mes-fiches-de

Algèbre ; Multiplication
1. Apports théoriques
 a et b étant deux entiers naturels, le produit de a par b est égal à la somme de b
naturels égaux à a . Ou encore a  b  a  a  a  ...a avec b fois le terme a
 a et b étant deux entiers naturels, le produit de a par b est le nombre de couples
( x; y ) qui peuvent être réalisés en choisissant x dans un ensemble ayant a éléments et
y dans un ensemble ayant b éléments
a) Propriétés de la multiplication
 Distributivité de la multiplication sur l’addition : a  (b  c)  a  b  a  c

Associativité, on peut déplacer les parenthèses sans changer le résultat :
a  (b  c)  (a  b)  c
 Commutativité, on peut permuter les termes sans changer le résultat : a  b  b  a
 Existence d’un élément neutre : 1 et d’un élément absorbant : 0
b) Multiples
Le nombre entier naturel a est multiple du nombre entier naturel b signifie qu’il existe un
nombre entier naturel k tel que a  b  k
Si les entiers naturels a et b sont multiples de c , alors a  b est aussi multiple de c .
Si a est multiple de b et si b est multiple de c , alors a est multiple de c .
Multiples communs : PPCM, plus petit commun multiple
3
2
2
3
2
Ex : le PPCM de 72 et 90, 72  2  3 et 90  2  3  5 , PPCM : 2  3  5
c) Diviseurs
 Le nombre entier naturel a est un diviseur du nombre entier naturel b signifie qu’il
existe un nombre entier naturel k tel que b  a  k
 Si l’entier naturel c est un diviseur des naturels a et b , alors il est aussi diviseur
de a  b
 Si a est diviseur de b et si b est diviseur de c , alors a est diviseur de c .
Diviseurs communs : pgcd, plus grand commun diviseur
2
Ex : pgcd de 42 et 98, 42  2  3  7 et 98  2  7 , pgcd : 2  7
d) Nombres premiers
 Un nombre entier naturel est dit premier s’il a exactement 2 diviseurs distincts : 1 et
lui même ;
 L’ensemble des nombres premiers est infini.
 Pour trouver les nombres premiers, on peut faire le crible d’Eratosthène.
120  2  60  2  6  10  2  3  2  5  2  2 3  3  5
120 a 16 diviseurs 4  2  2
e) Critère de divisibilité
Par 2 : Si le chiffre des unités est pair
Par 3 : Si la somme des chiffres est elle-même divisible par 3
Par 4 : si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4
Par 5 : Si le chiffre des unités est 0 ou 5
Par 9 : Si la somme des chiffres est elle-même divisible par 9
Par 10 : Si le chiffre des unités est 0
2. Apports didactiques
- La multiplication est introduite fin C2 : CE1 et se poursuit tout au long du cycle 3.
- En CE1, apprentissage des tables de 2 à 5, en CE2 toutes les tables sont vues et seront
revues chaque année.
A) Techniques opératoires
a) Apprentissage de la multiplication
 Par une addition réitérée : 2  2  2  2  4  2 pour passer à la multiplication, on passe
à un grand nombre : 215 puis à deux nombres très grands.
Problème : On ne voit pas la commutativité : 3  3  3  3  3  5  5  5
Difficile d’introduire 1 3 et 0 3
 En s’appuyant sur le produit cartésien, 3 tee-shirt, 2 pantalons, combien de tenues
différentes ?
On peut introduire la représentation par un tableau à double entrée, deux tableaux permettent
d’avoir la commutativité. Peut introduire le 0 et 1.
b) Etapes de l’apprentissage
 Mémorisation de la table de multiplication,
 Décomposition des nombres en fonction de leur écriture en base
10 : 507  500  7  7  500
 Repérage de la valeur des chiffres en fonction de leur position dans le nb (unités,
dizaine)
 Capacité à remplacer un produit par une somme de produit : propriété de la
distributivité de la multiplication sur l’addition : 438  507  (438  7)  (438  500)
 Utilisation de l’associativité de la multiplication : 438  500  (438  5)  100
 Connaissance de la règle des zéros.
c) Objectifs
 Utiliser et mémoriser les tables de multiplication
 Travailler sur le sens et pas que sur la répétition
 Contextualiser
 Utiliser sans les nommer les différentes propriétés de la multiplication
 En CM1-CM2 utiliser la distributivité
 Travailler les tables dans les deux sens
d) Difficultés dans la technique opératoire.
 Difficultés dues aux mémorisations des tables
 Difficultés dans la gestion des retenues
 Difficultés dans le respect de l’ordre des calculs à effectuer
 Difficultés de décalage de la 2e ligne, dues à l’existence du zéro. Travail sur l’ordre de
grandeur des résultats
B) Résolution de problèmes
a) Procédures utilisés pour résoudre les problèmes de multiplication
 Support d’un dessin : lorsque les 2 nombres sont petits, sinon trop couteuse.
 Procédures de type additif : lorsque les 2 nombres sont petits, et lorsqu’un des deux est
grand.
 Procédure multiplicative
b) Variables didactiques
 Le type de problème, ceux de proportion simple sont plus facilement réalisé.
 Les types de nombre utilisés : problèmes avec les nombres décimaux.
 La taille des nombres qui rend possible les différentes procédures.
 Les outils de calcul disponible ou non.
 La manière dont l’énoncé est formulé.
c) Difficultés des élèves dans la résolution de problèmes
 Erreurs dans le choix de la procédure de résolution, peut être influencé par des termes
de l’énoncé ou par le contexte.
 Erreurs dans la gestion de la procédure choisie ou dans l’interprétation des calculs
effectués.
 Erreurs de calcul
Dans les programmes
Problèmes & procédures
Langage
Maternelle
Problèmes sur les quantités :
distribution, partage
Ces problèmes sont résolus
uniquement par des
procédures personnelles.
Cycle 2 Sur des nombres entiers naturels Quelques problèmes
- résolution de problèmes
(multiplicatifs) sont résolus
- tables de multiplication par 2 par des procédures
et par 5, multiplication par 10 expertes- calcul réfléchi
La plupart restent résolus
- utilisation de la calculatrice
par des procédures
personnelles, mais en
utilisant si possible le
calcul (addition,
soustraction ...).
Cycle 3 Sur des nombres entiers naturels La plupart des problèmes
- résolution de problèmes
sont résolus par des
- tables de multiplication et
procédures expertes à la fin
autres résultats mémorisés
du cycle 3.
-technique de la multiplication L’équivalence entre calcul
et de la division euclidienne
du type « combien de fois
posée
7 dans 56 ? » et « 56 divisé
-calcul réfléchi (résultat exact et par 7 » est mise en place.
approché)
- utilisation de la calculatrice
- notion de multiple (en
particulier de 2 et de 5)
Sur des nombres décimaux
- résolution de problèmes
- technique de la multiplication
d'un nombre décimal par un
nombre entier
- calcul réfléchi (résultat exact
et approché)
- utilisation de la calculatrice
La plupart des problèmes
sont résolus par des
procédures personnelles à
la fin du cycle 3.
Aucun symbolisme
n'est utilisé.
Le signe x est
utilisé.
Les mots « produit »
et « multiplication »
sont utilisés.
Le signe : est utilisé
(pour un quotient
exact).
Les mots « quotient
», « reste », «
dividende », «
diviseur » sont
utilisés.
L’égalité
caractéristique de la
division euclidienne
est utilisée
58= (8x7) +2, avec le
reste inférieur au
diviseur.
Algèbre; La proportionnalité
1. Apports théoriques
Deux suites de nombre réels sont proportionnelles si on peut passer de chaque terme de la
première suite au terme correspondant de la deuxième par un même opérateur multiplicatif.
L’opérateur multiplicatif s’appelle aussi coefficient de proportionnalité.
a) Propriétés numériques des suites proportionnelles
 Propriété relative à l’ordre : Si le coefficient de proportionnalité est positif, la
proportionnalité respecte l’ordre.
 Propriété additive de linéarité : Si deux suites sont proportionnelles, l’image de la
somme de deux nombres est égale à la somme de leurs images, cad
f ( x1  x2 )  f ( x1 )  f ( x2 )
 Propriété multiplicative de linéarité : L’image du double, triple… d’un nombre est
le double, triple… de l’image de ce nombre, cad f (kx)  kf ( x)



Propriété des rapports égaux : Tous les rapports obtenus en faisant le quotient d’un
nombre de la deuxième suite par le nombre correspondant de la première sont égaux,
y
y1 y 2

 .... n  a
xn
cad x1 x 2
Propriété dite du produit en croix : A partir de l’égalité précédente, on peut en
déduire l’égalité du type x1 y1  x2 y2
Propriété des écarts : Pour deux suites proportionnelles, à des écarts égaux entre les
nombres de la première suite correspondent des écarts égaux entre les nombres
correspondants de la deuxième suite.
4
4
b) Propriété graphique des suites proportionnelles
Soient les couples proportionnels ( x1 , y1 ); ( x2 , y2 ); … Les
6 10 14 20 26
points correspondants à ces couples sont alignés sur une
4,5 7,5 10,5 15 19,5
droite qui passe par l’origine des axes.
3
c) Différents types de problèmes de proportionnalité
3
 Problèmes de recherche de quatrième proportionnelle
 Problèmes de comparaison de proportions
 Problèmes de type proportionnalité multiple
d) Augmentation
xinitial 

 y final
a%
L’inconnu est a
a
a
yx
a
yx
y  x
x
yx
x

 100  a


100
100
x
100 
x
2. Apports didactiques
A) Quels aspects de la proportionnalité prendre en compte ?
a) Trois cadres différents
 Le cadre des grandeurs : utilisation de nombre concret, cad des quantités, des
mesures. Possible de donner du sens à des manipulations sur les nombres qui
interviennent.
 Le cadre numérique : les nombres sont manipulés de manière abstraite, réf. à des
proportionnalités connues des suites proportionnelles.
 Le cadre graphique : Utilisation des représentations graphiques.
b) Situations servant de support
 Situations où la proportionnalité intervient par convention sociale
Le plus souvent des problèmes de nature économique de la vie courante. Ex : prix de la
viande proportionnel à la masse… Dans ces situations, où les élèves sont préalablement
informés (situations familières) ou bien le fait que la proportionnalité a été retenue doit être
annoncé clairement dans l’énoncé.
 Situations où la proportionnalité permet une modélisation d’un phénomène.
Ex : en physique, masse suspendue et allongement ressort, engrenages… en géométrie,
longueur et diamètre du cercle, côté et diagonale du carré…
Dans ces situations, c’est l’expérimentation ou le recours à un théorème qui permet de mettre
en évidence les relations entre grandeurs.
 Situations où la proportionnalité intervient comme outil pour définir de nouveaux
concepts.
La proportionnalité est utilisée pour produire de nouvelles notions : échelles, pourcentage.
Notion construite en faisant l’hypothèse de proportionnalité.
c) Typologie des problèmes posés
 Problèmes de quatrième proportionnelle (recherche d’un nb manquant)
 Problèmes de comparaison de deux mélanges compare :
-une partie par rapport au tout
-une partie par rapport à l’autre partie
 Problèmes de double proportionnelle : cas d’une variable proportionnelle à deux
autres variables qui peuvent être modifiées de manière indépendante.
 Reconnaître si une situation relève de la proportionnalité ou pas
 Donner des problèmes qui apparaissent dans un cadre géométrique
B) Les procédures de résolution à l’école primaire
 Utilisation des proportionnelles additives et multiplicatives de la linéarité
 Mise en évidence et utilisation du coefficient de proportionnalité
 Représentation graphique
C) Les principales variables didactiques
 Les nombres (relation simple, compliquée)
 Les relations entre les nombres donnés :
- Coefficient de proportionnalité, choisi ou non, identification simple ou non
- Rapports de linéarité (rapports entre nombres relevant d’une même grandeur)
 Le nombre de couples donnés
 Le type de situation, qui permet ou non une validation par le milieu, familiarité des
élèves.
D) Les difficultés rencontrées par les élèves
 Identifier les grandeurs en relation dans la situation proposée (doit être fait pas les
élèves donc pas de tableau)
 Reconnaître si la situation relève du modèle proportionnel ou non.

Les idées d’augmentation et diminution sont liées aux notions d’addition et
soustraction, c’est un obstacle à la reconnaissance du modèle proportionnel.
 Choisir une procédure de résolution parmi toutes celles possibles.
 Mise en œuvre de la procédure choisie.
E) L’enseignement de la proportionnalité à l’école primaire (programme)
 La notion de proportionnalité n’est pas travaillée en tant que telle. Travail centré sur la
résolution de problèmes (dont des problèmes relatifs aux pourcentages, échelles,
vitesse moyenne.)
 Les problèmes sont résolus en utilisant des procédures personnelles qui prennent
implicitement appui sur des propriétés de la proportionnalité, sur le passage par l’unité
ou sur l’utilisation du coefficient de proportionnalité.
 Aucun langage spécifique n’est mis en place. Utilisation de tableaux peut être
envisagée.
 Pas apprentissage de la procédure experte : le produit en croix, ou la règle de trois
(passage par l’unité)
Algèbre ; Puissances et radicaux
A) Puissances
Si n est un nombre entier naturel non nul et a un nombre réel :
a n  a  a  a  ...  a
a0 1
1
a n  n
a
1
(a)  n  ( ) n Reste négatif
a
4
(a ) Reste positif (nombre pair)
(a )7 Reste négatif (nombre impair)
Rappel :
104  0,0001
104  10000
101  10
1  100
1
0,1  101  1
10
Formules :
a n  a p  a n p
(a  b) n  a n  b n
an
an
(n p)
et

a
 a( n  p )
p
p
a
a
Rappel :
3,45  105  345000
345  102  3,45
3,451103  0,003451
3,451102  345,1
B) Radicaux
a étant un nombre réel positif
 a
2
a est le nombre positif dont le carrée est égal à a :
Formules :
Pour a et b nombres réels positifs, a  b  a  b
Pour a et b nombres réels positifs avec b  0 ,
C) Formules vitesse et durée :
Vitesse=distance / temps Donc
a

b
a
b
temps = distance /vitesse
Durée = volume/ débit
Attention ; 2 m3 = 2000L , donc 1L = 1 dm3 et 1 m3 = 1000L
Algèbre ; Addition et soustraction
Apports théoriques
a) Somme et addition
 On suppose connue la suite ordonnée des entiers 0, 1, 2…
Par définition, la somme a  b est égale au nombre atteint en comptant b nombre après le
nombre a : Sur comptage, aspect ordinal de l’addition
 Si A et B sont deux ensembles disjoints, soit le cardinal de A :
cardA  a et cardB  b Alors a  b  card ( A  B)
Pour les enfants, il n’y a pas d’équivalence entre les deux définitions.
Réunion des ens A et B,
nb d’éléments a+b
Ensemble A, nb
b) Différence et soustraction
d’éléments a
 On suppose connue la suite ordonnée des entiers 0, 1, 2…
Par définition, la différence a  b est égale au nombre atteint en comptant b
nombre avant a
Ensemble B, nb
d’éléments b
Ensemble A, nb
d’éléments a
 a  b est le nombre d’éléments de l’ensemble complémentaire de B
Réunion des ens A et B,
Ensemble B, nb
nb d’éléments a+b
par rapport à A
d’éléments b
a

b
 L’addition est supposée connue, le nombre
est l’unique
b

x

a
solution de l’équation
c) Propriétés de l’addition
 Commutativité : Pour tout nombre a  b  b  a (sert à faire des économies de
mémorisation)
 Associativité : Quelques soient les nombres a, b, c (a  b)  c  a  (b  c) (grouper les
termes comme on veut)
 Elément neutre : Pour tout nombre a , a  0  0  a  a
 Autres : a  (b  c)  (a  b)  c
a  (b  c)  (a  b)  c  a  b  c
B) Apports didactiques
 Bcp de choses sont faites en maternelle qui amènent à faire des additions mais sans le
symbole +
 L’essentiel des compétences se construit entre CP et CE2
 Compétences :
- être capable de résoudre des pbs relevant de ses opérations avec des procédures personnelles
puis expertes
- être capable de calculer une somme ou une différence en choisissant la méthode la plus
adéquate en fonction des nombres donnés
a) Classification des problèmes

La composition de 2 états
Schéma général :


?

recherche
composé
?
Dans un bouquet de 15 8

15
fleurs composées de roses


?
recherche d’une et d’iris, il y a 8 roses.
Combien y’a t-il d’iris ?
partie


La transformation d’état
Schéma général : 


?
 Changement
de
position sur une droite

graduée
?

Il faut donner deux
?
infos sur les trois
 
La comparaison d’états
Schéma général :




8
Dans un bouquet, il y a 8
roses et 7 iris. Combien 7
du y’a t-il de fleurs ?


?
Recherche d’un des deux 
états
ou
de
la
 ?
comparaison

La composition de transformations


?
 Jacques avait 17 billes. Il en a
+5
gagné 5. Combien en a t-il 17   ?
maintenant ?
 Jacques a gagné 5 billes, il en a
+5
maintenant 22. Combien en avait-  ?  22
il avant ?
 Jacques avait 17 billes avant de
?
jouer cette partie. Il en a 22 à la 17  22
fin de la partie. Combien en a-t-il
gagné ?
Bernard possède 25 petites
25
voitures. Il en a 5 de plus (ou de
 +5
moins) que Charles. Combien
?
Charles en a-t-il ?
Dans un magasin, un jouet vaut 12
12€. Il vaut 15€ (10€) dans un  ?
autre magasin. De combien est-il 15
plus cher ? (ou moins cher)
 G. a joué 2 parties de billes. A la +7 +8
première, il a gagné 7 billes et à la  
deuxième il en a gagné 8. Combien  ?
en a-t-il gagné ?
Schéma général :



 ?
 

 Au jeu de l’oie, Julie joue 2 coups,  ? +9
elle avance de 9 cases. Au total, elle
s’aperçoit qu’elle a reculé de 4 cases.  
Que s’était-il passé au premier coup ? -4
b) Procédures utilisés par les élèves
 Sur comptage mental
 Sur comptage avec les doigts
 Comptage (dessin)
 Solution experte : 3  2
 Transformation pour revenir à quelque chose qu’ils savent résoudre.
 Utilisation de schémas
 Essai-réajustement
c) Variables didactiques
 Taille des nombres (grand nombre empêche les dessins)
 Temps de résolution
 Taille relative entre les nombres (136-248 empêche le sur comptage)
 Nombres ronds (20-25) plus facile donc élèves ne posent pas toujours opération.
 Mise à disposition d’outils de calcul, permet d’utiliser des procédures même si pas
capable de les utiliser eux-mêmes.
d) Difficultés rencontrés par les élèves
 La structure relationnelle du problème et la place de l’inconnue dans cette structure
sont des facteurs décisifs expliquant les difficultés des élèves (le raisonnement mis en
place par l’élève en dépend).
 La difficulté des calculs, liés à la taille et à la nature des nombres.
 L’ordre d’apparition des données dans le texte, si ordre ne correspond pas à la
chronologie de l’histoire ou de l’ordre d’utilisation pour la résolution.
 La présence de mots inducteurs d’une opération. (Plus, total, moins, perd…)
Algèbre ; Division Euclidienne
Apports théoriques
La division euclidienne de deux entiers naturels a et b , (b  0) , est l’opération par laquelle on
associe à a et b , les entiers naturels q et r tels que :
a
b
a  (b  q)  r
dividende = quotient  diviseur + reste
r b
0  r  diviseur
q
r
q
a est dividende, b est diviseur, est le quotient entier, r est le reste.
a) Propriétés
 Le quotient ne change pas quand on multiplie ou divise les deux termes de la division par
un même nombre : a  k  (b  q)  k  r  k ; r  k  b  k
b) Problèmes de divisions
Division quotition : Dans les problèmes, on sait le nombre d’unités par groupe, on cherche le
nombre de groupe.
Division partage : Dans les problèmes, on sait le nombre de groupe qu’il y a et on cherche à
savoir le nombre d’unités dans un groupe.
Ex : J’ai 20 jetons, vous êtes 3, combien en aurez-vous chacun ?
Apports didactiques
- Problèmes avec divisions possibles dès la maternelle mais laisse faire avec leurs procédures
personnelles.
- Les divisions sont posées en CM1.
- En CM2, le quotient doit être un nombre entier.
a) Procédures pour résoudre des problèmes de division
Procédures imagés
Dessin figuratif
Dessin schématisé (CP)
Procédures progressives fondées sur addition et soustraction
Additions pas à pas
Soustraction pas à pas (CE1, CE2)
Additions ou soustractions de multiples du diviseur
Procédures multiplicatives
Pose effective de la multiplication à trou
Essais de multiples successifs du diviseur
Essais par approches successives
Procédures mixtes
Quotients partiels au hasard
Utilisation de multiples de 10, 100…
Utilisation de la division
b) Variables didactiques
La taille des nombres correspondant au dividende et au diviseur.
La valeur du quotient.
L’existence ou non d’un reste non nul.
- Difficulté pour la division de passer de la procédure personnelle à la procédure experte.
- Division partage souvent mieux réussit.
c) Techniques opératoires
1237
1120
117
112
5
28
40 + 4
Ex : 1237  28
1237  11000  2 100  3 10  7 1
On a 123 billets de 10, on les partage entre les 28 élèves : chacun en a 4 et il en reste 11.
On a donc 117 unités que l’on partage en 28 : chacun en a 4. Et il en reste 5 non distribué.
 Pour la division il faut savoir, multiplier, ses tables de multiplication et faire des
soustractions.
 Avant la division, on peut trouver le nombre de chiffres dans le quotient :
1 28  28
10  28  280  1237
100  28  2800  1237
Donc le quotient est compris entre 10 et 100, il a donc deux chiffres.
Géométrie ; Grandeurs et mesures
Apports théoriques
a) Grandeurs
Une grandeur peut être considérée comme « tout caractère d’un objet susceptible de variation
chez cet objet, ou d’un objet à l’autre. »
Grandeurs mesurables
Si on peut définir une relation d’ordre, une addition, une multiplication compatible avec ces
relations d’ordre.
Des objets en eux-mêmes ne sont pas comparables, ce sont seulement les grandeurs qui leur
sont associées qui le sont.
A partir d’un même objet, on peut définir plusieurs grandeurs (poids, taille, volume, prix…)
Comparaison de grandeurs mesurables
Comparaison directe
Comparaison avec utilisation objet intermédiaire
Comparaison par une transformation licite
Ces méthodes ne sont pas toujours utilisables, d’où l’utilisation de mesures.
b) Le mesurage
- Mesurer une grandeur a , c’est choisir une grandeur unité u , puis déterminer le réel x tel que
a  xu
- La mesure d’une grandeur est donc le nombre d’unités permettant de réaliser une grandeur
égale à celle de l’objet. Ainsi la mesure est un nombre.
Propriétés
Si S1 et S 2 sont deux objets disjoints alors mes(S1  S 2 )  mes(S1 )  mes(S 2 ) .
Une grandeur peut être exprimée avec plusieurs unités.
La mesure peut être obtenue par mesurage ou par calcul.
c) Longueur et périmètre
Le mètre est défini par :
- 1/40 000 de la longueur du méridien terrestre.
- La longueur d’une règle en platine iridié conservée au pavillon de Breteuil à Sèvres.
- La longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pdt une durée de 1/299 792 452s.
Périmètres de surface
Le périmètre d’une surface désigne à la fois le contour de cette surface et le mesure de la
longueur du contour.
Pour déterminer le périmètre d’un polygone, il suffit d’additionner les mesures des longueurs
de ses côtés.
Formules
Rectangle : P  ( L  l )  2
L mesure de la longueur, l mesure de la larguer
Carré, Losange : P  4  c
c mesure de la longueur du côté
Cercle : P  2    r
r mesure du rayon
d) Aire
- L’aire est une grandeur pour les surfaces.
- S a la même aire que S’ si, lorsqu’on les découpe dans un matériau homogène d’épaisseur
constante, les masses des pièces obtenues sont les mêmes.
- La mesure de cette aire est le nombre d’unités nécessaires pour recouvrir exactement et sans
chevauchement la surface de départ.
- Pour mesurer l’aire d’une surface, il est possible de prendre n’importe quelle grandeur
2
comme unité. L’unité usuelle est le m : l’aire d’un carré de 1m de côté.
Formules
Rectangle : A  L  l
2
Carré : A  c
Losange : A  ( D  d ) / 2 D mesure de la grande diagonale, d mesure de la petite.
Parallélogramme : A  c  h c mesure d’un côté, h mesure hauteur correspondant à ce côté
ch
A
2
Triangle :
( B  b)  h
A
2
Trapèze :
B mesure de la grande base, b mesure de la petite, h mesure hauteur
Disque : A    r
Si on agrandit une figure d’un coefficient k , son périmètre est multiplié par k et son aire par
k2
e) Volume
- Deux solides S et S’ont le même volume s’il faut la même quantité d’eau pour remplir S et
S’.
- La mesure du volume suppose le choix d’une grandeur unité.
- Il y a deux types d’unités :
3
Les unités en cube : le m et ses sous-unités.
Les unités en litre : le litre et ses multiples
Volumes des solides usuels
Pavé droit : V  L  l  h
3
Cube : V  c
Prisme droit, Cylindre : V  A  h A mesure de l’aire de la surface de la base
1
4
V  A h
Sphère : V     r 3
3
3
Pyramide, Cône :
2
Apports Didactiques
a) Longueurs et périmètre
Principales compétences et difficultés
COMPETENCES
L’élève doit savoir comparer des objets par
rapport à leur longueur :
 en les superposant,
 en utilisant un objet intermédiaire,
 transformations licites,
 en utilisant une unité de grandeur.
L’élève doit savoir mesurer un segment avec
un double dm.
DIFFICULTES
 certains élèves sont « non conservant » : ils ne
repèrent pas une transformation licite,
 difficultés de manipulation.
 erreur de positionnement ou erreur de lecture des
mm.
L’élève doit savoir calculer le périmètre de
figures :
 à partir de mesure,
 en utilisant une ficelle ou un quadrillage.
L’élève doit savoir estimer la longueur d’un
objet.
L’élève doit savoir effectuer des conversions
d’unités
 représentation du périmètre : résultat d’un calcul
obtenu par une formule,
 les élèves pensent qu’il faut ajouter toutes les
dimensions qui sont données.
 quadrillage : l’élève compte les carreaux intérieurs
ou extérieurs,
 réunion de 2 figures dont on connaît le périmètre :
ajout des périmètres de chacune des 2 figures,
 comparaison de périmètre : l’élève compare des
aires et se sert d’un théorème en acte : « plus l’aire
de la figure est rand, plus son périmètre est grand ».
 pour l’élève, 2 figures non superposables ne
peuvent avoir le même périmètre.
 l’élève n’a aucune idée de mesure de certaines
longueurs : terrain de foot, sa chambre…
 erreurs liées à l’écriture décimale des nombres ou à
une méconnaissance des relations entre différentes
unités.
 l’élève ne sait pas si la grandeur intervenant est
l’aire ou le périmètre,
 si le résultat est trouvé avec la calculatrice, l’élève
peut être tenté d’indiquer tous les nombres affichés
par la calculatrice.
L’élève doit savoir résoudre des problèmes
faisant intervenir le périmètre.
Il doit également présenter les résultats avec
des approximations convenables sous forme
décimale ou complexe.
Conservation des longueurs
Piaget à montré que la conservation des longueurs se met en place au stade des opérations
concrètes, cad vers 7 ans ou plus.
Variables didactiques
Pour la comparaison de longueur :
Nature des objets, la taille des objets, objets déplaçables, transformables ou non, matériel à
disposition (règle graduée, compas, ficelle)
Pour la recherche de périmètre :
La nature de la figure, la taille de la figure, le fait que l’élève peut mesurer ou non des
dimensions, le matériel, présence de dimensions utiles sur le dessin, diagonales tracées sur la
figure, figure tracée sur papier quadrillé ou non
b) Aires de figures planes
Principales compétences et difficultés
COMPETENCES
DIFFICULTES
 certains élèves sont « non conservant »,
 théorème en acte : plus le périmètre est grand, plus
l’aire est grande »,
 l’élève pense que le carré est une unité acceptable,
L’élève doit savoir comparer des aires :
 impossibilité de mesurer l’aire d’un triangle avec une
unité carré,
 soit directement par superposition,
 des figures non superposables directement n’ont pas
 par découpage et recollement,
même aire,
 en utilisant une unité de mesure.
 l’élève assimile l’aire à l’encombrement,
 difficultés de manipulation,
 l’élève est tenté de fermer des figures concaves pour
comparer leur aire.
L’élève doit savoir déterminer l’aire d’une
figure à partir de ses dimensions :
 en appliquant une formule,
 en décomposant la figure en figures simples,
 en procédant par soustractions.
L’élève doit savoir exprimer l’aire d’une figure
avec une unité convenablement choisie
L’élève doit effectuer des conversions
 formule erronée,
 difficulté d’analyse de la figure,
 difficulté pou repérer les sur-figures.
 le calcul d’aire passe par l’utilisation d’unité de
longueur. L’élève conserve souvent ces unités pour
présenter son résultat.
 l’élève utilise des techniques de conversion qu’il
connaît pour les unités de longueur.
L’élève doit savoir estimer la mesure de l’aire
 l’expérience sociale des élèves est insuffisante.
d’une surface
L’élève doit savoir résoudre des problèmes
 idem erreurs relatives au calcul du périmètre.
faisant référence au calcul de mesure d’aire
Les enfants reconnaissent la mesure des aires vers 7 ans.
Variables didactiques
Pour la comparaison d’aires :
Nature des objets
Taille des objets
Possibilité de superposition directe ou non
Présence de quadrillage
Possibilité ou non de décomposer un objet pour recomposer un objet superposable à l’autre.
c) Autre grandeurs
Les volumes
Seule une toute première approche est faite à l’école primaire, à travers les travaux de
comparaison de volumes par transvasements de liquide.
Les unités abordées sot le litre et ses multiples.
Les durées
Les difficultés sont liées au fait que les unités utilisées ne sont pas en base 10 mais en base 60.
Les angles
Seule la comparaison d’angle est au programme de l’école primaire.
Difficulté : les élèves pensent que la taille des angles est fonction de la longueur des côtés des
secteurs angulaires.
Les masses
Travail doit commencer par un travail de comparaison de masses et ensuite introduire les
unités.
d) Enseignement des grandeurs et mesures
Grandeurs étudiées à l’école : longueur, masse, durée, aire, volume et angle.
Pour aborder ces notions les programmes insistent sur l’articulation de trois types d’activités :
Des activités de comparaison directe : juxtaposition, superposition. Les élèves construisent la
notion d grandeurs indépendamment de celle de mesure.
Des activités de comparaison indirecte : Recours à un objet intermédiaire (instrument de
report pour comparer des longueurs)
Des activités de mesurage : Les unités sont choisies par les élèves puis apparition des unités
usuelles comme référence commune.
Cycle 2 : Etude de la notion de longueur, sensibilisation à celles de masse et durée.
Les élèves doivent savoir :
- Comparer des objets selon leur longueur par procédé direct ou indirect, selon leur masse par
balance Roberval
- Mesurer des segments avec une règle graduée et tracer des segments de longueur donnée.
- Peser des objets avec une balance Roberval
- Utiliser et convertir les unités suivantes : m et cm , g et kg , h et min .
- Connaître les unités : jour, heure, minute, seconde
Cycle 3 : En plus des unités travaillées au cycle 2, les élèves travaillent sur les aires et une
approche des angles.
Les élèves doivent savoir :
- Utiliser des calculs pour obtenir a mesure d’une grandeur (aire rectangle).
- Effectuer des calculs simples sur les mesures.
- Classer et ranger des surfaces selon leurs aires.
2
2
2
2
- Connaître et utiliser les unités usuelles : cm , dm , m et km et savoir effectuer des
conversions avec ces unités.
- Distinguer périmètre et aire.
- Comparer des angles par superposition en utilisant un gabarit. Pas de mesures avec un
rapporteur.
Géométrie ; Les Quadrilatères particuliers
a) Parallélogramme
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.
Propriétés :
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors :
Ses diagonales se coupent en leur milieu
Ses côtés opposés ont la même longueur
Il possède un centre de symétrie
Propriétés réciproques (pour démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme).
Si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu alors ce quadrilatère est un
parallélogramme.
Si les côtés opposés d’un quadrilatère sont parallèles alors ce quadrilatère est un
parallélogramme.
Si les côtés opposés d’un quadrilatère non croisé ont la même longueur alors ce quadrilatère
est un parallélogramme.
Si deux côtés d’un quadrilatère non croisé sont parallèles et ont la même longueur alors ce
quadrilatère est un parallélogramme.
b) Losange
Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur.
Propriétés :
Si un quadrilatère est un losange alors :
- ce quadrilatère est un parallélogramme (il en a donc toutes les propriétés)
- ses diagonales sont perpendiculaires
Propriétés réciproques (pour démontrer qu’un quadrilatère est un losange)
Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors ce parallélogramme est un
losange.
Si deux côtés consécutifs d’un parallélogramme ont la même longueur alors ce
parallélogramme est un losange.
c) Rectangle
Un rectangle est un quadrilatère qui possède trois angles droits.
Propriétés :
Si un quadrilatère est un rectangle alors
Ce quadrilatère est un parallélogramme (il en a donc toutes les propriétés)
Ses diagonales ont la même longueur
Il possède quatre angles droits
Propriétés réciproques (pour démontrer qu’un quadrilatère est un rectangle)
Si les diagonales d’un parallélogramme ont la même longueur alors ce parallélogramme est
un rectangle.
Si deux côtés consécutifs d’un parallélogramme sont perpendiculaires alors ce
parallélogramme est un rectangle.
Carré
Le carré est un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange.
Géométrie ; Triangle rectangle
a) Propriétés d’un triangle rectangle





Si un triangle est rectangle, alors il a deux angles complémentaires.
Si un triangle est rectangle alors son plus grand côté est l’hypoténuse.
Si un triangle est rectangle, alors l’hypoténuse est un diamètre de son cercle
circonscrit.
Si un triangle est rectangle, alors le centre du son cercle circonscrit est le milieu de son
hypoténuse.
Si un triangle est rectangle, alors la médiane issue du sommet de l’angle droit a pour
longueur la moitié de celle de l’hypoténuse.
A
CM = AM =AB
M
C
B
Théorème de Pythagore :
Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme
des longueurs des carrés des deux autres côtés.
A
C
B
2
2
2
AB  AC  CB
b) Propriétés permettant de démontrer qu’un triangle est rectangle
 Si un triangle a deux angles complémentaires alors il est rectangle.
 Si un côté d’un triangle est un diamètre de son cercle circonscrit alors ce triangle est
rectangle et le côté considéré est l’hypoténuse
 Si on joint un point d’un cercle aux extrémités d’un de ses diamètres alors le triangle
ainsi obtenu est rectangle
 Si un triangle est inscrit dans un demi-cercle alors ce triangle est rectangle.
 Si la médiane issue d’un sommet a pour longueur la moitié de celle du côté opposé à
ce sommet alors le triangle est rectangle en ce sommet.
Réciproque du théorème de Pythagore : Si le carré de la longueur du plus grand côté d’un
triangle est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors ce triangle
est rectangle.
Géométrie ; La Géométrie plane
Apports théoriques
a) Cercle-Disque
r étant un nombre positif, le cercle de centre O et de rayon r est l’ensemble des points situés à
une distance r de O.
Le disque de centre O et de rayon r est l’ensemble des points M tels que OM  r
b) Tangente à un cercle
La tangente à un cercle de centre C en un point M situé sur le cercle est la droite
perpendiculaire en M au rayon [CM]
c) Médiatrices d’un segment
L’ensemble des points équidistants de deux points A et B est une droite qui est
perpendiculaire à (AB) et qui passe par le milieu de [AB] : la médiatrice de [AB]
La médiatrice est un axe de symétrie du segment.
d) Angles
Un angle est aigu s’il est plus petit qu’un angle droit.
Un angle est obtus s’il est plus grand qu’un angle droit et plus petit qu’un angle plat.
Un angle est saillant s’il est inférieur à un angle plat.
Un angle est rentrant s’il est supérieur à un angle plat.
Angle alterne-interne
Angle correspondant
Angles au centre
Angle inscrit
e) Bissectrice
La bissectrice d’un angle est la droite qui passe par le sommet de l’angle et qui partage l’angle
en deux angles égaux.
f) Polygone
- Qui a 3 côtés est un triangle
- Qui a 4 côtés est un quadrilatère
- Qui a 8 côtés est un octogone
- Qui a 5 côtés est un pentagone
- Qui a 10 côtés est un décagone
- Qui a 6 côtés est un hexagone
- Qui a 12 côtés est un dodécagone
- Un polygone régulier est un polygone inscriptible dans un cercle et qui a tout ses côtés de
même longueur et tous ses angles égaux.
- Un polygone est convexe s’il est tout entier situé du même côté que toutes les droites
support de ses côtés. Sinon il est concave.
- Un polygone est croisé si deux de ses côtés se coupent.
Convexe
Concave
Croisé
g) Triangles
 Dans un triangle, la longueur de n’importe quel côté est inférieur à la somme des deux
autres côtés : Inégalité triangulaire. Pour aller d’un point à l’autre la plus courte
distance est la ligne droite.
 La somme des angles d’un triangle est égale à 180°
h) Théorème de Pythagore
Si un triangle est rectangle, alors le carré de l’hypoténuse es égal à la somme des carrés des
côtés de l’angle droit.
2
2
2
Si ABC est un triangle rectangle en A alors AB  AC  BC
i) Théorème de Thalès
= la proportionnalité dans une figure clé
Considérons le triangle ABC,
M appartenant à [AB] et N appartenant à [AC]
(BC) et (MN) sont parallèles
Les longueurs des côtés du triangle ABC sont proportionnelles aux longueurs des côtés
associés du triangle AMN, d’où :
A
j) Théorème des milieux
d’après ce théorème, dans le triangle ABC :
N
-la parallèle à (AB) passant par N coupe [BC] en son milieu
M
-la parallèle à (AC) passant par M coupe [BC] en son milieu
Elles se coupent en P milieu de [BC]
C
B
Apports didactiques
La géométrie se décline sous trois points
P
 La perception
 La géométrie instrumentée C3, valide ou non la perception
 Aspect déductif (4e) : Tout se démontre par des propriétés, des théorèmes ou des
calculs.
A) Les principaux problèmes posés aux enfants
a) Reconnaître
Deux types de reconnaissance :
Reconnaissance perceptive qui est possible en comparant la figure a un prototype stocké en
MLT ou en identifiant les propriétés caractéristiques de la figure.
Reconnaissance instrumentée qui passe par la reconnaissance des propriétés caractéristiques
de la figure.
Variables didactiques :
Disposer ou non d’instruments
Figures isolées ou à isoler
Figures ou non en position prototypique
Support que lequel sont représentées les figures
b) Construire
A partir d’une description, l’élève doit construire un objet.
La construction d’une figure non présente nécessite des compétences manipulatoires fines et
des aptitudes à mobiliser des images mentales anticipatrices.
Descriptions possibles :
Nom de l’objet (droite d passant par le point A), on parle de construction de figures
élémentaires.
La liste des étapes
Les caractéristiques de l’objet
Un schéma.
Variables didactiques :
La taille de l’espace
Le support : papier quadrillé, blanc
Les instruments disponibles
La spécificité des objets à construire (taille, complexité)
d) Reproduire
L’élève doit réaliser une copie d’un objet à une échelle donnée (dessin, objet familier, figures
complexes)
La validation peut se faire par superposition avec le modèle (préciser le degré de conformité)
Etapes :
 Repérer dans la figure des figures complémentaires
 Repérer les relations entre ces différentes figures
 Définir une chronologie pour l’exécution du tracé
 Exécuter les différents tracés
Variables didactiques :
 Les figures sont-elles isolées ? Prototypiques ?
 Les relations sont-elles visibles ou à construire ?
 La chronologie de construction a de l’importance ?
e) Décrire
La description d’une figure peut avoir pour but d’identifier celle-ci parmi d’autres, de la
reproduire ou de se la représenter.
 Description pour faciliter l’identification : le type de critères utilisés sera fonction de
la figure à identifier mais aussi des caractéristiques des autres figures,
 Description d’une figure pour la représenter ou la reproduire : il faut d’abord analyser
la figure puis définir une chronologie de tracé des différentes étapes de construction.
Le vocabulaire doit être adapté (mais pas forcément mathématique). Le codage de la
figure facilite la description.
B) Les principales difficultés des élèves et leur analyse
a) Difficultés liées aux connaissances spatiales
Les connaissances spatiales sont liées à la structuration de l’espace par l’enfant.
Deux points important selon PIAGET :
Les connaissances spatiales des élèves se forment de manière progressive
La construction des connaissances spatio-géométriques se fait par l’intériorisation des actions
du sujet, cad par l’aptitude à penser les actions sans les exécuter.
Deux types d’obstacles :
Le nombre insuffisant d’expérience que peut vivre l’élève.
Le fait que l’élève vit essentiellement dans un monde de représentation (influence de la télé et
des jeux vidéo).
b) Difficultés liées aux tâches de reconnaissance
Les jeunes élèves de disposent pas des connaissances suffisantes pour appréhender une droite
comme un ensemble de points.
Les élèves ont du mal à faire la distinction entre certaines représentations. (droite-segment)
Deux types d’obstacles à l’origine :
 Un obstacle de nature épidémiologique : elle est imputable à la connaissance ellemême : la conception d’une droite, d’un segment, d’un ensemble infini de points fait
intervenir des notions difficiles.
 Un obstacle de nature didactique : imputable au type d’enseignement et aux activités
proposées. Elle s’appuie essentiellement sur une pratique ostensive : l’enseignant
présente directement les connaissances en s’appuyant sur l’observation dirigée d’une
réalité sensible ou d’une de ses représentations et suppose les élèves capables de se les
approprier et d’en étendre l’emploi à d’autres situations. Dans cette pratique, les
connaissances ne sont pas perçues par les élèves comme des outils pour résoudre les
problèmes.
 Limites de l’ostension (approche transmissive ou béhavioriste) :
-Les élèves pensent que tous les objets géométriques sont des objets qui ont une réalité
physique,
-Les élèves peuvent être amenés à se construire des représentations erronées de certains
concepts de géométrie.
c)Difficultés liées aux tâches de construction
 Des difficultés pour anticiper les tracés, liées à la difficulté de mobiliser des images
mentales.
 Difficultés pour mobiliser les propriétés des objets à construire.
 Difficultés psychomotrices pour utiliser les instruments de géométrie.
 Difficultés liées à la connaissance incomplète des instruments.
d) Difficultés liées aux tâches de reproduction
 Repérage des figures de base d’une figure complexe :
L’élève peut ne pas réussir à repérer des figures de base ou en oublier : les origines sont
multiples :
 L’élève n’a pas stocké de figures prototypes,
 La figure de base ne correspond pas aux caractéristiques de figures prototypes,
 Des figures de base trop prégnantes empêchent l’élève d’en voir d’autres,
 L’élève a du mal à isoler les figures de base des autres éléments de la figure.
 Repérage de sur-figures :
L’élève a des problèmes pour repérer des figures pas totalement tracées.
Origine : pour l’élève, une figure est un objet matériel du micro-espace, c’est-à-dire un objet
que l’on ne peut modifier au risque de le dénaturer ou de le détruire.
 Etablissement d’une chronologie de tracés géométriques :
 Difficulté de manipulation d’instrument,
 Difficultés pour mobiliser des images anticipatrices,
 Non-connaissances des propriétés,
 Conception incomplète d’un instrument.
d) Difficultés liées aux descriptions de figures
 Au niveau du vocabulaire : Paraphrase longue et imprécises, confusion de mots,
utilisation de mots du langage courant.
 Au niveau de la connaissance des propriétés qui caractérisent la figure de base.
 Au niveau de l’effort de décentration : se mettre à la place de l’autre.
 Au niveau du codage des figures qui au départ ne le sont pas, pense qu’ils n’ont pas le
droit de transformer le dessin de l’enseignant.
 Au niveau du sens que donne l’élève à l’activité de description.
L’expérience mentale a un rôle essentiel : M. DUSSUC constate que
 Chez certains, la production d’images mentales est spontanée,
 Chez d’autres, ces images ne sont mobilisées que dans un certain contexte,
 Chez d’autres encore, le recours à des images n’est pas possible.
C) Les logiciels de géométrie dynamique
a) Utilisation en classe :
Utilisation en classe entière : L’enseignant a un ordinateur et un projecteur, tous les élèves
voient l’écran. Peut utiliser le logiciel pour montrer des figures, les déplacer, identifier des
caractéristiques, construire une figure.
Utilisation en atelier : Deux élèves par ordinateur, ils ont des tâches de construction de figures
selon des caractéristiques ou de reproduction de figure donnée.
b)Type d’activités :
- Donner une suite d’instructions que les élèves doivent mettre en place (objectif : utiliser les
différents outils du logiciel).
- Reproduire une figure à partir d’un modèle donné.
- Les élèves doivent trouver la procédure de construction d’une figure.
c) Inconvénients :
- Besoin salle informatique.
- Bonne connaissance du logiciel par l’enseignant
- Initiation des élèves à l’usage du logiciel.
d) Avantages :
- Travail en autonomie des élèves
- Elèves motivés
- Travail de géométrie théorique dans des activités accessibles
D) Programmes
Cycle 1 :
- Activité de classement, de rangement qui permet de distinguer les formes.
- Désignation du carré, triangle, rectangle, rond.
- Travail sur des connaissances et des compétences spatiales.
Cycle 2 :
- Tâche de repérage et d’orientation
- Objets étudiés : Carré, rectangle, triangle, cercle, angle droit.
- Relation : l’alignement
- Reconnaissance perceptive laisse place à la reconnaissance instrumentée.
Cycle 3 :
- Objets étudiés : Triangle rectangle, isocèle, équilatéral, le losange.
- Relation : parallélisme, perpendicularité, égalités de longueur et d’angle.
- Objets et relations étudiés dans tâches de reconnaissance, construction, reproduction,
description, localisation.
Géométrie ; Les Transformations
Apports théoriques
a) La symétrie axiale
Le symétrique d’un point M par rapport à une droite (D) est :
Le point M’ tel que (D) soit la médiatrice de [MM’], si M n’est pas sur (D)
Le point M lui-même si M est sur (D)
Propriétés
La symétrie axiale conserve l’alignement. (L’image d’une droite est une droite), les
longueurs. (L’image d’un segment est un segment), les angles, l’orthogonalité, le milieu, le
parallélisme
Axe de symétrie
Une figure (F) admet un axe de symétrie (D) si le symétrique de tout point de (F) appartient à
(F)
b) La symétrie centrale
Le symétrique d’un point M par rapport à un point C est :
Le point M’ tel que C soit le milieu de [MM’], si M est distinct de C
Le point M lui-même si M et C sont confondus.
Propriétés
La symétrie centrale conserve l’alignement, les longueurs, les angles, le milieu
Centre de symétrie
Une figure (F) admet un centre de symétrie C si le symétrique de tout point de (F) appartient à
(F).
c) La rotation
Etant donné un angle  ( de sens direct ou indirect) et un point C, l’image du point M par la
rotation de centre C et d’angle  est :
Le point M’ tel que CM’= CM et l’angle (CM, CM’) =  , si M est différent de C
Le point M lui-même si M est en C
La rotation de centre C et d’angle  est notée R (C,  ).
Si M’est l’image de M par R (C,  ), on écrit M’ = R (C,  )(M).
Propriétés
La rotation conserve l’alignement, les longueurs, les milieux, les angles et le parallélisme.
L’image d’un cercle est un cercle de même rayon dont le centre est l’image du centre.
d) L’homothétie de rapport positif
Soit un nombre k  0 et un point C, l’image d’un point M par l’homothétie de centre C et de
rapport k est le point M’ tel que :
M’est sur la demi-droite [CM)
CM’ = k  CM
L’homothétie de centre C et de rapport k est notée H (C, k )
Propriétés
 L’homothétie conserve l’alignement, les milieux, l’orthogonalité, le parallélisme, mais
pas les longueurs.
 L’image d’une droite par une homothétie est une droite parallèle.
 Si A’ et B’ sont les images respectives de A et B par une homothétie de rapport k ,
alors A’B’= k  AB.( Agrandissement ou réduction)
e) La projection orthogonale
Etant donné une droite (D), la projection orthogonale sur (D) est la transformation qui à tout
point M associe le point M’ tel que M’ est l’intersection de (D) et de la perpendiculaire à (D)
passant par M
Propriétés
 La projection ne conserve pas les longueurs, ni les angles, ni l’orthogonalité
 Elle conserve les milieux et l’alignement.
f) La translation
Etant donné deux points A et B, on appelle translation dont l’image de A est B l’application
du plan dans lui-même qui à tout point M associe le point M’ tel que ABM’M soit un
parallélogramme.
Propriétés
 La translation conserve l’alignement, les longueurs, les milieux, le parallélisme.
 L’image d’une droite est une droite parallèle.
 L’image d’un cercle est un cercle de même rayon dont le centre est l’image du centre.
Apports didactiques
La symétrie axiale est la seule symétrie étudiée en primaire.
Activité d’agrandissement et de réduction de figure : Proportionnalité.
A) La symétrie axiale
a) Repérer et tracer des axes de symétrie d’une figure
Les procédures possibles
Pour conjecturer de l’existence d’un axe, on repère:
 Une sous figure qui admet un axe de symétrie.
 Des éléments de la figure qui semblent symétriques et on cherche à préciser leur axe
de symétrie.
Pour vérifier que c’est bien un axe de symétrie, on peut :
 Tracer mentalement (voire réellement) le symétrique de la figure et repérer si le
symétrique obtenu fiat partie de la figure.
 Effectuer mentalement le pliage et vérifier la superposition.
Les principales difficultés
 Certains élèves n’arrivent pas à mobiliser des images mentales de pliage ou de
construction de symétrique.
 Bcp d’élèves passent par le théorème-élève suivant : « un axe de symétrie passe par le
milieu de cette figure », le mot milieu peut être pour les élèves :
-Le milieu du segment
-Le centre du cercle ou du parallélogramme
-Une droite qui partage la figure en deux figures superposables.
 Les élèves privilégient les axes verticaux ou horizontaux, dans la mesure où ils le sont
le plu souvent dans leur contexte social et scolaire.
 Dans le cas où la figure est composée de figures élémentaires facilement repérables et
possédant chacune un axe de symétrie, les élèves ont tendance à assimiler ces axes
avec ceux de la figure complète.
Les principales variables didactiques
Les outils dont dispose l’élève :
-Papier calque
-Géomiroir
-Aucun outil donc ne doit utiliser des images mentales
Le support sur lequel est représentée la figure :
-Figure tracé sur papier quadrillé (l’axe de symétrie est ou n’est pas une ligne du quadrillage)
-Figure tracé sur papier non quadrillé
Les caractéristiques de la figure :
-L’orientation de l’axe
-Le nombre d’axes de symétrie.
-La familiarité de l’élève avec la figure
-Les figures de base qui constituent la figure
b) Tracer le symétrique d’une figure par rapport à un axe
Les procédures possibles :
 Papier calque (décalquer, retourner la feuille et la placer sur l’axe, repasser au crayon)
 Papier quadrillé (faire tous les symétriques et joindre ou un symétrique et reconstruire
figure)
 A main levée (contrôle éventuel par pliage)
Analyse des difficultés des élèves :
Tracé du symétrique à l’aide d’un quadrillage :
- Problèmes dans le dénombrement des carreaux lors construction du symétrique d’un point.
- Construire bonne symétrie d’un point et placer image figure par translation.
- Erreur en joignant les symétriques des points ( pas d’image mental du résultat final)
Tracé du symétrique à main levée
- Difficultés liées à la mobilisation d’images mentales
- Surcharge cognitive : si le tracé n’est pas automatisé, l’élève peut perdre le contrôle de son
image mentale
Variables didactiques :
- Consignes données aux élèves (plier ou non la feuille)
- Matériel mis à disposition des élèves
- L’axe est-il horizontal, vertical, oblique ?
- La figure est-elle une figure classique ?
- L’espace réservé aux élèves pour répondre
Les analyses précédentes montrent qu’il existe une conception erronées de la symétrie chez
les élèves : « Le symétrique d’une figure est une figure identique située de l’autre côté de
l’axe, à une même distance de l’axe que la figure objet. Il y a conservation de la nature de la
figure, des dimensions et de la forme.
B) Programme
Cycle2 :
 Percevoir un axe de symétrie de la figure.
 Vérifier par pliage si une figure a un axe de symétrie.
 Produire le symétrique d’une figure par rapport une ligne droite par pliage.
 Reconnaître si des figures planes sont superposables ou non.
Cycle3 :
 Tracer sur papier quadrillé la figure symétrique d’une figure donnée par rapport à une
droite donnée (Axe suit les lignes du quadrillage ou les diagonales).
 Utilisation de l’ordinateur, construction du symétrique d’une figure à main levée.
 Savoir réaliser dans des cas simples, des agrandissements et des réductions de figures
planes.