fois par lui même
Exercice N° 2 : Ecrire sous la forme :
1/ D’une puissance de 3 :
3
3 x 3
-2
x3
7
J’applique la propriété de multiplication d’un même nombre avec des puissances différentes :
n
p
a xa =a
n+p
3
(les puissances s’ajoutent)
-2
7
DONC : 3 x 3 x 3 = 3
3-2+7=1+7=8
3
3 x 3
-2
7
x3 =3
3-2+7
8
Mon expression est bien écrite sous la forme d’une puissance de 3
3
3
6
2
J’applique la propriété de division d’un même nombre avec des puissances différentes :
a
a
n
=a
p
n-p
(les puissances se soustraient)
6
3
6-2
DONC : 2 = 3
3
6-2=4
3
3
6
2
=3
4
Mon expression est bien écrite sous la forme d’une puissance de 3
-3 2
(3 )
3
-4
Deux propriétés à appliquer :
Distribution d’une puissance sur un nombre qui possède déjà une puissance
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(a
n p
)
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n p
= a x (les puissances se multiplient)
(3 ) = 3 x
-3 x2=-6
-3 2
-3
-3 2
-6
(3 ) = 3
2
Mon expression devient alors :
3
-6
3
-4
J’ai besoin ici d’appliquer la propriété de division de 2 mêmes nombres à une puissance différente :
a
a
n
p
=a
n-p
(les puissances se soustraient)
-6
3
(-6) - (-4)
DONC : -4 = 3
3
(-6) - (-4) = (-6) + 4 = - 2
3
3
-6
-4 = 3
-2
Mon expression est bien écrite sous la forme d’une puissance de 3
1 1 1
x x
3 3 3
Je dois appliquer la propriété inverse de celle-ci
Puissance négative :
1
-n
a = n
a
Ici, j’ai le contraire
1 1
=
avec a = 3 et n = 1
3 an
1
-1
=3
3
Et alors mon expression devient :
Je peux donc écrire =
-1
3 x3
-1
x 3
-1
Je peux alors appliquer la propriété de multiplication d’un même nombre aux puissances différentes :
n
p
a xa =a
DONC : 3
n+p
-1
(les puissances s’ajoutent)
x3
-1
x 3
-1
=3
(-1) + (-1) + (-1)
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(-1) + (-1) + (-1) = -1 - 1 - 1 = - 3
1 1 1
-3
x x
=3
3 3 3
Mon expression est bien écrite sous la forme d’une puissance de 3
9 x 3 x 81
Je sais que :
2
9 = (3) car 3 x 3 = 9
3 = (3)
1
4
81 = (3) car 3 x 3 x 3 x 3 = 81
Mon expression devient donc :
3
2
1
x3 x 3
4
Je peux alors appliquer la propriété de multiplication d’un même nombre aux puissances différentes :
n
p
a xa =a
DONC : 3
n+p
2
(les puissances s’ajoutent)
1
4
x3 x 3 =3
2+1+4
2+1+4=7
3
2
1
4
x3 x 3 =3
7
Mon expression est bien écrite sous la forme d’une puissance de 3
1
27
3
Je sais que 27 = (3) car 3 x 3 x 3 = 27
Je peux donc écrire :
1
1
=
27 33
Et ainsi appliquer la propriété :
1
-n
=a
n
a
1
3
3=
1
a
n
avec a = 3 et n = 3
1
-3
DONC : 3 = 3
3
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Mon expression est bien écrite sous la forme d’une puissance de 3
1/ D’une puissance de 10 :
3
10 x 10
-5
7
x 10 x 10
2
Mon expression est sous la forme de multiplications d’un même nombre aux puissances différentes :
j’applique la propriété de calcul correspondante
n
p
a xa =a
n+p
(les puissances s’ajoutent)
3
DONC : 10 x 10
-5
7
2
x 10 x 10 = 10
3-5+7+2
3-5+7+2=7
3
10 x 10
-5
7
2
x 10 x 10 = 10
7
Mon expression est bien écrite sous la forme d’une puissance de 10
0,000001
j’applique la propriété spécifique des puissances de 10
10
-n
= = 0,0........1 (n chiffres après la virgule dont le 1)
Ma puissance de 10 ici sera donc négative avec n = 6 (car j’ai 6 chiffres après la virgule)
DONC : 0,000001 = 10
-6
10 000
j’applique la propriété spécifique des puissances de 10
n
10 = 1 suivi de n 0
Ma puissance de 10 ici sera donc positive avec n = 4 (car j’ai 4 zéros après le 1)
DONC : 10 000 = 10
4
-1 -1
(10 )
La propriété à appliquer :
Distribution d’une puissance sur un nombre qui possède déjà une puissance
(a
n p
)
n p
= a x (les puissances se multiplient)
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(10 ) = 10 x
- 1 x (-1) = + 1
-1 -1
-1
-1 -1
= 10 = 10
(10 )
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-1
1
un dix millième ; écriture mathématique =
1
10 000
La propriété à appliquer :
1
-n
=a
n
a
1
1
=
avec a = 10 et n = 4 (puissance positive ; 10 000 = 1 suivi de 4 zéros)
10 000 an
1
1
=
10 000 104
DONC :
1
-4
= 10
10 000
un million ; écriture mathématique : 1 000 000
j’applique la propriété spécifique des puissances de 10
n
10 = 1 suivi de n 0
Ma puissance de 10 ici sera donc positive avec n = 6 (car j’ai 6 zéros après le 1)
DONC : 1 000 000 = 10
6
Exercice N° 3 : Calculer les expressions suivantes :
En ce qui concerne les fractions, on les simplifiera avant de les calculer :
3
-2
3
-2
A = 10 + 5 x 10
A = 10 + 5 x 10
Je calcule les puissances ; elles sont prioritaires :
3
10 = puissance positive de 10 = DONC : 1 suivi de 3 zéros = 1 000
-2
10 = puissance négative de 10 = DONC : 0, suivi de 2 chiffres après la virgule dont 1 = 0,01
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A = 1000 + 5 x 0,01
Je calcule maintenant la multiplication :
5 x 0,01 = 0,05
A = 1000 + 0,05
A = 1000,05
4
B = 2 x 10 + 3 x 10
-2
J’effectue d’abord les puissances :
4
10 = puissance positive de 10 = DONC : 1 suivi de 4 zéros = 10 000
-2
10 = puissance négative de 10 = DONC : 0, suivi de 2 chiffres après la virgule dont 1 = 0,01
B = 2 x 10 000 + 3 x 0,01
Ensuite, les multiplications :
2 x 10 000 = 20 000
3 x 0,01 = 0,03
B = 20 000 + 0,03
B = 20 000,03
C=2
-2
x3
-3
J’effectue d’abord les puissances :
2
-2
= est du type a
DONC : 2
-2
-n
1
qui donne : n , avec a = 2 et n = 2
a
1 1
= 2 =
4
2
2
2 =2x2=4
-3
3 = même chose : même type avec a = 3 et n = 3
1
1
-3
DONC : 3 = 3 =
27
3
3
3 = 3 x 3 x 3 = 27
C=
1
1
x
4
27
Je suis en multiplication de fractions : je multiplie les numérateurs et les dénominateurs entre eux
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1x1
4 x 27
1
C=
108
C=
4 x 27 = 108
3
3
3
4
D= 2 x 5
4
3
Je suis en multiplication de fractions : je multiplie les numérateurs et les dénominateurs entre eux :je ne calcule
pas les puissances, car je vais chercher à simplifier avant de calculer
3
4 x3
3
D= 2
5
3 x4
Je peux écrire ma fraction autrement, et conformément à ma propriété :
a
a
n
=a
p
D=
4
4
n-p
3
4
5 x
3
3
3
2
3
4
5 =4
4
3-5
3
3
3
3
3-5
1
1
-2
=4 = 2 =
16
4
3-2
2 =3
3
3 -2 = 1
3
1
2 =3 =3
Mon expression devient :
1
D = 16 x 3
D=
5
3
3
16
-1
2
E = -2 x
5
2
Même chose que pour D : je suis en multiplication de fractions : je multiplie les numérateurs et les dénominateurs
entre eux :je ne calcule pas les puissances, car je vais chercher à simplifier avant de calculer
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3
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-1
5 x 2
E = -2
2 x 5
Je peux écrire ma fraction autrement, et conformément à ma propriété :
a
a
n
=a
p
n-p
-1
3
2
5
E = x -2
5
2
3
5
3-1
2
=5 =5
5
2
-1
(-1)-(-2)
1
=2 =2
-2 = 2
2
(-1)-(-2) = - 1 + 2 = 1
2
E=5 x 2
2
5 = 5 x 5 = 25
E = 25 x 2
E = 50
Exercice N° 4 :
Ecriture scientifique d'un nombre :
1. Donner l'écriture scientifique des nombres :
Principe : Mettre un nombre en écriture scientifique, c’est le transformer en :
1 chiffre non nul (différent de 0) avant la virgule, multiplié par une puissance de 10
24,432 : 1er chiffre # 0 : 2 - Je mets une virgule après le 2
2,4432
Je dois multiplier ce nombre par une puissance de 10 :
Je regarde par quelle puissance de 10 je dois multiplier mes nombres pour arriver au nombre de départ,
conformément à la règle :
Règle :
Si je dois déplacer ma virgule vers la droite je multiplie par une puissance de 10 positive - Si je dois déplacer ma
virgule vers la gauche je multiplie par une puissance de 10 négative. Dans les 2 cas, la puissance correspond au
nombre de fois où je dois déplacer ma virgule
2,4432 : pour trouver mon nombre de départ 24,432, je dois déplacer ma virgule vers la droite : ma
puissance de 10 sera positive
Combien de fois dois-je déplacer ma virgule ?
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1 fois = 24,432 : c’est mon nombre de départ :
1
Je devrai donc déplacer ma virgule une fois vers la droite DONC multiplier par 10 = 10
24,432 = 2,4432 x 10 en écriture scientifique
La démarche sera identique pour tous les nombres :
0,000035 : 1er chiffre # 0 : 3 - Je mets une virgule après le 3
3,5
Je dois multiplier ce nombre par une puissance de 10 : ma puissance de 10 sera négative car je dois me déplacer
vers la gauche pour retrouver mon nombre de départ :
Combien de fois dois-je déplacer ma virgule ?
1 fois = 0,35
2 fois = 0,035
3 fois = 0,0035
4 fois = 0,00035
5 fois = 0,000035
Ça y est : je suis retombée sur mon nombre de départ :
DONC : 0,000035 = 3,5 x 10
-5
en écriture scientifique
352 569 : 1er chiffre # 0 : 3 - Je mets une virgule après le 3
3,52569
Je dois multiplier ce nombre par une puissance de 10 : ma puissance de 10 sera positive car je dois me déplacer
vers la droite pour retrouver mon nombre de départ :
Combien de fois dois-je déplacer ma virgule ?
1 fois = 35,2569
2 fois = 352,569
3 fois = 3525,69
4 fois =35256,9
5 fois = 352569
Ça y est : je suis retombée sur mon nombre de départ :
5
DONC : 352569 = 3,52569 x 10 en écriture scientifique
0,000657 : 1er chiffre # 0 : 6 - Je mets une virgule après le 6
6,57
Je dois multiplier ce nombre par une puissance de 10 : ma puissance de 10 sera négative car je dois me déplacer
vers la gauche pour retrouver mon nombre de départ :
Combien de fois dois-je déplacer ma virgule ?
1 fois = 0,657
2 fois = 0,0657
3 fois = 0,00657
4 fois =0,000657
Ça y est : je suis retombée sur mon nombre de départ :
DONC : 0,000657 = 6,57 x 10
-4
en écriture scientifique
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3
432 x 10 : 1er chiffre # 0 : 4 - Je mets une virgule après le 4
4,32 x 10
3
Je dois multiplier ce nombre par une puissance de 10 : ma puissance de 10 sera positive car je dois me déplacer
vers la droite pour retrouver mon nombre de départ :
Combien de fois dois-je déplacer ma virgule ?
1 fois = 43,2 x 10
2 fois = 432 x 10
3
3
Ça y est : je suis retombée sur mon nombre de départ : je dois multiplier le nombre par 10
3
2
5
DONC : 432 x 10 = 4,32 x 10 en écriture scientifique
5
3
2
10 = 10 x 10 (addition des puissances)
15,354 x 10
-2
: 1er chiffre # 0 : 1 - Je mets une virgule après le 1
1,5354 x 10
-2
Je dois multiplier ce nombre par une puissance de 10 : ma puissance de 10 sera positive car je dois me déplacer
vers la droite pour retrouver mon nombre de départ :
Combien de fois dois-je déplacer ma virgule ?
1 fois = 15,354 x 10
-2
1
Ça y est : je suis retombée sur mon nombre de départ : je dois multiplier le nombre par 10 = 10
DONC : 15,354 x 10
10
-1
-2
-2
-1
= 1,5354 x 10 en écriture scientifique
1
= 10 x 10 (addition des puissances)
2. Calculer les expressions suivantes et donner le résultat en écriture scientifique :
72
A = 15 x (10 ) x 3 x 10
-5
La multiplication est associative : je regroupe ensemble les nombres entiers et les puissances de 10
72
A = 15 x 3 x (10 ) x 10
-5
je les calcule :
15 x 3 = 45
72
(10 ) x 10
= 10
14
= 10
9
-5
-5
7 2
-5
= 10 x x 10
x 10 = 10
A = 45 x 10
14+ (-5)
9
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Mon résultat n’est pas en écriture scientifique ; je dois le mettre :
9
A = 45 x 10 : 1er chiffre # 0 : 4 - Je mets une virgule après le 4
4,5 x 10
9
Je dois multiplier ce nombre par une puissance de 10 : ma puissance de 10 sera positive car je dois me déplacer
vers la droite pour retrouver mon nombre de départ :
Combien de fois dois-je déplacer ma virgule ?
1 fois = 45 x 10
9
1
Ça y est : je suis retombée sur mon nombre de départ : je dois multiplier le nombre par 10 = 10
9
DONC : A = 45 x 10 = 4,5 x 10
10
10
B=
9
10
en écriture scientifique
1
= 10 x 10 (addition des puissances)
7 x 10
-12
x 6 x 10
21 x 10
5
4
Même chose que A : la multiplication est associative : je regroupe ensemble les nombres entiers et les puissances
de 10
B=
7 x 6 x 10
-12
21 x 10
x 10
5
4
je les calcule :
7 x 6 = 42
10
-12
= 10
5
x 10 = 10
-12 + 5
-7
42 x 10
B=
21 x 10
-7
4
Je simplifie ma fraction avant de la calculer :
B=
B=
B=
10
21 x 2 x 10
21 x 10
4
21 x 2 x 10
21 x 10
2 x 10
10
-7
-7
4
-7
4
=2 x
10
-7
10
4
-7
10
4 = 10
-7 - 4
-7 - 4 = -11
B = 2 x 10
-11
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Mon résultat est déjà en écriture scientifique : 1 chiffre non nul multiplié par une puissance de 10
B = 2 x 10
-11
C = 0,008 x 2 000 x 50 000
Je n’effectue ici que les multiplications :
0,008 x 2 000 = 16
16 x 50 000 = 800 000
C = 800 000
Mon résultat n’est pas en écriture scientifique ; je dois le mettre :
C = 800 000 : 1er chiffre # 0 : 8 - Je mets une virgule après le 8
8,00000
Je dois multiplier ce nombre par une puissance de 10 : ma puissance de 10 sera positive car je dois me déplacer
vers la droite pour retrouver mon nombre de départ :
Combien de fois dois-je déplacer ma virgule ?
1 fois = 80,0000
2 fois = 800,000
3 fois = 8000,00
4 fois = 80000,0
5 fois = 800000
Ça y est : je suis retombée sur mon nombre de départ :
5
DONC : C = 800 000 = 8 x 10 en écriture scientifique
2
D=
3 x 10 x 5 x 10
4
33
12 x (10 )
La multiplication est associative : je regroupe ensemble les nombres entiers et les puissances de 10
2
D=
3 x 5 x 10 x 10
4
33
12 x (10 )
je les calcule :
3 x 5 = 15
2
4
10 x 10 = 10
= 10
-2 + 4
6
33
3 3
(10 ) = 10 x
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= 10
D=
Rubrique maths/Activité numérique/Correction des exercices de Stef@
9
15 x 10
6
12 x 10
9
Je simplifie ma fraction avant de la calculer :
D=
D=
D=
3 x 5 x 10
6
3 x 4 x 10
3 x 5 x 10
6
3 x 4 x 10
5 x 10
9
9
6
4 x 10
9
6
5 10
D=
x
9
4
10
10
6
10
9 = 10
D=
6-9
= 10
-3
5
-3
x 10
4
5
= 5 : 4 = 1,25
4
D = 1,25 x 10
-3
Mon résultat est déjà en écriture scientifique : 1 chiffre non nul avant la virgule multiplié par une puissance de 10
D = 1,25 x 10
-3
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