II. Etude microscopique de la polarisation en régime

I.
Polarisations des milieux matériels : aspect macroscopique en
régime stationnaire
A.
Polarisation des milieux matériels
1.
Mise en évidence
Etude de la polarisation d’un matériau placé dans un champ électrique extérieur.
Du fait de la polarisation due au champ extérieur le matériau va lui même créer un champ, qui va s’ajouter au
champ appliqué
2.
Charges intérieures et charges extérieures
On distingue dans la distribution spatiale de charges deux contributions:
 l’une est constituée des charges situées à l’extérieur de l’échantillon, soit une charge volumique ex nulle à
l’intérieur du matériau
 l ’autre est constituée de l’ensemble des charges de l’échantillon, soit une charge volumique in nulle à
l’extérieur du matériau
=ex+in
B.
Vecteur polarisation volumique
1.
Définition
Prenons le cas d’un échantillon globalement neutre:

V
in dV  0

Cette distribution de charges est caractérisée par son moment dipolaire 


   rin dV
V
Toute distribution vérifiant cette condition de neutralité est le siège d’un champ de vecteur P tel que


div P   in à l' inté rieur
 

P  0 à l' exté rieur
2.
Moment dipolaire électrique


On montre que    PdV
V
Le vecteur polarisation électrique n’est autre que le moment dipolaire volumique de la distribution.
La charge volumique n’est défini que par une grandeur moyenne locale. Cette valeur est relative à des éléments
de volume, petits devant un volume caractèristique du problème étudié et grands devant celui de la structure
élémentaire du milieu. Toutes les gr
ndeurs physiques reliées à cette charge volumique sont alors
moyennées à la même échelle. On les qualifie de macroscopiques par opposition aux grandeurs microscopiques
qui sont celles que l’on pourrait mesurer à des échelles inférieures.
3.
Distinction entre les charges
a)
Charges étrangères et charges structurelles
P est directement lié à la neutralité globale du milieu. Un corps ne peut être chargé que par l’apport de charges
étrangères à sa structure.

V
 etr dV  Q
    ex   etr
div E  in
0
b)
Charges libres et charges liées
On peut distinguer localement aussi les charges de polarisation et les charges libres
La polarisation est essentiellement un phénomène globallié au caractère fini du volume du matériau défini par
une surface unfranchissable aux charges. Elle ne doit pas être analysée comme un phénomène local.
C.
Vecteur D. Equation de Maxwell-Gauss dans un milieu
1.
Définition du champ D
 

On définit l’excitation électrique par la relation D   0 E  P .

div D  ex
L’intérêt de D est de n’être relié qu’aux charges extérieurs controlées par l’expérimentateur (il controle en fait le
potentiel appliqué au matériau donc le champ extérieur).
Théorème de Gauss en présence d’un milieu matériel
2.

div D  ex
a)
Forme locale
b)
Forme globale
Intégrons la forme locale précédente dans un volume V quelconque limité par la surface S

S
 
D  ndS  Qex
Qex est la charge extérieure au matériau et située à l’intérieur de la surface fermée S
Cas d’un milieu globalement chargé

 
Quand le milieu est globalement chargé, on a div D  ex  etr et  D  ndS  Qex  Qetr
3.
S
Qex+Qetr etant la somme des charges extérieures au matériau et des charges étrangères présentes dans
l’échantillon.
4.
Relation de passage pour D


On rappelle que n12  E 2  E1  0 .


En l’absence de charges étrangères, on a n12  D2  D1  0


En présence de charges superficielles surfaciques n12  D2  D1   etr
D.
Potentiel et Champ créés par un milieu polarisé
1.
Potentiel électrostatique scalaire créé par un milieu polarisé
L’état de polarisation d’un milieu matériel peut être décrit de façon équivalente:
 soit par une distribution volumique de charges de polarisation in
 soit par un champ de polarisation volumique
 
   r  r '
1
1  r
Vm  r  
P r '    3 dV 
4 0 V
4 0 r 3
r  r'
2.
Cas des milieux uniformément polarisés
Première
polarisé
a)
description
d’un
milieu
uniformément
Considérons un milieu matériel de volume V, simplement connexe, présentant une polarisation volumique

uniforme; on déduit que  

PV .
Le potentiel électrostatique créé par ce matériau a pour expression Vm 
1  
P  Eaux avec Eaux, champ
0
électrostatique auxiliaire que créerait une distribution uniforme de charges répaties dans le même volume V avec
une charge volumique .

Eaux 
 
r  r '
1

0   3 dV

4 0 V
r  r'
On en déduit le champ électrostatique créé par le milieu polarisé:

  
 

1
1 
Em   gradVm   grad P  Eaux  
P  grad Eaux
0
0




Le potentiel et le champ électrostatiques créés par un matériau uniformément polarisé s’obtiennent à l’aide du
champ électrostatique auxiliaire.
Application à la sphère uniformément polarisée
b)
Seconde
polarisé
description
d’un
milieu
uniformément
l’hypothèse d’une polarisation uniforme d’un milieu matériel implique une discontinuitédu vecteur polarisation
volumique
à
la
traversée
de
la
surface
le
limitant.
La
définition

 
div P  in à l'inté rieuret P  0 à l'exté rieur conduit à localiser les charges sur la surface avec une
densité surfacique in.
Ainsi un milieu uniformément polarisé peut être décrit de ddeux façons équivalentes
1. soit par un champ de vecteur de polarisation uniforme
2. soit par une distribution surfacique de charges de polarisation
c)
 
in  P  n
Feuille plane polarisée
Cette distribution de charges est analogue à celle d’un condensateur plan




 
P
E m,in    eZ   
et E m,ex = 0
0
0
E.
Milieux diélectriques linéaires
1.
Définition des milieux diélectriques linéaires
Pour un grand nombre de corps, la réaction du milieu à un champ électrique appliqué est caractérisée
macroscopiquement par une relation linéaire entre polarisation volumique et champ électrique E dans le matériau


(somme du champ appliqué et du champ E m,in produit par le matériau polarisé): P   e  0 E
e est appelée susceptibilité diélectrique. Dans les milieux non homogènes la susceptibilité est représenté par un
tenseur dont la matrice est diagonalisable.
2.
Relation entre D et E
a)
Permittivité diélectrique d’un matériau
  


D   0 E  P et P  e  0 E
On pose  r  1   e et    0 r
b)
Conditions aux
diélectriques
limites
à
l’interface
de
deux
E1, t  E 2 , t
D1, n  D2 , n  1E1, n   2 E 2 , n
3.
Condensateur à lame diélectrique
Influence d’une lame diélectrique sur a capacité d’un
condensateur
S
Pour un condensateur plan à air C 0  0
e
a)
Si on introduit un diélectrique, alors on observa que C=rC0
b)
Champs dans le diélectrique d’un condensateur
On observe une augmentation de charge de l’armature positive en présence de diélectrique.
Par contre si l’on opère à charge extérieure constante et non plus à tension constante, l’introduction du
diélectrique provoque une diminution du champ E et donc de la tension.
E
Ea
U0
et U 
1  e
1  e
4.
cf
Sphère diélectrique dans un champ appliqué
fiche
II.
Etude microscopique de la polarisation en régime stationnaire
On cherchera dans ce chapître à donner une interprétation microscopiquede la polarisation à partir des moments
dipolaires associés aux éléments microscopiques du diélectrique
A.
Mécanismes microscopiques de polarisation
1.
Les différents mécanismes de polarisation
 la polarisation électronique est liée à la modificationde la répartition des charges internes à chaque interne ou
ion; elle est toujours présente quel que soit l’état du matériau considéré
 la polarisation atomique ou ionique: elle concerne le déplacement des atomes ou des ions par rappopt à leur
position d’équilibre dans l’édifice auquel ils appartiennent
 la polarisation d’orientation: le moment dipolaire d’un édifice rigide, atomique ou moléculaire, s’oriente sous
l’action d’un champ électrique
 la polarisation par déplacement macroscopique: l’application d’un champ électrique stationnaire induit des
déplacements macroscopiques à l’échelle du matériau. C’est le cas de la polarisation des conducteurs ou de la
jonction P-N
2.
Définition de la polarisabilité
Lorsque le champ électrique stationnaire El , qui agit localement sur un édifice, est suffisament faible, la relation
entre le moment dipolaire induit et El est linéaire.


p   0E l
 est la polarisabilité de l’édifice: il s’agit d’une quantité positive homogène à un volume.
3.
Polarisabilité électronique
a)
Définition
Les atomes et ions ne possèdent pas de moment dipolaire. L’action d’un champ local E l déforme la distribution


de charges. On définit de ce fait un moment dipolaire induit p   e  0 E l . L’approximationlinéaire est justifiée
quand quand le champ local est faible devant le champ existant dans l’atome.
b)
polarisabilité électronique des atomes : modèle de
Mosotti
Ce modèle permet de relier la polarisabilité de l’atome à son volume.
Z2 e 2
Z2 e 2
 e  4a  3 

 0 K  0 me 20, e
3
Le modéle de Mosotti fournit un ordre de grandeur. La mécanique quantique permet de déterminer plus proche
de
 e  18a 3
c)
Polarisabilité électronique des ions
Le modèle de Mosotti ne fournit qu’un ordre de grandeur. La polarisabilité augmente avec la taille.
4.
Polarisabilité atomique ou ionique
a)
Définition
Sous l’action d’un champ élestrique stationnaire, un atome, un ion peuvent se déplacer par rapport à l’édifice
moléculaire ou cristallin. Il apparaît alors un dipôle induit d’autant plus important que la précédente a un
caractère ionique marqué. Cette polarisation est absente dans les molécules à liaisons covalentes.



p   0 E l   e   a  0 E l
b)
Polarisabilité atomique des molécules
On distingue les molécules polaires des molécules non polaires
q2 
q2 
q2

 
p  q rA  rB  
El 
El   a 
K
 20, i
 20, i
 est la masse réduite de ce problème à deux corps.
On notera que la polarisabilité atomique est plus faible que la polarisabilité ionique, en raison de l’inertie plus
importante des ions et atomes
c)
La
Polarisabilité ionique des solides
polarisabilité totale pour


soit p   e    e    i  0 E l
5.
une
liaison
est
la
somme
de
polarisabilité
partielles,
Polarisabilité d’orientation
Soit p0 le moment dipolaire permanent d’une molécule polaire
2
p0
 ar 
3 0k BT
B.
Champ local et champ macroscopique
Dans un milieu matériel, le champ local El qui agit sur un élément polarisable diffère généralement du champ
macroscopique E. Rappelons que ce champ est la résultante du champ appliqué controlé par l’expérimentateur et
du champ produit par la matière polarisée
1.
Modèle de Lorentz
Ce modèle est principalement dans l’étude molécule non polaire
On fait l’approximatio que la présence ou non de l’élément polarisable, au point où l’on veut calculer El ne
modifie pas sa valeur. Le calcul du champ El résulte des contributions de deux champs:
 le champ produit par les sources extérieures et la matière relativement éloignée
 le champ produit par les éléments proches
Application: cavité sphérique de centre M et de rayon R ou l’on veut calculer le champ local



 

 (1) 
P
P
El  E 
E l  E  E s et E s  
3 0
3 0



P
Comme E l est négligeable, on en déduit l’expression du champ local de Lorentz E L  E 
3 0
(2)
2.
Relation entre les vecteurs polarisation et champ électrique
Le vecteur polarisation volumique P est relié au moment dipolaire p par l’équation P=npdans laquelle n désigne
le nombre d’éléments polarisables par unité de volume



P  np  n 0E l
Plusieurs cas se présentent alors:
1. dans les gaz très dilués: El=E




n 0 
P
2. dans les gaz denses et les liquides: E l  E 
. On en déduit P 
E
3 0
1  n 3
3. dans les milieux denses avec moment dipolaire permanent, on utilise le modèle d’Onsager
C.
Polarisation des fluides
1.
Gaz dilués
a)
Champ local
E=El: on néglige le champ créé par les molécules voisines
b)
Formule de Langevin Debye




Considérons le moment dipolaire moyen d’une molécule p   e   a   or  0 E l avec
Par ailleurs



P  np  n 0E . Or P   e  0 E      0  E    r  1 0 E
Comme, enfin
n
2.
2
 ar 
p0
.
3 0k BT
M
N A*
, on en conclut   r  1 *  N A 

M
Gaz denses et liquides
a)
Cas des molécules non polaires

n 0 
n
P
E  r  1 
1  n 3
1  n 3
r  1

 n avec    e   a
r  2
3
b)
Cas des molécules polaires
r  1

 n avec    e   a   or
r  2
3
Une température TC, issu de la polarisabilité d’orientation donne une valeur très importante d’  r , ce qui est faux
dans certains milieux, comme l’eau par exemple Modèle d’Onsager
D.
Polarisation des solides
1.
Cristaux moléculaires
2.
Cristaux ioniques
3.
Cristaux seignetto-électriques ou ferroélectriques
4.
Cristaux piézo-électriques