puissance

Chapitre 6
CALCULS DE PUISSANCES
1
I.
Définitions

Puissance instantanée p [Watts] :
p(t)u(t)i(t)
En convention récepteur, p(t) est positif quand le dipôle est récepteur.
En convention générateur, p(t) est positif quand le dipôle est générateur.
Attention : un dipôle (condensateur, bobine) ou un circuit peut être temporairement
générateur (resp. récepteur) tout en étant en moyenne récepteur (resp. générateur).

Puissance active P [Watts] :
t 0 T
C’est la valeur moyenne de la puissance instantanée : Pp(t) 1 p(t)dt
T t
0
La puissance active mesure la puissance réellement fournie ou consommée en moyenne par un
dipôle: c’est elle qui est associée aux conversions d’énergie (électrique  mécanique,
électrique  thermique, électrique  chimique, …) et qui permet de calculer un rendement
P
(  u ).
Pa

Puissance réactive Q [var] :
La puissance réactive permet de quantifier les échanges de puissance à valeur moyenne
nulle. Elle sert indirectement au calcul du facteur de puissance en régime sinusoïdal.

Puissance apparente S [VA] :
SVI
La puissance apparente est une puissance de dimensionnement : I fixe la section des
conducteurs et V le champ magnétique où le nombre d’enroulements des machines tournantes
ou des transformateurs.
II.
Les expressions à connaître
1) u et i constants
u(t)=U et i(t)=I donc p(t)PUI  cas du régime continu établi
2) u ou i constant
u(t)=U et i(t) quelconque : PUi(t)Ui(t)  cas du filtrage capacitif
u(t) quelconque et i(t)=I : Pu(t)IIu(t)  cas du filtrage inductif
2
3) u et i périodiques
On utilise généralement la décomposition en série de Fourier de u(t) et i(t) :
u(t)uU1f 2sin( tu1f )U2 2sin( 2tu2)U3 2sin( 3tu3)...Un 2sin( ntun )...
i(t)iI1f 2sin( ti1f )I2 2sin( 2ti2)I3 2sin( 3ti3)...In 2sin( ntin )...
On montre alors que :
Pu(t)i(t)uiU1f I1f cos(u1f i1f )U2I2cos(u 2 i2 )U3I3cos(u3 i3)...UnIn cos(u n in )
où UnIn est le produit des valeurs efficaces des harmoniques de même rang et (u n in ) leur
déphasage respectif.
4) u ou i sinusoïdal
Le signal non sinusoïdal étant forcément périodique en régime établi, on exploite les
résultats du cas précédent :

Si u(t)U 2sin( tu) et i(t) périodique :
PUI1f cos(u i1f ) car u(t) n’a pas d’harmoniques de rang  2 (u(t) est équivalent à son
fondamental)  seul le fondamental du courant intervient
On peut aussi calculer une puissance réactive QUI1f sin( u i1f )
On remarque alors que SUI n’est plus égal à
P2 Q2 UI1f
Comme S  P 2  Q2 (car I1f forcément inférieur à I), on introduit la notion de
puissance déformante D tel que S P2 Q2 D2 . D est exprimé en Volts Ampères
Déformants (VAD).
I
On obtient un facteur de puissance fp  P  1f cos(u i1f ) qui dépend à la fois du
S I
déphasage du fondamental de i par rapport à u et de la déformation de i : le facteur de
puissance peut donc être inférieur à 1 même si Q=0 (cas où le fondamental de i est en
phase avec u).

Si i(t)I 2sin( ti) et u(t) périodique :
PU1f Icos(u1f i)  seul le fondamental de la tension intervient
3
5) u et i sinusoïdaux
 Cas classique du monophasé (en régime permanent) :
u(t)U 2sin( tu)

i/u u i angle ( I,U)
et
i(t )  I 2 sin( t  i )  I 2 sin( t  u  i / u )
P  p  UI  cos   UI a

U

Ia
Q  UI  sin   P  tan   UI r
SUI P2 Q2
fp  P cos
S
Ia : composante active de I en phase avec U
Ir : composante active de I en quadrature avec U

Ir
avec


I
Conséquences :
fp est inférieur à 1 si Q0 c’est à dire si le montage absorbe ou consomme de la puissance
réactive
Utilisation des nombres complexes :
En mettant Z sous la forme ZR jX et Y 
1
 G  jB on a :
Z
I
Z
PRI 2 GU 2 et QXI2 BU2
U
Relèvement du facteur de puissance :
fp=cos est généralement inférieur à 1 car les installations consomment de la puissance
réactive (récepteurs inductifs). On peut donc compenser cette consommation à l’aide de
condensateurs qui fournissent de la puissance réactive sans consommer de puissance active :
I
I’
I
IC
U
U

U

U


I

I
'
I
'

IC
4
Avant compensation:
P
Q=Ptan
Après compensation:
P’=P
Q’=Q+QC= Ptan’
Or QC CU2 en monophasé ou QC 3CU2 en triphasé couplage 
Donc C
III.
P(tan tan')
P(tan tan ')
en monophasé ou C 
en triphasé
U2
3U2
Le théorème de Boucherot
Conservation de la puissance active : PtotPi
Conservation de la puissance réactive : QtotQi en régime sinusoïdal
2
Stot Ptot
Q2tot en régime sinusoïdal
5