Chapitre 3 CALCUL NUMÉRIQUE I) ÉCRITURE FRACTIONNAIRE 1°/ Addition Règle : Pour additionner (ou soustraire) deux nombres en écriture fractionnaire de même dénominateur : on additionne (ou on soustrait) les deux numérateurs on garde le dénominateur commun. a b a+b + = c c c Autrement dit : Exemple : a b a-b – = c c c 3 4 7 + = 9 9 9 Cas où les dénominateurs ne sont pas les mêmes Règle : Pour additionner (ou soustraire) deux nombres en écriture en écriture fractionnaire qui n’ont pas le même dénominateur, on commence par les mettre au même dénominateur. Exemple : -3 4 + 7 5 7 ≠ 5 donc on ne peut pas additionner sans mettre auparavant les fractions au même dénominateur. On va chercher un nombre qui soit dans la table de multiplication de 5 et dans celle de 7. 5 10 15 20 25 30 35 40 35 = 7 × 5 7 14 21 28 35 42 49 56 35 = 5 × 7 -3 4 -3 × 5 4 × 7 + = + 7 5 7×5 5×7 -3 4 -15 28 + = + 7 5 35 35 -3 4 13 + = 7 5 35 2°/ Multiplication Règle : Pour multiplier deux nombres en écriture fractionnaire : on multiplie les numérateurs entre eux on multiplie les dénominateurs entre eux. Autrement dit : a c a×c × = (b ≠ 0 et d ≠ 0) b d b×d Exemples : 2 7 2×7 × = 5 3 5×3 2 7 14 × = 5 3 15 7 5×7 5× = 3 3 7 35 5× = 3 3 Car 5 peut s’écrire 7 36 70 = × 0,6 10 6 7 6 × 6 × 7 × 10 3,6 × = 0,6 10 × 6 × 1 7 3,6 × = 42 0,6 3,6 × 5 1 3°/ Division Définition : Soit a un nombre non nul. Le nombre qui, multiplié par a donne 1 est appelé l’inverse de a. 1 a On le note . 1 =1 3 3 4 × =1 4 3 1 est l’inverse de 3. 3 3 4 donc l’inverse de est 4 3 donc Exemples : 3× Propriété : Diviser un nombre par Exemples : c d (c ≠ 0 et d ≠ 0) revient à le multiplier par d c 5 4 5 3 : = × 9 3 9 4 5 4 5×3 : = 9 3 9×4 5 4 5×3 : = 9 3 3×3×4 de même 5 1 =5× 3 3 donc 5 4 5 : = 9 3 12 II) PUISSANCE D’EXPOSANT ENTIER RELATIF 1°/ Définitions Définition : Pour tout nombre relatif a et tout entier positif n (n>0) : an = a × a × a × …….. × a × a × a et on lit : « a exposant n » si n = 2 a2 se lit : « a au carré » si n = 3 a3 se lit : « a au cube » n facteurs 4 Exemples : 2 3 = 2 × 2 × 2 × 2 3 3 3 3 (- 3)4 = ( - 3) × ( - 3) × ( - 3) × ( - 3) (- 3)4 = 81 5 10 = 100 000 Remarque : Attention il ne faut pas confondre : 2 5 22222 32 et 2donc 2 5 25 Attention aux rôles des parenthèses : 5²5525 et 5² = 5525 Définition : Pour tout nombre relatif a (a≠0) et tout entier positif n (n>0) : L’inverse du nombre an est a-n : a-n = 1 (a≠0) an 2-4 = Exemples : 10-5 = 1 105 1 24 donc 10-5 = 2°/ 2-4 = donc 1 16 1 100 000 (-2)-3 = 1 (-2)3 donc (-2)-3 = - 1 8 donc 10-5 = 0,000 01 Écriture scientifique. Définition : On dit qu’un nombre est écrit en écriture scientifique s’il est sous la forme : a × 10n (1≤ a <10 et n est un entier relatif) 12546 = 1,2546 × 104 Exemples : 3°/ 0,00001267 = 1,267 × 10–5 7358 = 7,358 × 103 Propriétés des puissances. Pour tout nombre relatif a (a≠0) et pour tous les nombres entiers m et n : am am × an = am+n P1 et = am – n P2 an Pour tous les nombres relatifs a et b (a≠0 et b≠0) et tout entier m : am × bm = (a × b)m am a = ( )m bm b et Pour tout nombre relatif a (a≠0) et pour tous les nombres entiers m et n : (am)n = am × n P3 Demonstration: P1: am × an = a×a×…×a × a ×a ..×a = a×a×….×a = am+n m facteurs n facteurs (Definition des puissances) P2 : am = an am × = am × (m+n) facteurs = am – n Définition P3: (am)n = am × am × … × am Produit (P1) = a m+m+…+m = am × n n fois n facteurs par definition Exemples : 43 × 48 = 43 + 8 donc 43 × 48 = 411 57 = 5 (7 – 3) 53 donc 57 = 54 53 53 × 23 = (5×2)3 donc 53 × 23 = 103 (42)3 = 42 × 3 (42)3 = 46 donc 23 = 2 3–6 26 donc 23 = 2 –3 26 donc 23 1 = 26 23 4°/ Multiple et sous-multiple Parmi les unités rencontrées en sciences, certaines ont un statut particulier : ce sont les unités du système international (SI). Chaque unité, du système international ou non, peut-être précédée d’un préfixe, qui indique un multiple ou un sous-multiple de l’unité. Le préfixe indique donc par combien il faut multiplier l’unité. Les différents préfixes, à connaître, sont les suivants. III) RACINE CARREE D’UN NOMBRE POSITIF Définition : Soit « a »un nombre positif. On appelle racine carrée de « a » noté l’unique nombre positif « x » tel que : x2 = a. Notation : La racine carrée du nombre positif « a » se note « a » et se lit « racine carrée de a » ou « racine de a ». Vocabulaire : Le symbole « . » est appelé radical. Le nombre sous le radical s’appelle le radicande. Remarque : Puisqu’un carré est toujours positif, La racine carrée d’un nombre négatif n’a pas de sens. -9 n’a pas de sens car –9 est un nombre négatif. Propriétés : Si a existe, alors cette écriture signifie : a 0 ; a 0 ( a)² = a. Si a 0, alors ( a)² = a et a² = a. Démonstration : On sait que est le nombre positif dont le carré est a². a est le nombre positif dont le carré est a². Or si les carrés de deux nombres positifs sont égaux alors ces deux nombres sont égaux. Donc Exemples : =1 ² = 2,5 Remarques : Pour calculer une racine carrée, on peut : - la déterminer mentalement si on connaît les carrés parfaits (voir ci-dessous), utiliser la calculatrice en donnant le résultat sous la forme de valeur approchée arrondie. Attention : a n’est pas toujours un nombre entier, décimal ou rationnel. Dans ce cas on dit que a est un nombre irrationnel. (exemples : 2 et 3) Les carrés parfaits de 1 à 20 :