TP 2 LIGNE DE TRANSMISSION KERJEAN Mickael FARETIE

TP 2 LIGNE DE TRANSMISSION
KERJEAN Mickael
FARETIE Mathieu
Ce TP porte sur l’étude d’une ligne de transmission, dont l’étude se porte sur un modèle a constante
repartie qui est le suivant :
L ==> inductance linéique H/m, due aux courants traversant les conducteurs.
R ==> résistance linéique Ω/m, liée a l’imperfection des conducteurs.
C ==> capacité linéique F/m, engendrée par la répartition des charges traversant les conducteurs.
G ==> conductance linéique Ω⁻¹/m, issue des fuites de courant entre les conducteurs.
 Q1 retrouver les deux équations des télégraphistes
i ( x, t )

u ( x, t )  Rdx  i ( x, t )  Ldx  t  u ( x  dx, t )

u ( x  dx, t )  u ( x, t )  u ( x, t ) dx
x

u ( x, t )
i ( x, t )
  R  i ( x, t )  L 
(1)
x
t
u ( x  dx, t )

 Gdx  u ( x  dx, t )  i ( x  dx, t )
i ( x, t )  Cdx 
t

i ( x  dx, t )  i ( x, t )  i ( x, t ) dx
x

i ( x, t )
u ( x  dx, t )
 G  u ( x  dx, t )  C 
(2)
x
t
On approximera aussi que pour un dx suffisamment petit, on a :
u(x+dx,t)=u(x,t) :
 (1)
x

(2)

 (2)
x

 2 u ( x, t )
 2 i ( x, t )
i ( x, t )
 R 
 L
2 x
x
tx
i ( x, t )
u ( x, t )
 G  u ( x, t )  C 
x
t
2
 i ( x, t )
 2 u ( x, t )
u ( x, t )
 G 
C
xt
t
t 2
 2 u ( x, t )
 2 u ( x, t )
u ( x, t )
u ( x, t )

 RG  u ( x, t )  RC 
 LG 
 LC 
2 x
t
t
t 2
et finalement on obtient la première équation des telegraphistes :
 2u ( x, t )
 2u ( x, t )
u ( x, t )

LC

 ( RC  LG) 
 RG  u ( x, t )
2
2
 x
t
t
 (2)
x


(2)
 (2)
x


 2 i ( x, t )
 2 u ( x, t )
u ( x, t )


G


C

2 x
x
t x
u ( x, t )
i ( x, t )
  R  i ( x, t )  L 
x
t
2
 u ( x, t )
 2 i ( x, t )
i ( x, t )
 R 
 L
xt
t
t 2
 2 i ( x, t )
 2 i ( x, t )
i ( x, t )
i ( x, t )

RG

i
(
x
,
t
)

LG


RC


LC

2 x
t
t
t 2
Et la deuxième équation des télégraphistes :
 2i( x, t )
 2i( x, t )
i( x, t )

LC

 ( LG  RC ) 
 RG  i ( x, t )
2
2
 x
t
t
 Q2 ligne idéale
Si on considère la ligne idéale
R=G=0 et les équations des télégraphistes devient des équations de propagation classiques :
 2 i ( x, t )
1  2 i ( x, t )

t 2
LC  2 x
 2 u ( x, t )
1  2 u ( x, t )

t 2
LC  2 x
 Q3 vitesse de propagation de l'onde :
On identifie alors avec la forme de l'équation de propagation d'une onde :
2
 2  ( x, t )
2   ( x, t )

v


t 2
2 x
ou v2 est la vitesse de phase : correspond a la vitesse de déplacement d'un des maxima de l'onde de
tension se propageant le long du câble coaxiale.
Ici la vitesse a laquelle se propage le signal dans la ligne est donc v 
1
LC
 Q4
Des équations :
 2 i ( x, t )
1  2 i ( x, t )

t 2
LC  2 x
 2 u ( x, t )
1  2 u ( x, t )

t 2
LC  2 x
On fait se propager un signal électrique sinusoïdal de fréquence f et de pulsation
u ( x, t )  U ( x)e
jt
i( x, t )  I ( x)e jt
:
(1)
(2)
Les équations du télégraphistes admettent la solution :
U ( x )  U i e  j ( / v ) x  U r e  j (  / v ) x
Cette solution correspond a la superposition de deux courants de sens opposés ( un courant incident
et un autres réfléchi )ayant la même vitesse de phase
d’où en utilisant (1) :
u ( x, t )  U i e j ( / v ) x e jt  U r e j ( / v ) x e jt
u ( x, t )  U i e j (t  x / v )  U r e j (t  x / v )
et de la même facon :
i ( x, t )  I i e j (t  x / v )  I r e j (t  x / v )
si on reprend les équations obtenus tout au début :
u ( x, t )
i ( x, t )
  R  i ( x, t )  L 
x
t
i ( x, t )
u ( x  dx, t )
 G  u ( x  dx, t )  C 
x
t
dans le cas de la ligne parfaite elles deviennent :
u ( x, t )
i ( x, t )
 L 
x
t
u ( x, t )
1 i ( x, t )
 
t
C
x
Or on connait l’expression de u(x,t) et i(x,t) :
u ( x, t )


  j U i e j (t  x / v )  j U r e j (t  x / v )
x
v
v
i ( x, t )
L
  jL I i e j (t  x / v )  jL I r e j (t  x / v )
x
Pour que l’égalité soit vérifié entre les deux expressions :

C
U i
Ui


LI
 Ii 
i


L
v


U r   LI
I   CU
r
r
 v
 r
L
On en déduit alors :
i ( x, t ) 
C
C
U i e j (t  x / v )  
U r e j (  t  x / v )

L
L
i ( x, t ) 
C
U i e j (t  x / v )  U r e j (t  x / v ) 

L
Quels que soient x et t, il existe un rapport constant entre le courant et la tension de l'onde
incidente et le même rapport au signe près pour l'onde réfléchie : c'est l'admittance caractéristique.
 Q5
En revenant aux domaines des réels, on trouve que :
u ( x, t )  U i cos t   x / v   U r cos t   x / v 
i( x, t ) 
C
Ui cos t   x / v   U r cos t   x / v  
L
Ce qui revient a dire que la solution de l’équation d’onde est la somme de deux ondes de même
fréquence  se propageant en sens inverse le long de la ligne. L’une est l’onde directe, l’autre est
l’onde réfléchie.
 Q6
L’impédance caractéristique d’un quadripôle est l’impédance telle que, si l’on connecte à sa sortie
une charge égale à Zc, son impédance d’entrée est aussi égale a Zc.
 Q8
Lorsque l’impédance est adaptée en bout de ligne : Zr=Zc
u   i 
Zr  Zc
 0  Ur  0
Zr  Zc
Pas d’onde réfléchie, toute la puissance est transmise a la charge.
 Q9
Lorsque la ligne est ouverte : Zr=infinie
u   i 
Zr  Zc
 1  U r  Ui
Zr  Zc
Toute la puissance est réfléchie.
 Q11
Le rôle du quadripole A'ABB' est de filtrer les hautes fréquences.
Le produit RC représente la constante de temps du circuit telle qu'ici :
On en déduit ainsi la fréquence de coupure du filtre ainsi réalisé :
Le filtre RC est du premier ordre : jusqu'à f<fc il n'y a que peu d'atténuation et pour f>fc
l'atténuation est de 20db/decade .
 Q12
En jaune la tension Uab et en bleu la Ucd
cable de 50m, sans charge :
cable de 50m, charge 50 Ω :
cable de 50m, charge 75 Ω :
cable de 50m, charge court circuité :
On observe que si l’impédance d’entrée et celle de sortie ne sont pas identiques, le signal de sortie
est déformé. En effet une partie du signal d’entrée incident est réfléchie sur la ligne et revient a la
source , c’est le pic d’amplitude plus faible.
 Q16
En jaune la tension Uab et en bleu la Ucd
sans charge :
charge 50 Ω :
charge 75 Ω :
charge court circuité :